Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
. (8.18)
; (8.19)
(8.20)
(8.21)
(8.22)
. (8.23)
и
(8.24)
и
(8.25)
и
(8.26)
и
(8.27)
и
,
(8.28)
(8.29)
(8.30)
. (8.31)
.
1. Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Чтобы решить уравнение 8.18, необходимо:
1) составить и решить характеристическое уравнение

2) записать общее решение уравнения по одной из формул:
Корни характеристического уравнения Общее решение уравнения 8.18






2. Неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Различают частное решение и общее решение уравнения 8.23.
Частное решение
с неопределенными коэффициентами уравнения 8.23 находят по одной из формул 8.24 , 8.25 , 8.26 , 8.27 , 8.28 , 8.29 , 8.30 , где
,
– коэффициенты уравнения,
,
– корни характеристического уравнения
;
специальная правая часть уравнения;
,
,
– постоянные коэффициенты;
,
– неопределенные коэффициенты;
– многочлен
-ой степени с определенными коэффициентами;
– многочлен
-ой степени с неопределенными коэффициентами:


































и 



и
, 


Чтобы найти частное решение
с определенными коэффициентами, необходимо

1) найти выражения
и
;


3) записать решение
с определенными коэффициентами.

Чтобы найти общее решение уравнение 8.23, необходимо:
1) найти общее решение
соответствующего ему однородного уравнения
по одной из формул 8.20 , 8.21 ,8.22;



Пример 1. Решите уравнение
.

Решение. Имеем уравнение вида 8.18. Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19:
, откуда
, а
. Согласно формуле 8.20 запишем его общее решение:
.




Пример 2. Решите уравнение
.

Решение. Имеем уравнение вида 8.18. Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19:
, откуда
. Согласно формуле 8.21 запишем его общее решение:
или
.




Пример 3. Решите уравнение
.

Решение. Имеем уравнение вида 8.18. Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19:
, откуда
, где
,
. Согласно формуле 8.22 запишем его общее решение:
или
.






Пример 4. Решите уравнение
.

Решение. 1. Имеем уравнение вида 8.23. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
. Так как
, то
,
и согласно формуле 8.20
.





2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения. Так как
и
, то согласно формуле 8.27,
, а
,
. Подставляя эти выражения в уравнение
, получим:







Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, запишем:
,
и
, откуда
,
и
.






Получим:
.

3. Согласно формуле 8.31 найдем общее решение данного неоднородного уравнения.
Ответ:
.

Мы рассмотрели несколько видов неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами только со специальной правой частью.