Графическое решение уравнений и неравенств /qualihelpy

Графическое решение уравнений и неравенств

Справочник / Абитуриент / Функции /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Уравнением линии на плоскости называют уравнение с двумя переменными LaTeX formula: F(x;y)=0

или

, которому удовлетворяют координаты LaTeX formula: x

(абсцисса) и LaTeX formula: y

(ордината) любой точки данной линии.

Уравнение окружности

1. Если уравнение окружности имеет вид $LaTeX formula: x^{2}+y^{2}=R^{2}$ , то ее центр находится в точке LaTeX formula: O(0;0)

, а радиус равен LaTeX formula: R

(рис. 2.51).

2. Если уравнение окружности имеет вид $LaTeX formula: (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$ , то ее центр находится в точке LaTeX formula: O'(a;b)

, а радиус равен LaTeX formula: R

(рис. 2.52).

Неравенства

1. Неравенству $LaTeX formula: x^{2}+y^{2}< R^{2}$ удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности $LaTeX formula: x^{2}+y^{2}= R^{2}$ (рис. 2.51.1).

2. Неравенству $LaTeX formula: x^{2}+y^{2}> R^{2}$ удовлетворяют координаты всех точек, лежащих вне окружности $LaTeX formula: x^{2}+y^{2}= R^{2}$ (рис. 2.51.2).

3. Неравенству $LaTeX formula: x^{2}+y^{2}\leq R^{2}$ удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности $LaTeX formula: x^{2}+y^{2}= R^{2}$ и на ее границе (рис. 2.51.3).

4. Неравенству $LaTeX formula: x^{2}+y^{2}\geq R^{2}$ удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих вне окружности $LaTeX formula: x^{2}+y^{2}= R^{2}$ и на ее границе (рис. 2.51.4).

Уравнение квадрата

1. Если уравнение квадрата имеет вид $LaTeX formula: \left | x \right |+\left | y \right |\leq \frac{d}{2}$ , то точка LaTeX formula: O(0;0)

– точка пересечения диагоналей квадрата, LaTeX formula: d

– длина диагонали квадрата (рис. 2.53).

2. Если уравнение квадрата имеет вид $LaTeX formula: \left | x-a \right |+\left | y-b \right |\leq \frac{d}{2}$ , то точка LaTeX formula: O'(a;b)

– точка пересечения диагоналей квадрата, LaTeX formula: d

– длина диагонали квадрата (рис. 2.54).

Пересечение линий на плоскости

Рассмотрим две линии, заданные уравнениями $LaTeX formula: f_{1}(x;y)=0$ и $LaTeX formula: f_{2}(x;y)=0$ .
Чтобы найти точку пересечения этих линий необходимо решить систему уравнений:

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} f_{1}(x;y)=0, & \\ f_{2}(x;y)=0.& \end{matrix}\right.$

Графическое решение уравнений и неравенств

1. Уравнение LaTeX formula: f(x)=g(x)

можно решить графически, если построить в одной системе координат графики функций LaTeX formula: y=f(x)

и найти их точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения LaTeX formula: f(x)=g(x)

2. Использование монотонности функций при решении уравнений:
если функция LaTeX formula: f(x)

строго возрастает, а функция LaTeX formula: g(x)

строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение LaTeX formula: f(x)=g(x)

на этом множестве имеет не более одного решения.

Чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем.
На рисунке 2.55 число $LaTeX formula: x_{0}$ – корень уравнения LaTeX formula: f(x)=g(x)

Аналогично решаются уравнения, если функция LaTeX formula: g(x)

имеет вид

(эта прямая параллельна оси абсцисс) (рис. 2.56).
Н а п р и м е р, число LaTeX formula: 4

является единственным корнем уравнения $LaTeX formula: \sqrt{5-x}=2x-7$ , так как левая часть этого уравнения представлена строго убывающей функцией, а правая – строго возрастающей.

3. Использование монотонности функций при решении неравенств:
если функция LaTeX formula: f(x)

строго возрастает на некотором отрезке LaTeX formula: [a;b]

, а функция LaTeX formula: g(x)

строго убывает на этом отрезке и $LaTeX formula: x_{0}$ – корень уравнения LaTeX formula: f(x)=g(x)

, то решением неравенства LaTeX formula: f(x)< g(x)

является промежуток $LaTeX formula: [a;x_{0})$ , а решением неравенства LaTeX formula: f(x)> g(x)

является промежуток $LaTeX formula: (x_{0};b]$ (рис. 2.57).

