Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Линейная функция
Линейной называют функцию вида 
, где 
и 
– действительные числа.
Число называют угловым коэффициентом прямой.
Графиком линейной функции является прямая (рис. 2.11 – 2.13).
Угловой коэффициент прямой находят по
формуле
,
где
– угол наклона прямой к положительному направлению оси 
(рис. 2.11). 
4) 
и 
(рис. 2.24);
5) и 
(рис. 2.25);
6) и 
(рис. 2.26).
Из рисунков 2.21, 2.22 и 3.23 видим, что при 
наименьшим значением функции является ордината вершины параболы и 
. 
, где и 
.
Если основание логарифма
, то функция монотонно возрастает (рис. 2.29).
Если
, то функция монотонно убывает (рис. 2.30). 
, где и – действительные числа. Число
называют угловым коэффициентом прямой. Графиком линейной функции является прямая (рис. 2.11 – 2.13).
1. Если 
, то функция монотонно возрастает (рис. 2.11).
, то функция монотонно возрастает (рис. 2.11). 2. Если 
, то функция монотонно убывает (рис. 2.12).
, то функция монотонно убывает (рис. 2.12). 3. Если 
, то функция примет вид 
.
Придавая произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси (рис. 2.13).
, то функция примет вид . Придавая
произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси (рис. 2.13). 4. Если 
, то функция примет вид 
.
Такую функциональную зависимость называют прямой пропорциональностью.
, то функция примет вид . Такую функциональную зависимость называют прямой пропорциональностью.
Область определения линейной функции 
.
Область значений линейной функции
.
. Область значений линейной функции
. прямой находят по
формуле
, где
– угол наклона прямой к положительному направлению оси (рис. 2.11). Взаимное расположение прямых 
и 
на плоскости:
1) если
, то прямые
пересекаются
;
2) если
и 
, то прямые
параллельны
;
3) если
и 
, то прямые
совпадают
.
и на плоскости:1) если
, то прямые
пересекаются
; 2) если
и , то прямые
параллельны
;3) если
и , то прямые
совпадают
.Степенные функции
на координатной плоскости зависит от значения дискриминанта 
и знака коэффициента 
.
Возможны следующие случаи:
1) и (рис. 2.21);
2) и (рис. 2.22);
3) и (рис. 2.23);
Степенной
называют функцию вида 
,
где 
– положительное действительное число, отличное от нуля.
Примеры степенных функций.
1. Если функция имеет вид 
(рис. 2.14), то 
: 
, а 
: 
.
2. Если функция имеет вид 
(рис. 2.15), то 
: , а 
: 
.
3. Если функция имеет вид 
(рис. 2.16), то : 
, а : .
4. Если функция имеет вид ![LaTeX formula: y=\sqrt[3]{x}](/uploads/formulas/f8c1b58cafb804617a8eaf711b449e103ca70482.1.1.png "y=\sqrt[3]{x}")
(рис. 2.17), то : , а : .
5. Если функция имеет вид 
, где – отличное от нуля действительное число (рис. 2.18, 2.19), то
: 
, а : 
.
Функцию называют
обратной пропорциональностью.
Если , то ее график расположен в первой и третьей четвертях координатной плоскости (рис.2.18).
Если , то – во второй и четвертой четвертях координатной плоскости (рис. 2.19).
6. Если функция имеет вид 
(рис. 2.20), то : , а : 
.
Квадратичная функция
Квадратичной
называют функцию вида ,
где , , 
– действительные числа (
) .
График квадратичной функции называется
параболой.
Координаты вершины 
параболы находят по формулам:
, 
.
Прямая –
ось симметрии
параболы.
на координатной плоскости зависит от значения дискриминанта и знака коэффициента . Возможны следующие случаи:
1)
и (рис. 2.21); 2)
и (рис. 2.22); 3)
и (рис. 2.23); и (рис. 2.24); 5)
и (рис. 2.25); 6)
и (рис. 2.26). наименьшим значением функции является ордината вершины параболы и . Из рисунков 2.24, 2.25, 2.26 видим, что при наибольшим значением функции является ордината вершины параболы и ![LaTeX formula: E(f)=(-\infty ;y_{0}]](/uploads/formulas/20cbb66e69c98805f201ef5244fdeb47bea759a9.1.1.png "E(f)=(-\infty ;y_{0}]")
.
наибольшим значением функции является ордината вершины параболы и . Показательная функция
Показательной называют функцию вида 
,
где и .
Если , то функция монотонно возрастает (рис. 2.27).
Если , то функция монотонно убывает (рис. 2.28).
, где
и . Если
, то функция монотонно возрастает (рис. 2.27). Если
, то функция монотонно убывает (рис. 2.28).Область определения 
: 
. Область значений 
: 
.
: . Область значений : . Логарифмическая функция
Логарифмической называют функцию вида , где и . Если основание логарифма
, то функция монотонно возрастает (рис. 2.29).Если
, то функция монотонно убывает (рис. 2.30). Область определения 
. Область значений 
.
. Область значений . Тригонометрические функции
К тригонометрическим функциям относят функции 
, 
, 
и 
.
1. Если функция имеет вид (рис.2.31), то
: , : ![LaTeX formula: y\in [-1;1]](/uploads/formulas/f60d17e426fb9053ba17362774d52aa31ef31d31.1.1.png "y\in [-1;1]")
; основной период 
.
, , и . 1. Если функция имеет вид
(рис.2.31), то : , : ; основной период .2. Если функция имеет вид (рис. 2.32), то
: , : ; основной период .
