Отношения, пропорции и проценты /qualihelpy

Отношения, пропорции и проценты

Справочник / Абитуриент / Числовые множества /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Частное от деления одного числа на другое называют их отношением.
Два равных отношения образуют пропорцию.

Н а п р и м е р, $LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ – пропорция, где LaTeX formula: a

– крайние, LaTeX formula: b

– средние члены этой пропорции.

Основное свойство пропорции
Произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов:
если $LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ , то LaTeX formula: bc=ad

. (1.5)

Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным.
Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают LaTeX formula: k

Н а п р и м е р, $LaTeX formula: \frac{33}{3}=\frac{121}{11}=11=k$ .

Процентом числа называют одну сотую часть этого числа:
LaTeX formula: 1

% от числа LaTeX formula: a%

равен

Задачи на проценты

1. Нахождение процента от числа:
LaTeX formula: p

% от числа LaTeX formula: a

равны $LaTeX formula: \frac{a}{100} \cdot p$ . (1.6)

2. Нахождение числа по его проценту:
если LaTeX formula: p

% от некоторого числа равны LaTeX formula: b

, то это число равно $LaTeX formula: \frac{b}{p} \cdot 100$ . (1.7)

3. Нахождение процентного отношения чисел:
процентное отношение числа LaTeX formula: a

к числу

равно $LaTeX formula: \frac{a}{b} \cdot 100$ %. (1.8)

Пример 1. Решите пропорцию LaTeX formula: 0,2:x=2:15

Решение. Запишем пропорцию в виде: $LaTeX formula: \frac{0,2}{x}=\frac{2}{15}$ .
По свойству 1.5 получим:
$LaTeX formula: 2x=0,2\cdot 15$ , откуда $LaTeX formula: x=0,1\cdot 15$ , LaTeX formula: x=1,5

.
Ответ: LaTeX formula: 1,5

Пример 2. Решите пропорцию $LaTeX formula: \frac{8}{3}=\frac{3-x}{2x-1}$ .

Решение. По свойству 1.5 запишем:
LaTeX formula: 8(2x-1)=3(3-x)

, откуда

, $LaTeX formula: x=\frac{17}{19}$ .
Ответ: $LaTeX formula: \frac{17}{19}$ .

Пример 3. Найдите LaTeX formula: X

из пропорции $LaTeX formula: \frac{\left ( 4-3,5\cdot \left ( 52\frac{1}{7}-51\frac{1}{5} \right )\right ):0,16 }{X}=\frac{3\frac{2}{7}-\frac{3}{14}:\frac{1}{6}}{1\frac{46}{168}-\frac{49}{60}}$ .

Решение.Найдем значение выражения, стоящего в числителе первой дроби:

1) $LaTeX formula: 52\frac{1}{7}-51\frac{1}{5}=1\frac{1}{7}-\frac{1}{5}=\frac{8}{7}-\frac{1}{5}=\frac{8\cdot 5-1\cdot 7}{7\cdot 5}=\frac{33}{35}$ ;

2) $LaTeX formula: \frac{35}{10}\cdot \frac{33}{35}=\frac{33}{10}=3,3$ ;

;

4) $LaTeX formula: \frac{7}{10}: \frac{16}{100} =\frac{7\cdot 100}{10\cdot 16}=\frac{7\cdot 10}{1\cdot 16}=\frac{7\cdot 5}{8}=\frac{35}{8}$ .

Найдем значение выражения, стоящего в числителе второй дроби:

5) $LaTeX formula: \frac{3}{14}:\frac{1}{6}=\frac{3\cdot 6}{14}=\frac{3\cdot 3}{7}=\frac{9}{7}$ ;

6) $LaTeX formula: 3\frac{2}{7}-1\frac{2}{7}=2\frac{2}{7}-\frac{2}{7}=2$ .

Найдем значение выражения, стоящего в знаменателе второй дроби:

7) $LaTeX formula: 1\frac{23}{84}-\frac{49}{60}=\frac{107}{12\cdot 7}-\frac{49}{12\cdot 5}=\frac{107\cdot 5-49\cdot 7}{12\cdot 7\cdot 5}=$

$LaTeX formula: =\frac{535-343}{12\cdot 7\cdot 5}=\frac{192}{12\cdot 7\cdot 5}=\frac{16}{1\cdot 7\cdot 5}=\frac{16}{35}$ .

Запишем пропорцию $LaTeX formula: \frac{8}{X}=\frac{2}{\frac{16}{35}}$ .

Применив основное свойство пропорции 1.5, получим:
$LaTeX formula: 2X=\frac{35}{8}\cdot \frac{16}{35}$ , LaTeX formula: 2X=2

Ответ:

Пример 4. Найдите LaTeX formula: 25

% от числа LaTeX formula: 50

Решение. Согласно 1.6 получим:

$LaTeX formula: \frac{50}{100}\cdot 25=\frac{25}{2}=12,5$ .

Ответ:

Пример 5. Найдите число, LaTeX formula: 5

% которого равны LaTeX formula: 32

Решение. Согласно 1.7 получим:

$LaTeX formula: \frac{32}{5}\cdot 100=32\cdot 20=640$ .

Ответ:

Пример 6. Найдите процентное отношение чисел LaTeX formula: 150

Решение. Согласно 1.8 получим:

$LaTeX formula: \frac{150}{30}\cdot 100$ % $LaTeX formula: =5\cdot 100$ % LaTeX formula: =500

Ответ:

Пример 7. Число LaTeX formula: a=15

и составляет LaTeX formula: 30

% от числа LaTeX formula: b

. Число

составляет LaTeX formula: 40

% от числа LaTeX formula: b

. Во сколько раз процентное отношение чисел LaTeX formula: a

больше процентного отношения чисел LaTeX formula: a

Решение. 1. Поскольку число LaTeX formula: 15

составляет LaTeX formula: 3

% от числа LaTeX formula: b

, то согласно 1.7 получим:
$LaTeX formula: b=\frac{15}{30}\cdot 100=50$ .

2. Поскольку число LaTeX formula: c

составляет LaTeX formula: 40

% от числа LaTeX formula: 50

, то согласно 1.6 получим:
$LaTeX formula: c=\frac{50}{100}\cdot 40=20$ .

3. Найдем процентное отношение числа LaTeX formula: a

к числу

. Согласно 1.8 получим:
$LaTeX formula: \frac{15}{20}\cdot 100$ % LaTeX formula: =75

4. Найдем процентное отношение числа LaTeX formula: a

к числу

:
$LaTeX formula: \frac{15}{50}\cdot 100$ % LaTeX formula: =30

5. Найдем во сколько раз процентное отношение чисел LaTeX formula: a

больше процентного отношения чисел LaTeX formula: a

Ответ: в LaTeX formula: 2,5 раза.

Неизвестные члены пропорции $LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ можно найти так:

$LaTeX formula: a=\frac{bc}{d}$ ; $LaTeX formula: b=\frac{ad}{c}$ ; $LaTeX formula: c=\frac{ad}{b}$ ; $LaTeX formula: d=\frac{bc}{a}$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_9_пропорции_проценты

Отношения, пропорции, проценты/div>