Разложение многочленов на множители /qualihelpy

Разложение многочленов на множители

Справочник / Абитуриент / Тождественные преобразования алгебраических выражений /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

1. Вынесение за скобки общего множителя многочлена

Чтобы вынести за скобки общий множитель, необходимо каждое слагаемое алгебраической суммы разделить на этот множитель.
Н а п р и м е р, $LaTeX formula: 10a^{3}+20b-5=5\cdot \left ( 2a^{3}+4b-1 \right )$ .

Чтобы вынести общий множитель многочлена, возведенного в некоторую степень, необходимо этот множитель возвести в ту же степень, в которую возведен многочлен.
Н а п р и м е р, $LaTeX formula: \left ( 15a-10b-5\right )^{2}=25\cdot \left ( 3a-2b-1\right )^{2}$ .

2. Группировка членов многочлена

Группировку членов многочлена применяют, как правило, в сочетании со способом вынесения общего множителя за скобки.
Под группировкой членов многочлена понимают объединение нескольких слагаемых алгебраической суммы, то есть заключение их в скобки.
При этом слагаемые объединяют так, чтобы они имели общий множитель, а после вынесения общих множителей за скобки, слагаемые снова должны иметь общий множитель.
Н а п р и м е р, $LaTeX formula: 7ab+14a+2b+b^{2}=(7ab+b^{2})+(14a+2b)$ LaTeX formula: =b(7a+b)+2(7a+b)=(7a+b)(b+2)

LaTeX formula: =b(7a+b)+2(7a+b)=(7a+b)(b+2)

3. Применение формул сокращенного умножения

$LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ (3.1)

$LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ (3.2)

$LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ (3.3)

$LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ (3.4)

$LaTeX formula: a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$ (3.5)

$LaTeX formula: a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )$ (3.6)

$LaTeX formula: a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$ (3.7)
Н а п р и м е р, разложим на множители выражение $LaTeX formula: 16-x^{4}$ , дважды применяя формулу разности квадратов 3.5:
$LaTeX formula: (4-x^{2})(4+x^{2})=(2-x)(2+x)(4+x^{2})$ .

4. Выделение полного квадрата

Чтобы выделить полный квадрат, необходимо, как правило, дополнить многочлен до квадрата суммы или квадрата разности и применить одну из формул: 3.1 или 3.2.
Н а п р и м е р, разложим трехчлен $LaTeX formula: P_3=a^{2}+6a+5$ на множители.
Дополним трехчлен до квадрата суммы 3.1:
$LaTeX formula: P_3=a^{2}+2\cdot 3\cdot a+5$ ,
$LaTeX formula: P_3=a^{2}+2\cdot 3\cdot a+3^{2}-3^{2}+5$ ,
$LaTeX formula: P_3=\left ( a^{2}+2\cdot 3\cdot a+3^{2} \right )-9+5$ ,
$LaTeX formula: P_3=\left ( a+3 \right )^{2}-4$ .
Применим формулу разности квадратов 3.5:
LaTeX formula: P_3=(a+3-2)(a+3+2)=(a+1)(a+5)

LaTeX formula: P_3=(a+3-2)(a+3+2)=(a+1)(a+5)

Пример 1. Разложите на множители выражение $LaTeX formula: x^{1,2}+1$ .
Решение.
Применим формулу сумы кубов 3.6:
$LaTeX formula: \left (x^{0,4} \right )^{3}+1^{3}=\left ( x^{0,4}+1 \right )\left ( x^{0,8}-x^{0,4}+1 \right )$ .
Ответ: $LaTeX formula: \left ( x^{0,4}+1 \right )\left ( x^{0,8}-x^{0,4}+1 \right )$ .

