Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Натуральными числами называют числа, с помощью которых определяется количество предметов того или иного множества.
Ряд натуральных чисел бесконечен:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, …
Множество всех натуральных чисел обозначают
.
Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр:
, , , , , , , , , .
Цифры, , , , называют четными, а цифры , , , , – нечетными.
Ряд натуральных чисел бесконечен:
, , , , , , , , , , , , … Множество всех натуральных чисел обозначают
. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр:
, , , , , , , , , . Цифры
, , , , называют четными, а цифры , , , , – нечетными. Числа, запись которых оканчивается четной цифрой, называют четными числами.
Числа, запись которых оканчивается нечетной цифрой, называют нечетными числами.
Н а п р и м е р, натуральные числа, , , , , , 
, 
, 
, 
, … – четные,
а натуральные числа, , , , , , 
, 
, 
, 
, … – нечетные.
Числа, запись которых оканчивается нечетной цифрой, называют нечетными числами.
Н а п р и м е р, натуральные числа
, , , , , , , , , , … – четные, а натуральные числа
, , , , , , , , , , … – нечетные.Четные числа записывают в виде 
, где 
– любое натуральное число.
Нечетные числа записывают в виде
, если – любое натуральное число, или в виде 
, если – любое натуральное число и число .
, где – любое натуральное число. Нечетные числа записывают в виде
, если – любое натуральное число, или в виде , если – любое натуральное число и число .Над натуральными числами можно производить арифметические действия:
1) сложение:
, где 
и 
– слагаемые, 
– сумма;
2) вычитание:
, где – уменьшаемое, – вычитаемое, 
– разность;
3) умножение:
, где и – множители, 
– произведение;
4) деление:
, где – делимое, – делитель, – частное.
1) сложение:
, где и – слагаемые, – сумма; 2) вычитание:
, где – уменьшаемое, – вычитаемое, – разность; 3) умножение:
, где и – множители, – произведение; 4) деление:
, где – делимое, – делитель, – частное.Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность.
Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.
Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность.
Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.
Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.
Законы сложения
1. Переместительный: от перестановки слагаемых значение суммы не изменится:
.
Н а п р и м е р,
.
2. Сочетательный: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего:
.
Н а п р и м е р,
.
1. Переместительный: от перестановки слагаемых значение суммы не изменится:
. Н а п р и м е р,
. 2. Сочетательный: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего:
. Н а п р и м е р,
.Законы умножения
1. Переместительный: от перестановки множителей значение произведения не изменится:
.
2. Сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего:
.
3. Распределительный относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить:
.
4. Распределительный относительно вычитания: чтобы умножить разность на число, можно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого произведения вычесть второе:
.
Н а п р и м е р:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
1. Переместительный: от перестановки множителей значение произведения не изменится:
. 2. Сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего:
. 3. Распределительный относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить:
. 4. Распределительный относительно вычитания: чтобы умножить разность на число, можно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого произведения вычесть второе:
. Н а п р и м е р:
1)
; 2)
; 3)
;4)
.Делимость натуральных чисел
Если натуральное число делится без остатка на натуральное число , то число 
называют кратным числа 
, а число – делителем числа .
Н а п р и м е р,
. Число 
кратно числу , а число 
является делителем числа 
.
делится без остатка на натуральное число , то число называют кратным числа , а число – делителем числа . Н а п р и м е р,
. Число кратно числу , а число является делителем числа . Если число кратно числу , то записывают: 
.
кратно числу , то записывают: .Признаки делимости натуральных чисел
1. Число делится на 
, если его запись оканчивается четной цифрой.
Н а п р и м е р, числа
, 
и 
делятся на .
, если его запись оканчивается четной цифрой. Н а п р и м е р, числа
, и делятся на .2. Число делится на 
, если сумма цифр числа делится на .
Н а п р и м е р,
делится на , так как сумма цифр этого числа 
и число делится на .
, если сумма цифр числа делится на . Н а п р и м е р,
делится на , так как сумма цифр этого числа и число делится на .3. Число делится на , если его запись оканчивается цифрой или цифрой .
Н а п р и м е р, числа
и 
делятся на .
, если его запись оканчивается цифрой или цифрой . Н а п р и м е р, числа
и делятся на .4. Число делится на 
, если сумма цифр числа делится на .
Н а п р и м е р, число
делится на , так как сумма цифр этого числа 
делится на .
, если сумма цифр числа делится на . Н а п р и м е р, число
делится на , так как сумма цифр этого числа делится на .5. Число делится на 
, если его запись оканчивается цифрой 
.
Н а п р и м е р, число
делится на .
, если его запись оканчивается цифрой . Н а п р и м е р, число
делится на . 6. Число делится на 
, если две последние цифры его записи образуют число, которое делится на .
Н а п р и м е р, число
делится на , так как число 
делится на .
, если две последние цифры его записи образуют число, которое делится на .Н а п р и м е р, число
делится на , так как число делится на .7. Число делится на 
, если три последние цифры его записи образуют число, которое делится на .
Н а п р и м е р, число
делится на , так как число 
делится на .
, если три последние цифры его записи образуют число, которое делится на .Н а п р и м е р, число
делится на , так как число делится на .8. Число делится на 
, если разность сумм цифр, стоящих на четных и нечетных местах, делится на .
Н а п р и м е р, число
делится на , так как 
и число делится на .
, если разность сумм цифр, стоящих на четных и нечетных местах, делится на .Н а п р и м е р, число
делится на , так как и число делится на .9. Число делится на 
, если две последние цифры его записи образуют число, которое делится на .