(рис. 2.32), то: , : ; основной период .3. Если функция имеет вид 
(рис. 2.33), то
: и 
, где 
; : ; основной период 
.
(рис. 2.33), то: и , где ; : ; основной период .4. Если функция имеет вид 
(рис. 2.34), то
: и 
, где 
; : 
; основной период 
.
(рис. 2.34), то: и , где ; : ; основной период . Если тригонометрическая функция имеет вид 
, то ее основной период находят по формуле:
, где 
– основной период функции 
.
, то ее основной период находят по формуле: , где – основной период функции . Обратные тригонометрические функции
К обратным тригонометрическим функциям относят функции:
, 
, 
и 
.
, , и . Необходимо помнить, что:
1) для функции обратная функция определена только на отрезке ![LaTeX formula: \left [ -\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2}\right ]](/uploads/formulas/96a49027adfcaf5cc0f85752b00acd00a08bbf58.1.1.png "\left [ -\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2}\right ]")
;
1) для функции
обратная функция определена только на отрезке ; 2) для функции обратная функция определена только на отрезке ![LaTeX formula: \left [ 0;\pi ]](/uploads/formulas/ad3ecbe0baa5b523199f0b81e6c74227005b4660.1.1.png "\left [ 0;\pi ]")
;
обратная функция определена только на отрезке ; 3) для функции обратная функция определена только на интервале 
;
обратная функция определена только на интервале ; 4) для функции обратная функция определена на интервале 
.
обратная функция определена на интервале . Примеры функций.
1. Если функция имеет вид (рис. 2.35), то
: ![LaTeX formula: x\in [-1;1]](/uploads/formulas/8dc88849028ecc07f6fd9cd49c35c436712b3757.1.1.png "x\in [-1;1]")
, : ![LaTeX formula: y\in \left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]](/uploads/formulas/5e8db1dc97483c080b56d86e78d9c36373b126e0.1.1.png "y\in \left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]")
.
1. Если функция имеет вид
(рис. 2.35), то : , : .2. Если функция имеет вид (рис. 2.36), то
: ![LaTeX formula: x\in [-1;1 ]](/uploads/formulas/318f323b48a0b0ca7dfbc8a79bc72da4aef644bc.1.1.png "x\in [-1;1 ]")
, : ![LaTeX formula: y\in [0;\pi ]](/uploads/formulas/ad2baee35e5490968eb444d9fec085352c28fceb.1.1.png "y\in [0;\pi ]")
.
(рис. 2.36), то: , : . 3. Если функция имеет вид 
(рис. 2.37), то
: , : 
.
(рис. 2.37), то: , : .4. Если функция имеет вид (рис. 2.38), то
: , : 
.
(рис. 2.38), то : , : . Пример 1. Найдите значения параметра , при которых наибольшее значение функции 
равно 
.
, при которых наибольшее значение функции равно .Решение. Функция может иметь наибольшее значение в случае,
если она ограничена сверху, следовательно, данная функция не может быть
линейной, и значит, .
Имеем квадратичную функцию, графиком корой является парабола.
Свое наибольшее значение квадратичная функция принимает в точке, которая является вершиной параболы, при условии, что ветви этой параболы направлены вниз, то есть, при условии, что.
. Имеем квадратичную функцию, графиком корой является парабола.
Свое наибольшее значение квадратичная функция принимает в точке, которая является вершиной параболы, при условии, что ветви этой параболы направлены вниз, то есть, при условии, что
.По формулам и найдем координаты вершины параболы:
,
, 
.
и найдем координаты вершины параболы:, , .Так как согласно условию задачи 
, то
, 
, откуда 
, 
.
Учитывая, что , получим 
.
Ответ:
.
, то , , откуда , . Учитывая, что
, получим . Ответ:
.Пример 2. Найдите произведение целых значений параметра , при которых вершина параболы 
находится во второй четверти координатной плоскости.
, при которых вершина параболы находится во второй четверти координатной плоскости.Решение. Так как квадратичная функция представлена в виде 
, то запишем координаты вершины параболы:
, 
.
, то запишем координаты вершины параболы: , .Так как вершина параболы находится во второй
четверти координатной плоскости, то 
и 
.
Тогда
и . Тогда
Поскольку решением первого неравенства системы
является промежуток 
, то решим второе неравенство системы на этом промежутке методом интервалов.
, то решим второе неравенство системы на этом промежутке методом интервалов.1. Рассмотрим функцию 
.
.2. Найдем нули функции, решая уравнение 
.
Получим:
, 
.
. Получим:
, . 3. Нанесем нули функции на промежуток и определим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 2.39).
и определим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 2.39).4. Из рисунка 2.39 видим, что решением неравенства,
а, следовательно, и системы неравенств, является интервал 
.
Этому интервалу принадлежит два целых числа
и 
, произведение которых равно 
.
Ответ:.
. Этому интервалу принадлежит два целых числа
и , произведение которых равно . Ответ:
.Мы рассмотрели основные элементарные функции. Элементарными функциями называют функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций.
Примеры элементарных функций: 
, 
, 
и т. п.
, , и т. п.
Программа для просмотра моделей (МК-плеер)
m_2_линейная_функцияm_3_линейная_функция
m_4_линейная_функция
m_5_обратная_пропорциональность
m_6_степенные_функции
m_7_1_квадратичная_функция
m_7_2_квадратичная_функция
m_8_показательная_функция
m_9_функция_синус
m_10_функция_косинус
m_11_функция_тангенс
m_12_функция_котангенс