Алгебраические дроби /qualihelpy

Алгебраические дроби

Справочник / Абитуриент / Тождественные преобразования алгебраических выражений /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Алгебраической дробью называют выражение вида $LaTeX formula: \frac{A}{B}$ , где LaTeX formula: A

– многочлены.

Н а п р и м е р, выражения $LaTeX formula: \frac{x^{2}-y}{2y-5x}$ и $LaTeX formula: \frac{2m}{7+n}$ являются алгебраическими дробями.

Алгебраическую дробь можно сократить на ненулевой многочлен.

Н а п р и м е р, $LaTeX formula: \frac{12x-6x^{2}}{2x^{2}-x^{3}}=\frac{6x(2-x)}{x^{2}(2-x)}=\frac{6}{x}$ .

Арифметические действия с алгебраическими дробями

1. Сложение (вычитание) алгебраических дробей выполняют:

а) согласно правилу:

$LaTeX formula: \frac{A}{B}\pm \frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}$ (3.9),
если многочлены LaTeX formula: B

не имеют общих множителей;

б) согласно правилу:

$LaTeX formula: \frac{A}{B}\pm \frac{C}{D}=\frac{A\cdot M\pm C\cdot N}{HOK(B;D)}$ (3.10),

где $LaTeX formula: M=\frac{HOK(B;D)}{B}$ , $LaTeX formula: N=\frac{HOK(B;D)}{D}$ , если многочлены LaTeX formula: B

имеют общие множители.

2. Умножение алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

$LaTeX formula: \frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}$ (3.11).

3. Деление алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

$LaTeX formula: \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D}{B\cdot C}$ (3.12).

Пример 1. Упростите выражение $LaTeX formula: \frac{4}{x-1}+\frac{2}{x}$ .
Решение.
Согласно правилу 3.9 получим:

$LaTeX formula: \frac{4}{x-1}+\frac{2}{x}=\frac{4x+2(x-1)}{x(x-1)}=\frac{4x+2x-2}{x(x-1)}=\frac{6x-2}{x(x-1)}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{6x-2}{x^{2}-x}$ .

Пример 2. Упростите выражение $LaTeX formula: \frac{4}{3(x-1)}-\frac{2+x}{x(x-1)}$ .
Решение.
Согласно правилу 3.10 получим:
$LaTeX formula: \frac{4}{3(x-1)}-\frac{2+x}{x(x-1)}=\frac{4x-3(2+x)}{3x(x-1)}=$ $LaTeX formula: \frac{4x-6-3x}{3x(x-1)}=\frac{x-6}{3x(x-1)}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{x-6}{3x^{2}-3x}$ .

Пример 3. Упростите выражение $LaTeX formula: \frac{x}{x-1}\cdot \frac{2x-2}{x^{2}}$ .
Решение.
Согласно правилу 3.11 получим:
$LaTeX formula: \frac{x}{x-1}\cdot \frac{2x-2}{x^{2}}=\frac{x\cdot 2(x-1)}{(x-1)x^{2}}=\frac{2}{x}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{2}{x}$ .

Пример 4. Упростите выражение $LaTeX formula: \frac{x-1}{x}:\frac{x}{x+1}$ .
Решение.
Согласно правилу 3.12 получим:
$LaTeX formula: \frac{x-1}{x}:\frac{x}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x\cdot x}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{x^{2}-1}{x^{2}}$ .

Арифметические действия с алгебраическими дробями выполняют аналогично действиям с числами, представленными обыкновенными дробями.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_5_алгебраические_дроби