Пример 2. Разложите на множители многочлен $LaTeX formula: x^{3}+2y^{3}-xy^{2}-2x^{2}y$ .
Решение.
Применим метод группировки:
$LaTeX formula: P=\left ( x^{3}-2x^{2}y \right )+\left ( 2y^{3}-xy^{2} \right )$ ,
$LaTeX formula: P=x^{2}\left ( x-2y \right )+y^{2}\left ( 2y-x \right )$ ,
$LaTeX formula: P=x^{2}\left ( x-2y \right )-y^{2}\left ( x-2y \right )$ ,
$LaTeX formula: P=\left (x-2y \right )\left ( x^{2}-y^{2} \right )$ .
Применим формулу разности квадратов 3.5:
$LaTeX formula: P=\left ( x-2y \right )\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )$ .
Ответ: $LaTeX formula: \left ( x-2y \right )\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )$ .

Пример 3. Разложите на множители выражение $LaTeX formula: a^{2}-4ab+4b^{2}-a^{4}$ .
Решение.
Применим формулу квадрата разности 3.2:
$LaTeX formula: P=\left ( a^{2}-4ab+4b^{2} \right )-a^{4}$ , $LaTeX formula: P=\left ( a-2b \right )^{2}-a^{4}$ .
Применим формулу разности квадратов 3.5:
$LaTeX formula: P= \left ( a-2b-a^{2} \right )\left ( a-2b+a^{2} \right )$ .
Ответ: $LaTeX formula: \left ( a-2b-a^{2} \right )\left ( a-2b+a^{2} \right )$ .

Пример 4. Разложите на множители выражение $LaTeX formula: x^{2}-3xy-28y^{2}$ .
Решение. Запишем трехчлен в виде:
$LaTeX formula: x^{2}-2\cdot x\cdot \frac{3y}{2}-28y^{2}$ .
Дополним его до квадрата разности 3.2:
$LaTeX formula: P=\left (x^{2}-2\cdot x\cdot \frac{3y}{2}+\frac{9y^{2}}{4} \right )-\frac{9y^{2}}{4}-28y^{2}$ ,
$LaTeX formula: P=\left ( x-\frac{3y}{2} \right )^{2}-\frac{121y^{2}}{4}$ .
Применим формулу разности квадратов 3.5:
$LaTeX formula: P=\left ( x-\frac{3y}{2}-\frac{11y}{2} \right )\left ( x-\frac{3y}{2}+\frac{11y}{2} \right )$ ,
LaTeX formula: P=(x-7y)(x+4y)

.
Ответ: LaTeX formula: (x-7y)(x+4y)

1. Для всех $LaTeX formula: n\epsilon N$ справедливы равенства:
1) $LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2n}=\left ( -a-b \right )^{2n}$ ;
2) $LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2n+1}=-\left ( -a-b \right )^{2n+1}$ .
Н а п р и м е р: 1) $LaTeX formula: \left ( 7-a \right )^{4}=\left ( a-7 \right )^{4}$ ; 2) $LaTeX formula: \left ( 7-a \right )^{5}=-\left ( a-7 \right )^{5}$ .

2. Существуют и другие способы разложения многочленов на множители:
1) квадратный трехчлен $LaTeX formula: ax^{2}+bx+c$ можно разложить на линейные множители по формуле:
$LaTeX formula: ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ ,
где $LaTeX formula: x_{1}$ и $LaTeX formula: x_{2}$ – корни этого трехчлена;

2) многочлен $LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ можно разложить на множители по формуле:
$LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n})$ ,
где $LaTeX formula: c_{1}$ , $LaTeX formula: c_{2}$ , … , $LaTeX formula: c_{n}$ все корни этого многочлена;

3) если $LaTeX formula: c_{1}$ – корень кратности LaTeX formula: k

многочлена $LaTeX formula: P_{n}(x)$ , то разложение этого многочлена на множители примет вид:
$LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}\left ( x-c_{1} \right )^{k}\left ( x-c_{2} \right )\cdots \left ( x-c_{n-k+1} \right )$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_4_разложение_на_множители