Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
1. Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: 
LaTeX formula: y''+py'+qy=0 . (8.18)
Чтобы решить уравнение 8.18, необходимо: 
1) составить и решить характеристическое уравнение
LaTeX formula: k^2+pk+q=0 ; (8.19)
2) записать общее решение уравнения по одной из формул:
Корни характеристического уравнения                          Общее решение уравнения 8.18
LaTeX formula: k_1\neq k_2\in R                                                                    LaTeX formula: y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x} (8.20)
LaTeX formula: k_1=k_2\in R                                                                    LaTeX formula: y=C_1e^{kx}+C_2xe^{kx} (8.21)
LaTeX formula: k_{1,2}=a\pm ib\in C                                                           LaTeX formula: y=e^{ax}(C_1cosbx+C_2sinbx) (8.22)
2. Неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: 
 LaTeX formula: y''+py'+qy=f(x) . (8.23)
Различают частное решение и общее решение уравнения 8.23.
Частное решение LaTeX formula: \tilde{y}  с неопределенными коэффициентами уравнения 8.23 находят по одной из формул 8.24 , 8.25 8.26 8.27 , 8.28 , 8.29 , 8.30 , где LaTeX formula: pLaTeX formula: q – коэффициенты уравнения,  LaTeX formula: k_1 , LaTeX formula: k_2  – корни характеристического уравнения  LaTeX formula: k^2+pk+q=0 ; LaTeX formula: y=f(x)  специальная правая часть уравнения; LaTeX formula: a , LaTeX formula: b , LaTeX formula: m – постоянные коэффициенты; LaTeX formula: ALaTeX formula: B – неопределенные коэффициенты; LaTeX formula: P_n(x)  – многочлен LaTeX formula: n-ой степени с определенными коэффициентами; LaTeX formula: Q_n(x)  – многочлен LaTeX formula: n-ой степени с неопределенными коэффициентами: 
Правая часть уравнения 8.23                             Частное решение уравнения
LaTeX formula: f(x)=ae^{mx} и  LaTeX formula: m\neq k_1\neq k_2                                  LaTeX formula: \tilde{y}=Ae^{mx}  (8.24) 
LaTeX formula: f(x)=ae^{mx} и  LaTeX formula: m=k_1                                          LaTeX formula: \tilde{y}=Axe^{mx} (8.25)
LaTeX formula: f(x)=ae^{mx} и  LaTeX formula: m=k_1=k_2                                 LaTeX formula: \tilde{y}=Ax^2e^{mx} (8.26)      
LaTeX formula: f(x)=P_n(x) и  LaTeX formula: q\neq 0                                           LaTeX formula: \tilde{y}=Q_n(x) (8.27)  
LaTeX formula: f(x)=P_n(x) и  LaTeX formula: q=0,LaTeX formula: p\neq 0                              LaTeX formula: \tilde{y}=xQ_n(x) (8.28)
LaTeX formula: f(x)=asinmx+bcosmx                                      LaTeX formula: \tilde{y}=Asinmx+Bcosmx (8.29)
 и  LaTeX formula: p^2+(q-m)^2\neq 0
LaTeX formula: f(x)=asinmx+bcosmx                                      LaTeX formula: \tilde{y}=x(Asinmx+Bcosmx) (8.30)
 и   LaTeX formula: p=0LaTeX formula: q=m^2
Чтобы найти частное решение LaTeX formula: \tilde{y_k}  с определенными коэффициентами, необходимо 
1) найти выражения LaTeX formula: \tilde{y_}'  и LaTeX formula: \tilde{y_}'' ;
2) подставить значения  LaTeX formula: \tilde{y_}LaTeX formula: \tilde{y_}'  и LaTeX formula: \tilde{y_}''  в уравнение 8.23 и найти значения неопределенных коэффициентов;
3) записать решение LaTeX formula: \tilde{y_k}  с определенными коэффициентами.
Чтобы найти общее решение уравнение 8.23, необходимо:
1) найти общее решение LaTeX formula: y_0  соответствующего ему однородного уравнения LaTeX formula: y''+py'+qy=0  по одной из формул 8.20 , 8.21 ,8.22;
2) найти частное решение уравнения 8.23 LaTeX formula: \tilde{y_k}  с определенными коэффициентами;
3) найти общее решение уравнения 8.23 :
 LaTeX formula: y=y_0+\tilde{y_k} . (8.31)

Пример 1. Решите уравнение LaTeX formula: y''+6y'+5y=0 . 
Решение. Имеем уравнение вида 8.18Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19:  LaTeX formula: k^2+6k+5=0, откуда  LaTeX formula: k_1=-1, а  LaTeX formula: k_2=-5. Согласно формуле 8.20 запишем его общее решение:  LaTeX formula: y=C_1e^{-x}+C_2e^{-5x} .
Пример 2. Решите уравнение  LaTeX formula: y''-10y'+25y=0 . 
Решение. Имеем уравнение вида 8.18. Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19:  LaTeX formula: k^2-10k+25=0 , откуда  LaTeX formula: k_1=k_2=5 . Согласно формуле 8.21 запишем его общее решение:  LaTeX formula: y=C_1e^{5x}+C_2xe^{5x} или  LaTeX formula: y=e^{5x}(C_1+C_2x) .
Пример 3Решите уравнение  LaTeX formula: y''+4y=0 . 
Решение. Имеем уравнение вида 8.18. Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19:  LaTeX formula: k^2=-4 , откуда  LaTeX formula: k_{1,2}=\pm 2i , где  LaTeX formula: a=0 ,  LaTeX formula: b=2 . Согласно формуле 8.22 запишем его общее решение: LaTeX formula: y=e^0(C_1cos2x+C_2sin2x) или LaTeX formula: y=C_1cos2x+C_2sin2x .
Пример 4Решите уравнение  LaTeX formula: y''-6y'+5y=x^2-3x .
Решение. 1. Имеем уравнение вида 8.23Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения  LaTeX formula: y''-6y'+5y=0 . Так как  LaTeX formula: k^2-6k+5=0 , то  LaTeX formula: k_1=1 , LaTeX formula: k_2=5  и согласно формуле 8.20  LaTeX formula: y_0=C_1e^x+C_2e^{5x} .
2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения. Так как LaTeX formula: f(x)=P_2(x)=x^2-3x  и  LaTeX formula: q\neq 0 , то согласно формуле 8.27,  LaTeX formula: \tilde{y}=Ax^2+Bx+C , а  LaTeX formula: \tilde{y}'=2Ax+B,  LaTeX formula: \tilde{y}''=2A . Подставляя эти выражения в уравнение LaTeX formula: y''-6y'+5y=x^2-3x , получим: 
 LaTeX formula: 2A-12Ax-6B+5Ax^2+5Bx+5C=x^2-3x .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, запишем:  LaTeX formula: 5A=1 , LaTeX formula: -12A+5B=-3  и  LaTeX formula: 2A-6B+5C=0 , откуда  LaTeX formula: A=\frac{1}{5} , LaTeX formula: B=-\frac{3}{25}  и  LaTeX formula: C=-\frac{28}{125} . 
Получим:  LaTeX formula: \tilde{y_k}=\frac{1}{5}x^2-\frac{3}{25}x-\frac{28}{125} .
3. Согласно формуле 8.31 найдем общее решение данного неоднородного уравнения.
Ответ:   LaTeX formula: y=C_1e^x+C_2e^{5x}+\frac{1}{5}x^2-\frac{3}{25}x-\frac{28}{125} .

Мы рассмотрели несколько видов неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами только со специальной правой частью.
formula