Тождественные преобразования логарифмических выражений /qualihelpy

Тождественные преобразования логарифмических выражений

Справочник / Абитуриент / Трансцендентные выражения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Логарифмом числа LaTeX formula: b>0

по основанию LaTeX formula: a

$LaTeX formula: (a>0; a\neq 1)$ называют показатель степени LaTeX formula: c

, в которую необходимо возвести LaTeX formula: a

, чтобы получить LaTeX formula: b

.
Записывают: $LaTeX formula: \textrm{log}_{a}b=c$ , что равносильно $LaTeX formula: b=a^{c}$ .
Н а п р и м е р, если $LaTeX formula: \textrm{log}_{5}x=2$ , то $LaTeX formula: x=5^{2}=25$ .

Поскольку логарифм отрицательного числа и числа нуль не определен, то выражения $LaTeX formula: \log_{2}7$ и $LaTeX formula: \log_{2}(\sqrt{3}-1)$ имеют смысл, а выражения $LaTeX formula: \log_{2}(-7)$ , $LaTeX formula: \log_{2}(1-\sqrt{3})$ и $LaTeX formula: \log_{2}0$ не имеют смысла.

Свойства логарифмов:

$LaTeX formula: \log_{a}a=1$ ; (3.15) $LaTeX formula: \log_{a^{k}}{b^{k}}=\log_{a}b$ ; (3.21)

$LaTeX formula: \log_{a}1=0$ ; (3.16) $LaTeX formula: \log_{a}^{k}{b^{n}}=n^{k}\log_{a}^{k}b$ ; (3.22)

$LaTeX formula: \log_{a}bc=\log_{a}b+\log_{a}c$ ; (3.17) $LaTeX formula: \log_{a^{m}}^{k}b=\frac{1}{m^{k}}\log_{a}^{k}b$ ; (3.23)

$LaTeX formula: \log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c$ ; (3.18) $LaTeX formula: \log_{a}b=\frac{\log_{d}b}{\log_{d}a}$ ; (3.24)

$LaTeX formula: \log_{a}b^{n}=n\cdot \log_{a}b$ ; (3.19) $LaTeX formula: \log_{a}d=\frac{1}{\log_{d}a}$ ; (3.25)

$LaTeX formula: \log_{a^{m}}b=\frac{1}{m} \log_{a}b$ ; (3.20) $LaTeX formula: a^{\log_{d}b}=b^{\log_{d}a}$ . (3.26)

Свойства 3.15 – 3.26 справедливы при LaTeX formula: a>0

и $LaTeX formula: a\neq 1$ , LaTeX formula: d>0

и $LaTeX formula: d\neq 1$ , LaTeX formula: b>0

, где числа m, n и k отличны от нуля.
Обратим внимание на свойство логарифма 3.21:
1) если k – нечетное число, то это равенство справедливо при LaTeX formula: b>0

и $LaTeX formula: a\neq 1$ ;
2) если k – четное число, то выражение $LaTeX formula: log_{a^{2n}}b^{2n}$ определено при $LaTeX formula: \left | b \right |>0$ , $LaTeX formula: \left | a \right |>0$ и $LaTeX formula: \left | a \right |\neq 1$ , т. е. числа а и b могут быть как положительными, так и отрицательными.

Следовательно, при LaTeX formula: k=2n

, где $LaTeX formula: n\epsilon N$ , равенство 3.21 примет вид:
$LaTeX formula: \log_{a^{2n}}b^{2n}=\log_{\left | a \right |}\left | b \right |$ . (3.21.1)

Н а п р и м е р, $LaTeX formula: \textrm{log}_{3^{4}}(-20)^{4}=\textrm{log}_{3^{4}}20^{4}=\textrm{log}_{3}20$ .

Основное логарифмическое тождество:
$LaTeX formula: a^{\log_{a}b}=b$ . (3.27)

Н а п р и м е р, $LaTeX formula: 7^{\log_{7}5}=5$ .

Общепринятые записи:
1) логарифм числа LaTeX formula: b

по основанию LaTeX formula: 10

(десятичный логарифм) записывают:
$LaTeX formula: \textrm{log}_{10}b=\textrm{lg}b$ ;
2) логарифм числа LaTeX formula: b

по основанию e (натуральный логарифм), где е – иррациональное число и LaTeX formula: e=2,7182818284 59045...