Графики функций на заданном отрезке могут и не пересекаться.
Н а п р и м е р, на рисунке 2.58 неравенство LaTeX formula: f(x)> g(x)

выполняется на всем отрезке LaTeX formula: [a;b]

Пример 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми LaTeX formula: x=3

.
Решение. Построим на координатной плоскости данные прямые (рис. 2.59).

Прямая

(1) параллельна оси ординат и проходит через точку LaTeX formula: (3;0)

.
Чтобы построить прямую LaTeX formula: y=3x

(2), необходимо знать две точки, принадлежащие этой прямой. Например, можно построить точки LaTeX formula: (0;0)

и провести через них прямую (2).
Чтобы построить прямую LaTeX formula: y=x-4

(3), можно построить точки LaTeX formula: (0;-4)

, принадлежащие этой прямой, и провести через них прямую (3).

Из рисунка 2.59 видим, что треугольник LaTeX formula: ABC

ограничен данными прямыми.
Площадь полученного треугольника найдем по формуле:
$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}ah_{a}$ , а в нашем случае $LaTeX formula: S=\frac{1}{2}BC\cdot AD$ .

Найдем координаты точек пересечения прямых.
1. Найдем координаты точки LaTeX formula: A

, решая систему уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} y=3x, \\ y=x-4.\end{array}\right.$
Получим точку LaTeX formula: A(-2;-6)

2. Найдем координаты точки LaTeX formula: B

, решая систему уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x=3, \\ y=3x.\end{array}\right.$
Получим точку LaTeX formula: B(3;9)

3. Найдем координаты точки LaTeX formula: С

, решая систему уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x=3, \\ y=x-4.\end{array}\right.$
Получим точку LaTeX formula: C(3;-1)

Найдем длину отрезка LaTeX formula: BC

, вычитая из ординаты точки LaTeX formula: B

ординату точки LaTeX formula: C

.
Найдем длину отрезка LaTeX formula: AD

, вычитая из абсциссы точки LaTeX formula: C

абсциссу точки LaTeX formula: A

.
Найдем площадь треугольника LaTeX formula: ABC

:
$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 5=25$ .
Ответ: LaTeX formula: 25

Пример 2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x+y\leq 2, & & \\ y-x\leq 2,& & \\ -2\leq y\leq 0.& & \end{matrix}\right.$

Решение. Построим граничные прямые, соответствующие неравенствам заданной системы:
LaTeX formula: y=-x+2

(1),

(2),

(3),

(4) (рис. 2.60).
Система неравенств задает на координатной плоскости трапецию LaTeX formula: ADEC

, площадь которой найдем по формуле
$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot \left ( DE+AC \right )\cdot OK$ .

Согласно рисунку 2.60 запишем: LaTeX formula: DE=4

.
Найдем координаты точки LaTeX formula: A

, решая систему уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} y=x+2, \\ y=-2.\end{array}\right.$
Получим LaTeX formula: A(-4;-2)

.
Аналогично найдем координаты точки LaTeX formula: C

. Получим

. Тогда

.
Найдем площадь трапеции:
$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot (4+8)\cdot 2=12$ .
Ответ: LaTeX formula: 12

Пример 3. Найдите все целые значений параметра LaTeX formula: k

, при которых уравнение $LaTeX formula: \left | 3x^{2}-8\left | x \right | -3\right |=-3k$ имеет шесть корней.
Решение. Заменим данное уравнение равносильной системой уравнений

$LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} y=|3x^2-8|x|-3|, \\ y=-3k.\end{array}\right.$

Построим схематически график функции $LaTeX formula: y=\left | 3x^{2}-8\left | x \right | -3\right |$ , предварительно построив графики функций
$LaTeX formula: y= 3x^{2}-8 x -3$ и $LaTeX formula: y=3x^{2}-8\left | x \right | -3$ .

1. Графиком функции $LaTeX formula: y= 3x^{2}-8 x -3$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы.Согласно формулам $LaTeX formula: x_{0}=-\frac{b}{a}$ , $LaTeX formula: y_{0}=f(x_{0})$ получим:
$LaTeX formula: x_{0}=\frac{4}{3}$ , $LaTeX formula: x_{0}=3\cdot \frac{16}{9}-8\cdot \frac{4}{3}-3=-8\frac{1}{3}$ .
Найдем нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс), решая уравнение
$LaTeX formula: 3x^{2}-8 x -3=0$ , откуда $LaTeX formula: x_{1}=-\frac{1}{3}$ , $LaTeX formula: x_{2}=3$ .
Найдем точку пересечения графика с осью ординат: LaTeX formula: f(0)=-3

.
Построим график (1) (рис. 2.61).

2. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: y= 3x^{2}-8\left | x \right | -3$ .
Поскольку $LaTeX formula: x^{2}=\left | x \right |^{2}$ , то $LaTeX formula: y= 3\left |x \right |^{2}-8\left | x \right | -3$ .
Построим график (2) этой функции, выполняя следующее преобразование:
часть графика функции $LaTeX formula: y= 3x ^{2}-8 x -3$ правее оси LaTeX formula: Oy

оставим и ее же отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).

3. Построим график (3) функции $LaTeX formula: y=\left | 3\left |x \right |^{2}-8\left | x \right | -3\right |$ , выполняя следующее преобразование:
часть графика функции $LaTeX formula: y= 3\left |x \right |^{2}-8\left | x \right | -3$ , расположенной над осью LaTeX formula: Ox

оставим, а ту, что под осью LaTeX formula: Ox

, отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).

Рассмотрим линейную функцию LaTeX formula: y=-3k

.
Построим семейство прямых, параллельных оси LaTeX formula: Ox

так, чтобы они пересекали график функции $LaTeX formula: y=\left | 3\left |x \right |^{2}-8\left | x \right | -3\right |$ в шести точках.
Это возможно при условии, что $LaTeX formula: 3< -3k< \frac{25}{3}$ или $LaTeX formula: - \frac{25}{9}< k< -1$ .
Очевидно, что промежутку $LaTeX formula: \left ( -2\frac{7}{9};-1 \right )$ принадлежит одно целое значение LaTeX formula: k=-2

.
Ответ: LaTeX formula: -2

Пример 4. Найдите все значения параметра LaTeX formula: a

, при которых уравнение $LaTeX formula: \frac{x+8}{\left | x+8 \right |}=\left | x+a \right |^{2}$ имеет один корень.
Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений
$LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} y=\frac{x+8}{|x+8|}, \\ y=(x+a)^2.\end{array}\right.$

1. Построим схематически график функции $LaTeX formula: y=\frac{x+8}{\left | x+8 \right |}$ (рис. 2.62).
Найдем нули функции под знаком модуля: LaTeX formula: x+8=0

.
Раскроем модуль на полученных промежутках, учитывая при этом, что LaTeX formula: x=-8

– точка разрыва функции.

Рассмотрим два случая:
1) если $LaTeX formula: x\in (-\infty ;-8)$ , то $LaTeX formula: y=-\frac{x+8}{x+8}$ или LaTeX formula: y=-1

;

2) если $LaTeX formula: x\in (-8 ;+\infty )$ , то $LaTeX formula: y=\frac{x+8}{x+8}$ или LaTeX formula: y=1

2. Построим схематически график функции $LaTeX formula: y=( x+a )^{2}$ , предварительно построив параболу $LaTeX formula: y= x^{2}$ .
Парабола $LaTeX formula: y= x^{2}$ и прямая LaTeX formula: y=1

имеют две общие точки.
Так как согласно условию задачи графики функций $LaTeX formula: y=\frac{x+8}{\left | x+8 \right |}$ и $LaTeX formula: y=( x+a )^{2}$ должны иметь только одну точку пересечения, то, выполняя параллельный перенос параболы $LaTeX formula: y=x^{2}.$ на LaTeX formula: a

единичных отрезка влево.
Заметим, что при LaTeX formula: a=7

парабола $LaTeX formula: y=( x+a )^{2}$ и прямая LaTeX formula: y=1

имеют одну точку пересечения, а при LaTeX formula: a=9

уже не имеют общих точек.
Следовательно, если LaTeX formula: a

принимает значения из промежутка LaTeX formula: [7;9)

, то графики функций $LaTeX formula: y=\frac{x+8}{\left | x+8 \right |}$ и $LaTeX formula: y=( x+a )^{2}$ имеют одну общую точку, а уравнение $LaTeX formula: \frac{x+8}{\left | x+8 \right |}=\left | x+a \right |^{2}$ имеет одно решение.
Ответ: LaTeX formula: [7;9)

Пример 5. Найдите все значения параметра LaTeX formula: a

, при которых уравнение $LaTeX formula: \left | x -14\right |+\left | x+2 \right |=-a^{3}$ имеет бесконечно много решений.

Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений
$LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} y=|x-14|+|x+2|, \\ y=-a^2.\end{array}\right.$

1. Построим схематически график функции $LaTeX formula: y=\left | x-14 \right |+\left | x+2 \right |$ .
Найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения:
LaTeX formula: x-14=0

, откуда

, откуда

.
Раскроем модули на полученных промежутках и построим графики функций на этих промежутках (рис. 2.63):
1) если $LaTeX formula: x\in (-\infty ;-2 ]$ , то LaTeX formula: y=-x+14-x-2

или

;
2) если $LaTeX formula: x\in (-2 ;14 ]$ , то LaTeX formula: y=-x+14+x+2

или

;
3) если $LaTeX formula: x\in (14;+\infty)$ , то LaTeX formula: y=x-14+x+2

или

2. Построим прямую $LaTeX formula: y= -a^{3}$ так, чтобы она имела с графиком функции $LaTeX formula: y=\left | x-14 \right |+\left | x+2 \right |$ бесконечно много общих точек. Очевидно, что это возможно, если $LaTeX formula: -a^{3}=16$ , откуда $LaTeX formula: a=-2\sqrt[3]{2}$ .
Ответ: $LaTeX formula: a=-2\sqrt[3]{2}$ .

Пример 6. Найдите все значения параметра LaTeX formula: a

, при которых система уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} |x|+|y|=8, \\ x^2+y^2=4a\end{array}\right.$ имеет четыре решения.
Решение. Имеем уравнение квадрата $LaTeX formula: \left | x \right |+\left | y \right |=8$ и уравнение окружности $LaTeX formula: x^{2}+y^{2}=4a$ .

1. Построим квадрат с центром в точке LaTeX formula: O(0;0)

и диагональю LaTeX formula: d=16

(рис. 2.64).

Площадь квадрата найдем по формуле $LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d^{2}$ . Получим: $LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 16^{2}=128$ .

С другой стороны, площадь квадрата можно вычислить по формуле $LaTeX formula: S=x^{2}$ , где LaTeX formula: x

– сторона квадрата.
Тогда $LaTeX formula: x^{2}=128$ , откуда $LaTeX formula: x=8\sqrt{2}$ .

2. Построим окружность с центром в точке LaTeX formula: O(0;0)

и радиусом $LaTeX formula: R=2\sqrt{a}$ (рис. 2.64).

Поскольку система уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} |x|+|y|=8, \\ x^2+y^2=4a\end{array}\right.$ имеет четыре решения, то окружность может быть:
1) вписана в квадрат, тогда ее радиус $LaTeX formula: r=\frac{x}{2}$ или $LaTeX formula: 2\sqrt{a}=\frac{8\sqrt{2}}{2}$ , откуда LaTeX formula: a=8

;
2) описана около квадрата, тогда радиус окружности $LaTeX formula: R=\frac{d}{2}$ или $LaTeX formula: 2\sqrt{a}=8$ , откуда LaTeX formula: a=16

.
Ответ: LaTeX formula: 8

;

Пример 7. Найдите площадь и периметр фигуры, заданной неравенством $LaTeX formula: \left | x-7 \right |+\left | y-2 \right |\leq 10$ .
Решение. Данному неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных внутри квадрата $LaTeX formula: \left | x-7 \right |+\left | y-2 \right |= 10$ и на его границе.
Построим квадрат с центром в точке LaTeX formula: O{}'(7;2)

и диагональю LaTeX formula: d=20

(рис. 2.65).
Найдем площадь квадрата. Согласно формуле $LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d^{2}$ получим:
$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 20^{2}=200$ .

С другой стороны, площадь квадрата находят по формуле $LaTeX formula: S=a^{2}$ , где LaTeX formula: a

– сторона квадрата.
Тогда $LaTeX formula: a^{2}=200$ , $LaTeX formula: a=10\sqrt{2}$ .
Найдем периметр квадрата:
$LaTeX formula: P=4a=40\sqrt{2}$ .
Ответ: LaTeX formula: S=200

, $LaTeX formula: P=40\sqrt{2}$ .

Решая уравнение или систему уравнений графически, точное решение найти бывает достаточно сложно, а то и вовсе не возможно. Поэтому этот метод чаще всего применяют в случае, когда необходимо определить количество корней уравнения или найти их приближенное значение.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания М_16_Графическое_решение_неравенств

М_15_Графическое_решение_уравнений