Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Расширим множество действительных чисел. Число, квадрат которого равен , обозначим буквой и назовем его мнимой единицей. Запишем: .
Числа вида , где и – любые действительные числа, а число – мнимая единица, называют комплексными числами.
При этом число называют действительной частью комплексного числа, число – его мнимой частью, а выражение алгебраической формой записи комплексного числа.
Множество всех комплексных чисел обозначают .
Это множество содержит множество всех действительных чисел: .
Например: 1) если действительная часть комплексного числа равна , а его мнимая часть равна , то получим комплексное число ; 2) если действительная часть комплексного числа равна , а его мнимая часть равна , то получим мнимое число ; 3) если действительная часть комплексного числа равна , а его мнимая часть равна , то получим действительное число .
Числа и называют сопряженными.
Числа и называют противоположными.
Два комплексных числа и равны, если и .
Приведем примеры решений уравнений, которые не имеют действительных корней, то есть не имеют решений на множестве действительных чисел, но имеют решения на множестве комплексных чисел.
Например: 1) Решим уравнение . Поскольку , то запишем: . Тогда или .
2) Рассмотрим квадратное уравнение . Найдем его дискриминант: . Тогда или . Найдем комплексные корни уравнения:
, откуда .
Действия с комплексными числами
Сложение и вычитание комплексных чисел
Суммой комплексных чисел и называют комплексное число .
Разностью комплексных чисел и называют комплексное число .
Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел и называют комплексное число .
Деление комплексных чисел
Комплексные числа и делят так:
.
Пример 1. Найдите сумму чисел и .
Решение. .
Ответ: .
Пример 2. Найдите произведение чисел и .
Решение. Применим правило умножения многочленов:
.
Ответ: .
Пример 3. Найдите частное чисел и .
Решение.
.
Ответ: .
Арифметические действия с комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий с действительными числами, учитывая при этом, что , , , и т. д.