, записывают:
$LaTeX formula: \textrm{log}_{e}b=\textrm{ln}b$ .

Пример 1. Упростите выражение $LaTeX formula: \log_{3}^{2}\log_{3}\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}$ .

Решение.
Упростим выражение $LaTeX formula: \log_{3}\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}=\log_{3} 3^{\frac{1}{9}}$ .

Применим свойства логарифмов 3.19 и 3.15:
$LaTeX formula: \log_{3} 3^{\frac{1}{9}}=\frac{1}{9}\cdot \log_{3}3=\frac{1}{9}\cdot 1=3^{-2}$ .

Тогда, $LaTeX formula: \log^{2}_{3}3^{-2}= \left (\log_{3}3^{-2} \right )^2=\left (-2\cdot \log_{3}3 \right )^{2}=(-2\cdot 1)^2=4$ .
Ответ: LaTeX formula: 4

Пример 2. Найдите значение выражения $LaTeX formula: 9^{\frac{2}{\log_{5}3}}+27^{\log_{9}36}$ .

Решение. Применяя свойства логарифмов 3.25, 3.19, 3.20 и основное логарифмическое тождество 3.27, получим:
1) $LaTeX formula: 9^{\frac{2}{\log_{5}3}}=3^{\frac{4}{\log_{5}3}}=3^{4\log_{3}5}=3^{\log_{3}5^4}=5^4=625$ ;

2) $LaTeX formula: 27^{\log_{9}36}=3^{3\log_{3^2}6^2}=3^{3\log_{3}6}=3^{\log_{3}6^3}=6^3=216$ .

Найдем значение данного выражения:
LaTeX formula: 625+216=841

.
Ответ: LaTeX formula: 841

Пример 3. Вычислите $LaTeX formula: 5^{\log_{\sqrt{5}}\sqrt{3+\sqrt{3}}}+5^{\log_{25}\left ( \sqrt{3}-3 \right )^{2}}$ .

Решение. Применяя последовательно формулы 3.20, 3.21.1, 3.27 и правило раскрытия модуля числа, получим:
1) $LaTeX formula: 5^{\log_{\sqrt{5}}\sqrt{3+\sqrt{3}}}=\left |3+\sqrt{3}\right |=3+\sqrt{3}$ ;
2) $LaTeX formula: 5^{\log_{25}\left ( \sqrt{3}-3 \right )^{2}}=5^{\log_{5^2}\left ( \sqrt{3}-3 \right )^{2}}=\left | \sqrt{3}-3 \right |=-\sqrt{3}+3$ .
Найдем значение данного выражения:
$LaTeX formula: 3+\sqrt{3}-\sqrt{3}+3=6$ .
Ответ: LaTeX formula: 6

Пример 4. Вычислите $LaTeX formula: 4^{\sqrt{\log_{4}3}}-3^{\sqrt{\log_{3}4}}-3^{\lg25}\cdot 4^{\lg3}$ .

Решение.
1. Рассмотрим разность $LaTeX formula: 4^{\sqrt{\log_{4}3}}-3^{\sqrt{\log_{3}4}}$ .
Полагая $LaTeX formula: \sqrt{\log_{4}3}=a$ , запишем: $LaTeX formula: \log_{4}3=a^{2}$ , $LaTeX formula: 3=4^{a^{2}}$ , $LaTeX formula: \sqrt{\log_{3}4}=\frac{1}{a}$ .
Получим: $LaTeX formula: A=4^{a}-(4^{a^{2}})^{\frac{1}{a}}=4^{a}-4^{\frac{a^{2}}{a}}=4^{a}-4^{a}=0$ .

2. Рассмотрим произведение $LaTeX formula: 3^{\lg25}\cdot 4^{\lg3}$ .
Применим формулы 3.26, 3.17, 3.19, 3.15:
$LaTeX formula: 3^{\lg25}\cdot 3^{\lg4}=3^{\lg25+\lg4}=3^{\lg25\cdot 4}=3^{\lg100}=3^{\lg10^{2}}=3^{2}=9$ .

