Тождественные преобразования рациональных выражений /qualihelpy

Тождественные преобразования рациональных выражений

Справочник / Абитуриент / Алгебраические выражения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Тождеством называют равенство, верное при всех значениях переменных, принадлежащих области его определения.
Н а п р и м е р, равенства $LaTeX formula: a^{2}+1=(-a)^{2}+1$ и $LaTeX formula: -a\cdot b=a\cdot (-b)$ являются тождествами, так как они справедливы на множестве всех действительных чисел.

Рациональным выражением называют выражение, в котором, относительно входящих в него переменных и чисел, не выполняется никаких других операций кроме операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.
Н а п р и м е р, выражения LaTeX formula: 0,25+x

, и $LaTeX formula: \frac{x^{2}+5xy}{25}$ являются рациональными.

Целые рациональные выражения не содержат переменную в знаменателе дроби.

Дробные рациональные выражения содержат переменную в знаменателе дроби.
Н а п р и м е р, выражения LaTeX formula: 0,25+x

и $LaTeX formula: \frac{x^{2}+5xy}{25}$ – целые, а выражение $LaTeX formula: \frac{3x-2}{x-2}$ – дробное.

Все значения переменных, при которых выражение имеет смысл, образуют область определения (или область допустимых значений) переменных выражения.

В процессе преобразований рациональных выражений используют формулы сокращенного умножения, действия с алгебраическими дробями, способы разложения многочленов на множители.

Формулы сокращенного умножения:

$LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ (3.1)

$LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ (3.2)

$LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ (3.3)

$LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ (3.4)

$LaTeX formula: a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$ (3.5)

$LaTeX formula: a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )$ (3.6)

$LaTeX formula: a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$ (3.7)

Арифметические действия с алгебраическими дробями

1. Сложение (вычитание) алгебраических дробей выполняют:

а) согласно правилу:

$LaTeX formula: \frac{A}{B}\pm \frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}$ , (3.9)

если многочлены LaTeX formula: B

не имеют общих множителей;

б) согласно правилу:

$LaTeX formula: \frac{A}{B}\pm \frac{C}{D}=\frac{A\cdot M\pm C\cdot N}{HOK \left ( B;D \right )}$ , (3.10)

где $LaTeX formula: M=\frac{HOK\left ( B;D \right )}{B}$ , $LaTeX formula: N=\frac{HOK\left ( B;D \right )}{D}$ , если многочлены LaTeX formula: B

имеют общие множители.

Умножение алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

$LaTeX formula: \frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}$ . (3.11)

Деление алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

$LaTeX formula: \frac{A}{B}: \frac{C}{D}=\frac{A\cdot D}{B\cdot C}$ . (3.12)

Формула разложения квадратного трехчлена $LaTeX formula: f(x)=ax^{2}+bx+c$ на линейные множители:

$LaTeX formula: ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ , (3.13)

где $LaTeX formula: x_{1}$ и $LaTeX formula: x_{2}$ – корни квадратного трехчлена.

Корни квадратного уравнения $LaTeX formula: ax^{2}+bx+c=0$ находят по формулам:

$LaTeX formula: x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ , (3.14)

где $LaTeX formula: D=b^{2}-4ac\geq 0$ . (3.14.1)

Пример 1. Упростите выражение $LaTeX formula: \frac{4}{a+\frac{1}{b+c^{-1}}}:\frac{1}{a+b^{-1}}-\frac{1}{4^{-1}b(abc+a+c)}$ .

Решение. Выполним действия 3.9 и 3.12 с алгебраическими дробями:

1) $LaTeX formula: \frac{4}{a+\frac{c}{c(b+\frac{1}{c})}}=$ $LaTeX formula: \frac{4}{a+\frac{c}{bc+1}}$ $LaTeX formula: =\frac{4(bc+1)}{(bc+1)(a+\frac{c}{bc+1})}$ $LaTeX formula: =\frac{4(bc+1)}{abc+a+c}$ ;

2) $LaTeX formula: \frac{1}{a+\frac{1}{b}}=\frac{b}{b(a+\frac{1}{b})}=\frac{b}{ab+1}$ ;

3) $LaTeX formula: \frac{4(bc+1)}{abc+a+c}:\frac{b}{ab+1}=\frac{4(ab^{2}c+bc+ab+1)}{b(abc+a+c)}$ ;

4) $LaTeX formula: \frac{4(ab^{2}c+bc+ab+1)-4}{b(abc+a+c)}=\frac{4b(abc+c+a)}{b(abc+a+c)}=4$ .

Ответ: 4.

Пример 2. Упростите выражение $LaTeX formula: \left ( \frac{1}{x^{2}+3x+2}+\frac{2x}{x^{2}+4x+3}+\frac{1}{x^{2}+5x+6} \right )\cdot\frac{(3-x)^2+12x}{2}$ .
Решение.
1. Согласно правилу разложения квадратного трехчлена на линейные множители 3.13, получим:
$LaTeX formula: x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$ ,
$LaTeX formula: x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3)$ ,
$LaTeX formula: x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)$ .
Корни квадратных уравнений мы нашли по формулам 3.14 и 3.14.1.

2. Найдем сумму LaTeX formula: A

алгебраических дробей:
$LaTeX formula: A=\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{2x}{(x+1)(x+3)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}$ ,

$LaTeX formula: A=\frac{x+3+2x^{2}+4x+x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ ,

$LaTeX formula: A=\frac{2(x^{2}+3x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ .

3. Разложим числитель дроби LaTeX formula: A

на множители и сократим дробь:
$LaTeX formula: A=\frac{2(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{2}{x+3}$ .

4. Упростим вторую дробь, применяя формулы сокращенного умножения 3.2 и 3.1:
$LaTeX formula: B=\frac{(x-3)^{2}+12x}{2}$ ,
$LaTeX formula: B=\frac{x^{2}-6x+9+12x}{2}$ ,
$LaTeX formula: B=\frac{x^{2}+6x+9}{2}=\frac{(x+3)^2}{2}$ .

5. Найдем произведение LaTeX formula: A

дробей и

:
$LaTeX formula: A\cdot B=\frac{2}{x+3}\cdot\frac{(x+3)^2}{2}=x+3$ .

Ответ:

Пример 3. Сократите дробь $LaTeX formula: \frac{x^{2}-11xy+30y^{2}}{x^{2}-9xy+20y^{2}}$ .
Решение.
1. Рассмотрим относительно LaTeX formula: x

квадратный трехчлен $LaTeX formula: f(x)=x^{2}-11xy+30y^{2}$ .
Учитывая, что $LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=11y$ и $LaTeX formula: x_{1}x_{2}=30y^{2}$ (см. теорему Виета во вкладке Обратите внимание!), получим:
$LaTeX formula: x_{1}=5y$ , $LaTeX formula: x_{2}=6y$ .
2. Аналогично найдем корни квадратного трехчлена $LaTeX formula: f(x)=x^{2}-9xy+20y^{2}$ :
$LaTeX formula: x_{1}=4y$ , $LaTeX formula: x_{2}=5y$ .
3. По формуле 3.13 разложим трехчлены на линейные множители и выполним сокращение дроби:
$LaTeX formula: \frac{(x-5y)(x-6y)}{(x-4y)(x-5y)}=\frac{x-6y}{x-4y}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{x-6y}{x-4y}$ .

Пример 4. Упростите выражение $LaTeX formula: \frac{\frac{a-b}{2a-b}-\frac{a^{2}+b^{2}+a}{2a^{2}+ab-b^{2}}}{(4b^{4}+4ab^{2}+a^{2}):(2b^{2}+a)}$ . $LaTeX formula: \frac{b^{2}+b+ab+a}{b+1}$ .

Решение. Выполним последовательно действия с многочленами.

1. Разложение многочлена на множители способом группировки:
$LaTeX formula: 2a^{2}+ab-b^{2}=a^{2}+ab+a^{2}-b^{2}=a(a+b)+(a-b)(a+b)$ LaTeX formula: =(a+b)(2a-b)

2. Вычитание многочленов по формуле 3.10 :

$LaTeX formula: \frac{a-b}{2a-b}-\frac{a^{2}+b^{2}+a}{(a+b)(2a-b)}=$ $LaTeX formula: \frac{(a-b)(a+b)-(a^{2}+b^{2}+a)}{(a+b)(2a-b)}=$ $LaTeX formula: \frac{a^{2}-b^{2}-a^{2}-b^{2}-a}{(a+b)(2a-b)}=$ $LaTeX formula: \frac{-2b^{2}-a}{(a+b)(2a-b)}=\frac{-(2b^{2}+a)}{(a+b)(2a-b)}$ .

3. Преобразование многочлена по формуле 3.1 и сокращение дроби:

$LaTeX formula: \frac{4b^{4}+4ab^{2}+a^{2}}{2b^{2}+a}=\frac{(2b^{2}+a)^{2}}{2b^{2}+a}=2b^{2}+a$ .

4. Деление многочленов по формуле 3.12:

$LaTeX formula: \frac{-(2b^{2}+a)}{(a+b)(2a-b)}:(2b^{2}+a)=\frac{-(2b^{2}+a)}{(a+b)(2a-b)(2b^{2}+a)}$ $LaTeX formula: =\frac{-1}{(a+b)(2a-b)}$ .

5. Разложение многочлена на множители способом группировки:
$LaTeX formula: b^{2}+b+ab+a=b(b+1)+a(b+1)=(b+1)(b+a)$ .

6. Умножение многочленов по формуле 3.11:

$LaTeX formula: \frac{-(b+1)(b+a)}{(a+b)(2a-b)(b+1)}=-\frac{1}{2a-b}=\frac{1}{b-2a}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{1}{b-2a}$ .

Целые рациональные выражения имеют смысл при любых значениях переменных.
Дробные рациональные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают в нуль знаменатель дроби.

В результате некоторых преобразований может измениться область определения рационального выражения, н а п р и м е р, в результате сокращения дроби на выражение, содержащее переменную.

Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения $LaTeX formula: ax^{2}+bx+c=0$ равна $LaTeX formula: -\frac{b}{a}$ , а произведение его корней равно $LaTeX formula: \frac{c}{a}$ (при условии, что LaTeX formula: D> 0

Если

, то учитываем, что $LaTeX formula: -\frac{b}{2a}$ – двукратный корень уравнения.

Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида: $LaTeX formula: x^{2}+px+q=0$ .
Согласно теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна LaTeX formula: -p

, а произведение его корней равно LaTeX formula: q

Теорема, обратная теореме Виета. Числа LaTeX formula: m

являются корнями квадратного уравнения $LaTeX formula: ax^{2}+bx+c=0$ $LaTeX formula: \left ( a\neq 0 \right )$ , если их сумма равна $LaTeX formula: -\frac{b}{a}$ , а произведение равно $LaTeX formula: \frac{c}{a}$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_6_рациональные_выражения

Тождественные преобразования рациональных выражений