Преобразования графиков функций

Справочник / Абитуриент / Функции / Преобразования графиков функций
Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты
Преобразования графиков функций
1. Чтобы построить график функции LaTeX formula: y=f(x)+b , необходимо выполнить параллельный перенос графика функции  LaTeX formula: y=f(x) вдоль оси LaTeX formula: Oy на  LaTeX formula: b единичных отрезков вверх при LaTeX formula: b> 0  или вниз при LaTeX formula: b< 0 . 
Например, согласно этому правилу на рисунке 2.40 построены графики функций LaTeX formula: y=\sqrt{x}  (*) и  LaTeX formula: y=\sqrt{x}-1 (1). 
2. Чтобы построить график функции LaTeX formula: y=f(x+a) , необходимо выполнить параллельный перенос графика функции LaTeX formula: y=f(x)  вдоль оси LaTeX formula: Ox влево на LaTeX formula: a  единичных отрезков при LaTeX formula: a> 0  или вправо при LaTeX formula: a< 0 . 
Например, на рисунке 2.41 построены графики функций LaTeX formula: y=\sqrt{x}  (*) и LaTeX formula: y=\sqrt{x-1} (2).
            
3. Чтобы построить график функции LaTeX formula: y=-f(x), необходимо график функции LaTeX formula: y=f(x) отразить симметрично относительно оси LaTeX formula: Ox. 

Н а п р и м е р, на рисунке 2.42 построены графики функций  LaTeX formula: y=\log _{0,5}x  (*) и  LaTeX formula: y=-\log _{0,5}x (3).
          
4. Чтобы построить график функции  LaTeX formula: y=f(-x), необходимо график функции LaTeX formula: y=f(x)  отразить симметрично оси LaTeX formula: Oy. 
Например, на рисунке 2.43 построены графики функций LaTeX formula: y=\log _{0,5}x  (*) и LaTeX formula: y=\log _{0,5}(-x)  (4).
5. Чтобы построить график функции LaTeX formula: y=\left | f(x) \right | , необходимо часть графика функции LaTeX formula: y=f(x) , расположенной над осью LaTeX formula: Ox, оставить, а ту, что под осью, отразить симметрично этой оси. 

Н а п р и м е р, на рисунке 2.44 построены графики функций LaTeX formula: y=\frac{1}{x}  (*) и  LaTeX formula: y=\left |\frac{1}{x} \right | (5).
На рисунке 2.45 изображен график функции  LaTeX formula: y=\left | x \right |.
                
6. Чтобы построить график функции LaTeX formula: y=f(\left | x \right |) , необходимо часть графика функции LaTeX formula: y=f(x) , расположенной правее оси LaTeX formula: Oy, оставить и ее же отразить симметрично этой оси. 
Например, на рисунке 2.46 построены графики функций LaTeX formula: y=0,2^{x} (*) и LaTeX formula: y=0,2^{\left |x \right |}  (6).
7. Чтобы построить график функции LaTeX formula: y=kf(x) , необходимо каждую ординату точки графика функции LaTeX formula: y=f(x)  увеличить в  LaTeX formula: k раз (растяжение графика функции  LaTeX formula: y=f(x) вдоль оси LaTeX formula: Oy при LaTeX formula: k> 1  и сжатие – при LaTeX formula: 0< k< 1. 
Например, на рисунке 2.47 построены графики функций LaTeX formula: y=x^{2}  (*) и LaTeX formula: y=0,5x^{2}  (7). 
              
8. Чтобы построить график функции LaTeX formula: y=f(kx),  необходимо каждую абсциссу точки графика функции LaTeX formula: y=f(x)  уменьшить в LaTeX formula: k  раз (растяжение графика функции  LaTeX formula: y=f(x) вдоль оси LaTeX formula: Ox при  LaTeX formula: k> 1 и сжатие – при LaTeX formula: 0< k< 1. 
Например, на рисунке 2.48 построены графики функций LaTeX formula: y=x^{2}  (*) и LaTeX formula: y=(2x)^{2}  (8). 
Пример 1. Укажите все значения параметра LaTeX formula: a, при которых графики функций LaTeX formula: y=\left | x^{2}-7ax \right |  и LaTeX formula: y=4a  имеют две общие точки.
Решение. Построим схематически графики заданных функций (рис. 2.49).
 
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: y=\left | x^{2}-7ax \right | .
Построим параболу, заданную уравнением LaTeX formula: y= x^{2}-7ax  (1).
Определим координаты вершины параболы:
 LaTeX formula: x_{0}=\frac{7a}{2} ; LaTeX formula: y_{0}=\left ( \frac{7a}{2} \right )^{2}-\frac{7a\cdot 7a}{2} , LaTeX formula: y_{0}=-\frac{49a^{2}}{4} .
Чтобы построить график функции LaTeX formula: y=\left | x^{2}-7ax \right |  (2), выполним следующее преобразование:
часть графика функции LaTeX formula: y= x^{2}-7ax , расположенную над осью абсцисс, оставим, а ту, что под осью абсцисс, отразим симметрично этой оси. 
2. Построим график функции  LaTeX formula: y=a (семейство прямых, параллельных оси LaTeX formula: Ox) так, чтобы графики функций LaTeX formula: y=\left | x^{2}-7ax \right |  и LaTeX formula: y=a  пересекались в двух точках.
Очевидно, что прямая  LaTeX formula: y=a должна или совпадать с осью LaTeX formula: Ox, тогда LaTeX formula: a=0  или располагаться выше точки LaTeX formula: A  (рис. 2.49), тогда LaTeX formula: a> \frac{49a^{2}}{4} .
Решим неравенство:
 LaTeX formula: a> \frac{49a^{2}}{4} , LaTeX formula: 49a^{2}-4< 0 , LaTeX formula: a(49a-4)< 0 .
Согласно рисунку 2.50 запишем его решение: LaTeX formula: \left ( 0;\frac{4}{49} \right ) . 
Поскольку значение  LaTeX formula: a=0 не является решением неравенства, то прямую  LaTeX formula: y=0 рассматривать не будем. 
Ответ: LaTeX formula: \left ( 0;\frac{4}{49} \right ) .

Преобразования графиков функций удобно использовать в процессе исследования уравнений, неравенств и их систем.
Программа для просмотра моделей (МК-плеер) М_13_Преобразования_графиков
© Сиротина И.К., 2013—2025
formula