Н а п р и м е р, числа
, 
, 
и 
делятся на .
, если две последние цифры его записи образуют число, которое делится на .Н а п р и м е р, числа
, , и делятся на . Деление с остатком
Разделить натуральное число на натуральное число с остатком – значит представить число 
в виде 
, где – неполное частное, а 
– остаток от деления на 
и 
меньше .
на натуральное число с остатком – значит представить число в виде , где – неполное частное, а – остаток от деления на и меньше .Если остаток равен нулю, то число делится нацело на число .
Н а п р и м е р, при делении натуральных чисел на, будем получать один из остатков: или , или , или , или .
делится нацело на число . Н а п р и м е р, при делении натуральных чисел на
, будем получать один из остатков: или , или , или , или .Простые и составные числа
Числа, которые имеют только два различных делителя (делятся только сами на себя и на число 1), называют простыми.
Н а п р и м е р, простыми являются числа , , , , , , , , 
, …. .
Н а п р и м е р, простыми являются числа
, , , , , , , , , …. . Числа, которые имеют более двух различных делителей, называют составными.
Составные числа можно представить в виде произведения двух и более простых множителей.
Н а п р и м е р, число составное, так как 
.
Составные числа можно представить в виде произведения двух и более простых множителей.
Н а п р и м е р, число
составное, так как . Натуральные числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, за исключением числа 
.
Н а п р и м е р, числа и взаимно простые.
. Н а п р и м е р, числа
и взаимно простые. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
Общим делителем нескольких чисел называют число, которое является делителем каждого из этих чисел. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).
Н а п р и м е р, числа , , и являются общими делителями чисел 
и 
, а число – их наибольший общий делитель;
Н а п р и м е р, числа
, , и являются общими делителями чисел и , а число – их наибольший общий делитель; Общим кратным нескольких чисел называют число, которое является кратным каждого из этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее. Это число называется наименьшим общим кратным (НOК).
Н а п р и м е р, числа
и кратны числам , , , и , а число 
– наименьшее общее кратное чисел 
и .
Н а п р и м е р, числа
и кратны числам , , , и , а число – наименьшее общее кратное чисел и .Чтобы найти НОД нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители и найти произведение только тех множителей, которые имеются в разложениях всех чисел.
Чтобы найти НOК нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители, найти произведение всех множителей, входящих в разложение одного из чисел и недостающих множителей из разложений оставшихся чисел.
Пример 1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел , 
и 
.
Решение. Разложим эти числа на простые множители:
, и . Решение. Разложим эти числа на простые множители:
1. Найдем наибольший общий делитель чисел , 
и 
:
НОД
.
2. Найдем наименьшее общее кратное чисел, и :
НОК
.
Ответ: и 
.
, и : НОД
. 2. Найдем наименьшее общее кратное чисел
, и : НОК
. Ответ:
и .Пример 2. При делении пятизначного числа 
на в остатке получается . Найдите это число, если известно, что оно делится на 
.
Решение.
Согласно условию задачи число делится на , следовательно, оно делится и на и на .
Если искомое число делится на, то число 
делится на .
Тогда может принимать одно из значений: или , или , или .
Поскольку при делении числа на в остатке получается , то 
.
Если же число делится на , то сумма цифр этого числа делится на , то есть 
.
Тогда при условии, что
число будет делиться на .
Запишем искомое число:
.
Ответ:
.
на в остатке получается . Найдите это число, если известно, что оно делится на . Решение.
Согласно условию задачи число
делится на , следовательно, оно делится и на и на .Если искомое число делится на
, то число делится на . Тогда
может принимать одно из значений: или , или , или . Поскольку при делении числа
на в остатке получается , то . Если же число
делится на , то сумма цифр этого числа делится на , то есть . Тогда при условии, что
число будет делиться на . Запишем искомое число:
. Ответ:
.1. Число ни простое и ни составное.
ни простое и ни составное. 2. В результате сложения и умножения натуральных чисел всегда будем получать натуральное число.
3. В результате вычитания натуральных чисел получим натуральное число только в том случае, если уменьшаемое больше вычитаемого.
4. Деление одного натурального числа на другое не всегда выполнимо. В этом случае имеет место деление с остатком.
5. Множество делителей числа конечно, а множество чисел, кратных числу, бесконечно.
Н а п р и м е р, число имеет делителей: ; ; ; ; ; . Числу 
кратны числа: , 
, , ...
Н а п р и м е р, число
имеет делителей: ; ; ; ; ; . Числу кратны числа: , , , ... 6. Числа, кратные числу , записывают в виде 
, где – любое натуральное число.
Н а п р и м е р, числа, кратные числу, можно записать так: 
, где – натуральное число.
, записывают в виде , где – любое натуральное число. Н а п р и м е р, числа, кратные числу
, можно записать так: , где – натуральное число. 7. Рассмотрим буквенную запись чисел в десятичной позиционной системе счисления.
Н а п р и м е р, если – цифра десятков, – цифра единиц некоторого двузначного числа, то запишем:
.
Аналогично запишем трехзначное число, у которого – цифра сотен, – цифра десятков, – цифра единиц:
.
Н а п р и м е р, если
– цифра десятков, – цифра единиц некоторого двузначного числа, то запишем: . Аналогично запишем трехзначное число, у которого
– цифра сотен, – цифра десятков, – цифра единиц: .