Рациональными числами называют числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби   , где  и . 
Множество рациональных чисел обозначают  . 

Рациональными являются натуральные и целые числа, а также конечные и периодические десятичные дроби, так как все они могут быть обращены в обыкновенную дробь. 

Множество иррациональных чисел состоит из бесконечных непериодических десятичных дробей.
Н а п р и м е р, иррациональными являются числа:  ;  ;  .

Все рациональные и все иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Запись   обозначает множество всех действительных чисел  или множество всех точек числовой прямой.

Рассмотрим прямую, на которой указаны начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок. Каждой точке этой прямой соответствует число, которое называют координатой точки на прямой. 

Н а п р и м е р, на рисунке 1.4 точка  имеет координату  , точка  – координату  , а точка  – координату  . Записывают:   ,  ,   .

Расположим две координатные прямые  и  так, чтобы они пересекались под прямым углом (рис. 1.5). Говорят, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.
Прямую  называют осью абсцисс, а прямую  – осью ординат.
Эти прямые (координатные оси) делят плоскость на четыре части, которые называют  ,  ,  и   координатными четвертями. 

Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел   , которые называют координатами точки на плоскости.

                            

Н а п р и м е р, на координатной плоскости (рис. 1.6) построим точку  с координатами  и  .
Для этого отложим на оси   единичных отрезка вправо и через эту точку проведем прямую, параллельную оси  . Отложим на оси   единичных отрезка вверх и через эту точку проведем прямую, параллельную оси . В результате пересечения этих прямых получим точку , которой соответствуют два числа: число  – абсцисса точки  , число–ордината точки  . Запишем:  . 

Отрезок   – это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству   .
С другой стороны это множество точек числовой прямой, состоящее из точек  и  , а также всех точек, находящихся между ними (рис. 1.7). 

Н а п р и м е р, на рисунке 1.8 отрезок   есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству   .

Интервал  – это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству   .
 Если из отрезка  исключить точки  и  , то получим интервал  (рис. 1.9).

Н а п р и м е р, на рисунке 1.10 интервал   есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству   .

Полуинтервалы  и  – множества всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам   и   .

Н а п р и м е р, полуинтервал   – это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству   (рис. 1.11), а полуинтервал   – множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству  (рис. 1.12).

Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют промежутками. 

Длина отрезка. Чтобы найти длину отрезка, необходимо из координаты конца отрезка вычесть координату его начала, то есть длина отрезка  равна   . 

Середина отрезка. Чтобы найти середину отрезка, необходимо найти полусумму координат концов отрезка, то есть серединой отрезка  является число   .

Запись   означает, что имеем -элементное множество  , состоящее из элементов   . Так как каждый из этих элементов принадлежит множеству  , то записывают:  ,  и т. д. Если некоторый элемент  не принадлежит заданному множеству  , то записывают:   .

Н а п р и м е р, запишем, что число  принадлежит множеству целых чисел, но не принадлежит множеству натуральных чисел:   ,   .

Множество  является подмножеством множества  , если все элементы множества  являются элементами множества  . Говорят, что множество  содержит в себе множество  или, что множество  включается в множество  и записывают:   . 

Например, множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел, а множество рациональных чисел – подмножеством множества действительных чисел:   и   .

Объединением двух множеств  и  называют множество  , состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств  или  . Объединение множеств  и  записывают так:  .

Примером объединения множеств является решение совокупности неравенств: решением совокупности неравенств   является объединение промежутков   и  . 

Пересечением двух множеств  и  называют множество  , состоящее из элементов, принадлежащих и множеству  и множеству  . Пересечение множеств  и  записывают так:  . Если множества  и  не содержат общих элементов, то их пересечение пусто:   .

Примером пересечения множеств является решение системы неравенств:
решением системы неравенств   является пересечение промежутков   и   .