3. Сложим результаты двух действий: LaTeX formula: 0-9=-9

.
Ответ: LaTeX formula: -9

Пример 5. Найдите $LaTeX formula: a^{c}$ , если $LaTeX formula: \log_{b}81=a$ , $LaTeX formula: b^{c}=729$ и $LaTeX formula: a=\log_{a}\sqrt[3]{121}$ .

Решение.
Так как   $LaTeX formula: \log_{b}81=a$ , то $LaTeX formula: \log_{b}3^{4}=a$ ,   $LaTeX formula: 4\log_{b}3=a$ ,   $LaTeX formula: \log_{b}3=\frac{a}{4}$ .
Так как $LaTeX formula: b^{c}=729$ , то $LaTeX formula: c=\log_{b}3^{6}$ ,   $LaTeX formula: 6\log_{b}3=c$ , $LaTeX formula: \log_{b}3=\frac{c}{6}$ .
Получим:   $LaTeX formula: \frac{a}{4}=\frac{c}{6}$ , откуда $LaTeX formula: a=\frac{2c}{3}$ .
Тогда равенство $LaTeX formula: a=\log_{a}\sqrt[3]{121}$ примет вид:
$LaTeX formula: a^{a}=11^{\frac{2}{3}}$ ,   $LaTeX formula: a^{\frac{2c}{3}}=11^{\frac{2}{3}}$ ,   $LaTeX formula: a^{c}=11^{\frac{2}{3}\frac{3}{2}}$ , $LaTeX formula: a^{c}=11$ .
Ответ: 11.

Пример 6. Вычислите $LaTeX formula: \log_{\sqrt{3}}\textrm{tg}30^{\circ}+\log_{\sqrt{3}}\textrm{tg}31^{\circ}+\log_{\sqrt{3}}\textrm{tg}32^{\circ}+...+\log_{\sqrt{3}}\textrm{tg}59^{\circ}$ .

Решение. Применим формулу 3.17:
$LaTeX formula: \log_{\sqrt{3}}(\textrm{tg}30^{\circ}\cdot \textrm{tg}31^{\circ}\cdot \textrm{tg}32^{\circ}\cdot...\cdot \textrm{tg}45^{\circ}\cdot ...\cdot \textrm{tg}58^{\circ}\cdot \textrm{tg}59^{\circ})$ .
Сгруппируем множители:
$LaTeX formula: \log_{\sqrt{3}}\left (\textrm{tg}30^{\circ}\textrm{tg}45^{\circ}(\textrm{tg}31^{\circ} \textrm{tg}59^{\circ}\cdot \textrm{tg}32^{\circ}\textrm{tg}58^{\circ}\cdot ...\cdot \textrm{tg}44^{\circ} \textrm{tg}46^{\circ})\right )$ .

Учитывая, что $LaTeX formula: \textrm{tg}45^{\circ}=1$ , $LaTeX formula: \textrm{tg}30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3^{-1}}$ , а $LaTeX formula: \textrm{tg}(90^{\circ}-\alpha )=\textrm{ctg}\alpha$ , получим: $LaTeX formula: log_{\sqrt{3}}(1\cdot \sqrt{3^{-1}}\cdot tg31^{\circ}ctg31^{\circ}\cdot tg32^{\circ}ctg32^{\circ}\cdot ...\cdot tg44^{\circ}ctg44^{\circ})$ .

Применяя тождество $LaTeX formula: \textrm{tg}\alpha \cdot \textrm{ctg}\alpha =1$ , найдем значение данного выражения:
$LaTeX formula: \log_{\sqrt{3}}(1\cdot \sqrt{3^{-1}}\cdot 1\cdot 1\cdot ...\cdot 1)=-\log_{\sqrt{3}}\sqrt{3}=-1$ .
Ответ: LaTeX formula: -1

1. При возведении выражения $LaTeX formula: \textrm{log}_{a}b$ в степень LaTeX formula: n

записывают:
$LaTeX formula: (\textrm{log}_{a}b)^n$ или $LaTeX formula: \textrm{log}_{a}^{n}b$ .

2. Запись $LaTeX formula: \textrm{log}_{a}\textrm{log}_{b}c$ следует понимать так:
$LaTeX formula: \textrm{log}_{a}(\textrm{log}_{b}c)$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_8_логарифмические_выражения

Тождественные преобразования логарифмических выражений