Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Расширим множество действительных чисел. Число, квадрат которого равен LaTeX formula: -1 , обозначим буквой LaTeX formula: iи назовем его мнимой единицей. Запишем:  LaTeX formula: i^2=-1 . 
Числа вида  LaTeX formula: a\pm bi, где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – любые действительные числа, а число LaTeX formula: i – мнимая единица, называют комплексными числами
При этом число LaTeX formula: a называют действительной частью комплексного числа, число LaTeX formula: b – его мнимой частью, а выражение LaTeX formula: a\pm bi алгебраической формой записи комплексного числа. 
Множество всех комплексных чисел обозначают LaTeX formula: C . 
Это множество содержит множество всех действительных чисел:  LaTeX formula: R\subset C .
Например: 1) если действительная часть комплексного числа равна LaTeX formula: 2 , а его мнимая часть равна LaTeX formula: 3 , то получим комплексное число LaTeX formula: 2+3i ; 2) если действительная часть комплексного числа равна LaTeX formula: 0 , а его мнимая часть равна LaTeX formula: -6 , то получим мнимое число LaTeX formula: -6i ; 3) если действительная часть комплексного числа равна LaTeX formula: -6 , а его мнимая часть равна LaTeX formula: 0 , то получим действительное число LaTeX formula: -6 .
Числа LaTeX formula: a+bi  и LaTeX formula: a-bi  называют сопряженными
Числа LaTeX formula: a+bi  и LaTeX formula: -a-bi  называют противоположными
Два комплексных числа LaTeX formula: a+bi  и  LaTeX formula: c+di  равны, если LaTeX formula: a=c и  LaTeX formula: b=d .
Приведем примеры решений уравнений, которые не имеют действительных корней, то есть не имеют решений на множестве действительных чисел, но имеют решения на множестве комплексных чисел. 
Например: 1) Решим уравнение  LaTeX formula: x^2=-1 . Поскольку  LaTeX formula: -1=i^2 , то запишем:  LaTeX formula: x^2=i^2 . Тогда  LaTeX formula: x=\pm \sqrt{i^2} или  LaTeX formula: x=\pm i . 
2) Рассмотрим квадратное уравнение  LaTeX formula: x^2+2x+2=0 . Найдем его дискриминант:  LaTeX formula: D=4-8=-4 . Тогда LaTeX formula: \sqrt{D}=\sqrt{-4}  или  LaTeX formula: \sqrt{D}=\sqrt{4i^2}=2i . Найдем комплексные корни уравнения: 
 LaTeX formula: x_{1,2}=\frac{-2\pm 2i}{2} , откуда  LaTeX formula: x_{1,2}=-1\pm i .
Действия с комплексными числами
Сложение и вычитание комплексных чисел
Суммой комплексных чисел LaTeX formula: z_1=a+bi  и LaTeX formula: z_2=c+di  называют комплексное число  LaTeX formula: z=z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i .
Разностью комплексных чисел LaTeX formula: z_1=a+bi  и  LaTeX formula: z_2=c+di называют комплексное число  LaTeX formula: z=z_1-z_2=(a-c)-(b-d)i .
Умножение комплексных чисел
Произведением комплексных чисел LaTeX formula: z_1=a+bi  и LaTeX formula: z_2=c+di  называют комплексное число  LaTeX formula: z=z_{1}z_{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i . 
Деление комплексных чисел
Комплексные числа LaTeX formula: z_1=a+bi  и LaTeX formula: z_2=c+di  делят так: 
LaTeX formula: \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=LaTeX formula: \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i .
Пример 1. Найдите сумму чисел LaTeX formula: z_1=-2+i  и  LaTeX formula: z_2=-4i .
Решение.  LaTeX formula: z_1+z_2=(-2+0)+(1-4)i=-2-3i .
Ответ:  LaTeX formula: -2-3i .
Пример 2. Найдите произведение чисел LaTeX formula: z_1=-2+i  и  LaTeX formula: z_2=-\sqrt{2}i .
Решение. Применим правило умножения многочленов: 
LaTeX formula: z_1z_2=-\sqrt{2}i(-2+i)=2\sqrt{2}i-\sqrt{2}i^2=2\sqrt{2}i+\sqrt{2} .
Ответ:  LaTeX formula: 2\sqrt{2}i+\sqrt{2} .
Пример 3. Найдите частное чисел LaTeX formula: z_1=2+3i  и  LaTeX formula: z_2=3-2i .
Решение.
LaTeX formula: \frac{2+3i}{3-2i}=\frac{(2+3i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}=\frac{6+4i+9i+6i^2}{9-4i^2}=\frac{6+13i-6}{9+4}=\frac{13i}{13}LaTeX formula: =i .
Ответ:  LaTeX formula: i .

Арифметические действия с комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий с действительными числами, учитывая при этом, что  LaTeX formula: i^1=i,  LaTeX formula: i^2=-1 ,  LaTeX formula: i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i , LaTeX formula: i^4= i^2\cdot i^2=(-1)\cdot (-1)=1  и т. д.
formula