Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
1. Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
. (8.18)
Чтобы решить уравнение 8.18, необходимо:
1) составить и решить характеристическое уравнение
; (8.19)
2) записать общее решение уравнения по одной из формул:
Корни характеристического уравнения Общее решение уравнения 8.18
(8.20)
(8.21)
(8.22)
2. Неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
. (8.23)
Различают частное решение и общее решение уравнения 8.23.
Частное решение с неопределенными коэффициентами уравнения 8.23 находят по одной из формул 8.24 , 8.25 , 8.26 , 8.27 , 8.28 , 8.29 , 8.30 , где , – коэффициенты уравнения, , – корни характеристического уравнения ; специальная правая часть уравнения; , , – постоянные коэффициенты; , – неопределенные коэффициенты; – многочлен -ой степени с определенными коэффициентами; – многочлен -ой степени с неопределенными коэффициентами:
и (8.24)
и (8.25)
и (8.26)
и (8.27)
и , (8.28)
(8.29)
и
(8.30)
и ,
Чтобы найти частное решение с определенными коэффициентами, необходимо
1) найти выражения и ;
2) подставить значения , и в уравнение 8.23 и найти значения неопределенных коэффициентов;
3) записать решение с определенными коэффициентами.
Чтобы найти общее решение уравнение 8.23, необходимо:
1) найти общее решение соответствующего ему однородного уравнения по одной из формул 8.20 , 8.21 ,8.22;
. (8.31)
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. Имеем уравнение вида 8.18. Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19: , откуда , а . Согласно формуле 8.20 запишем его общее решение: .
Пример 2. Решите уравнение .
Решение. Имеем уравнение вида 8.18. Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19: , откуда . Согласно формуле 8.21 запишем его общее решение: или .
Пример 3. Решите уравнение .
Решение. Имеем уравнение вида 8.18. Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19: , откуда , где , . Согласно формуле 8.22 запишем его общее решение: или .
Пример 4. Решите уравнение .
Решение. 1. Имеем уравнение вида 8.23. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Так как , то , и согласно формуле 8.20 .
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения. Так как и , то согласно формуле 8.27, , а , . Подставляя эти выражения в уравнение , получим:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, запишем: , и , откуда , и .
Получим: .
3. Согласно формуле 8.31 найдем общее решение данного неоднородного уравнения.
Ответ: .
Мы рассмотрели несколько видов неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами только со специальной правой частью.