Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
.
.
Расширим множество действительных чисел. Число, квадрат которого равен
, обозначим буквой
и назовем его мнимой единицей. Запишем:
.
, откуда
.
.



Числа вида
, где
и
– любые действительные числа, а число
– мнимая единица, называют комплексными числами.




При этом число
называют действительной частью комплексного числа, число
– его мнимой частью, а выражение
алгебраической формой записи комплексного числа.



Множество всех комплексных чисел обозначают
.

Это множество содержит множество всех действительных чисел:
.

Например: 1) если действительная часть комплексного числа равна
, а его мнимая часть равна
, то получим комплексное число
; 2) если действительная часть комплексного числа равна
, а его мнимая часть равна
, то получим мнимое число
; 3) если действительная часть комплексного числа равна
, а его мнимая часть равна
, то получим действительное число
.









Числа
и
называют сопряженными.


Числа
и
называют противоположными.


Два комплексных числа
и
равны, если
и
.




Приведем примеры решений уравнений, которые не имеют действительных корней, то есть не имеют решений на множестве действительных чисел, но имеют решения на множестве комплексных чисел.
Например: 1) Решим уравнение
. Поскольку
, то запишем:
. Тогда
или
.





2) Рассмотрим квадратное уравнение
. Найдем его дискриминант:
. Тогда
или
. Найдем комплексные корни уравнения:






Действия с комплексными числами
Сложение и вычитание комплексных чисел
Суммой комплексных чисел
и
называют комплексное число
.



Разностью комплексных чисел
и
называют комплексное число
.



Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел
и
называют комплексное число
.



Деление комплексных чисел
Комплексные числа
и
делят так:




Пример 1. Найдите сумму чисел
и
.


Решение.
.

Ответ:
.

Пример 2. Найдите произведение чисел
и
.


Решение. Применим правило умножения многочленов:

Ответ:
.

Пример 3. Найдите частное чисел
и
.


Решение.


Ответ:
.

Арифметические действия с комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий с действительными числами, учитывая при этом, что
,
,
,
и т. д.



