Тождественные преобразования показательных выражений /qualihelpy

Тождественные преобразования показательных выражений

Справочник / Абитуриент / Тождественные преобразования алгебраических выражений /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Показательным называют выражение вида $LaTeX formula: a^{f(x)}$ , где

– действительное число.

Так как при LaTeX formula: a=1

всегда будем получать тождество $LaTeX formula: 1^{f(x)}=1$ , а при LaTeX formula: a< 0

выражение $LaTeX formula: (-a)^{f(x)}$ может быть лишено смысла, то показательные выражения целесообразно рассматривать только при условии, что LaTeX formula: a> 0

и $LaTeX formula: a\neq 1$ .

Преобразования показательных выражений основано на свойствах степеней и свойствах арифметических корней.

Степень с целым отрицательным показателем

Для любых действительных чисел LaTeX formula: a

, при условии, что $LaTeX formula: a\neq 0$ и $LaTeX formula: b\neq 0$ , справедливы равенства:

$LaTeX formula: a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ ; (1.9)

$LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^{n}$ . (1.10)

Свойства степеней:

$LaTeX formula: a^{n}a^{m}=a^{n+m}$ ; (1.11)

$LaTeX formula: \frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$ ; (1.12)

$LaTeX formula: (a^{n})^{m}=a^{nm}$ ; (1.13)

$LaTeX formula: (ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ ; (1.14)

$LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$ . (1.15)

Пример 1. Упростите выражение $LaTeX formula: A=\frac{\sqrt[3]{a^{2}\sqrt[4]{a^{6}a^{-1}}}}{\sqrt[4]{a^{3}\sqrt[3]{a^{2}}}}-\frac{a^{0}}{\sqrt[6]{a^{-1}}}$ .

Решение.
Учитывая, что $LaTeX formula: \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$ и применяя свойства степеней 1.9, 1.13, 1.11, 1.12, получим:

$LaTeX formula: A=\frac{\sqrt[3]{a^{2}\sqrt[4]{a^{6}a^{-1}}}}{\sqrt[4]{a^{3}\sqrt[3]{a^{2}}}}-\sqrt[6]{a}$ , $LaTeX formula: A=\frac{a^{2\cdot \frac{1}{3}}a^{6\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}}a^{-1\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}}}{a^{3\cdot \frac{1}{4}}a^{2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}}}-a^{\frac{1}{6}}$ ,

$LaTeX formula: A=\frac{a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{12}}}{a^{\frac{3}{4}}a^{\frac{1}{6}}}-a^{\frac{1}{6}}$ , $LaTeX formula: A=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{12}-\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}-a^{\frac{1}{6}}=a^{\frac{1}{6}}-a^{\frac{1}{6}}=0$ .

Ответ: 0.

Пример 2. Упростите выражение $LaTeX formula: \frac{\left ( a^{\frac{1}{m}}-a^{\frac{1}{n}} \right )^{2}+2^{2}a^{\frac{m+n}{mn}}}{\left ( a^{\frac{2}{m}}-a^{\frac{2}{n}} \right )\left ( \sqrt[m]{a^{m+1}}+\sqrt[n]{a^{n+1}} \right )}$ .

Решение.
На основании свойства степеней 1.11 выполним следующие преобразования:
1) $LaTeX formula: a^{\frac{m+n}{mn}}=a^{\frac{m}{mn}+\frac{n}{mn}}=a^{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{n}}\cdot a^{\frac{1}{m}}$ ;

2) $LaTeX formula: \sqrt[m]{a^{m+1}}=a^{\frac{m+1}{m}}=a^{\frac{m}{m}+\frac{1}{m}}=a^{1+\frac{1}{m}}=a\cdot a^{\frac{1}{m}}$ ;

3) $LaTeX formula: \sqrt[n]{a^{n+1}}=a^{\frac{n+1}{n}}=a^{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=a^{1+\frac{1}{n}}=a\cdot a^{\frac{1}{n}}$ ;

4) $LaTeX formula: a\cdot a^{\frac{1}{m}}+a\cdot a^{\frac{1}{n}}=a\left ( a^{\frac{1}{m}} +a^{\frac{1}{n}}\right )$ .

Заданное выражение примет вид:
$LaTeX formula: \frac{\left ( a^{\frac{1}{m}}-a^{\frac{1}{n}} \right )^{2}+4a^{\frac{1}{m}}a^{\frac{1}{n}}}{\left ( a^{\frac{2}{m}}-a^{\frac{2}{n}} \right )a\left ( a^{\frac{1}{m}}+a^{\frac{1}{n}} \right )}=A$ .

Полагая $LaTeX formula: a^{\frac{1}{m}}=x$ и $LaTeX formula: a^{\frac{1}{n}}=y$ , запишем:

$LaTeX formula: A=\frac{(x-y)^{2}+4xy}{a(x^{2}-y^{2})(x+y)}$ .

Применим формулы сокращенного умножения:

$LaTeX formula: A=\frac{x^{2}-2xy+y^{2}+4xy}{a(x^{2}-y^{2})(x+y)}=\frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{a(x^{2}-y^{2})(x+y)}$ ,

$LaTeX formula: A=\frac{(x+y)^{2}}{a(x-y)(x+y)(x+y)}=\frac{1}{a(x-y)}$ .

Учитывая, что $LaTeX formula: a^{\frac{1}{m}}=x$ и $LaTeX formula: a^{\frac{1}{n}}=y$ , получим:
$LaTeX formula: A=\frac{1}{a(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a})}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{1}{a(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a})}$ .

Если $LaTeX formula: a\neq 0$ , то $LaTeX formula: a^{0}=1$ . Выражение $LaTeX formula: 0^{0}$ не имеет смысла.

По определению: $LaTeX formula: \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ , $LaTeX formula: \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_8_показательные_выражения

Тождественные преобразования показательных выражений