Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида:
. (8.12)
Общим решением уравнения 8.12 называется функция
, (8.13)
удовлетворяющяя условию 8.12.
Если общее решение уравнения получено в неявном виде
, (8.14)
то его называют общим интегралом.
Решить задачу Коши – значит найти частное решение
, (8.13.1)
дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям и .
Некоторые виды дифференциальных уравнений второго порядка, допускающие понижение порядка:
; (8.15)
; (8.16)
. (8.17)
Уравнение 8.15 можно решить, дважды его интегрируя.
Пример 1. Докажите, что функция является общим решением 8.13 уравнения и найдите его частное решение 10.13.1, удовлетворяющее условиям и .
Решение. 1. Найдем производные функции : , .
Подставляя в уравнение , получим:
, .
2. Подставляя в уравнение значения и , получим: , . Подставляя в уравнение значения и , получим: , . Подставляя значения и в общее решение уравнения, получим его частное решение: .
Ответ: .
Пример 2. Решите уравнение .
Решение. Имеем уравнение вида 8.15. Так как , то уравнение примет вид или . Проинтегрируем его: , . Так как , то запишем полученное уравнение в виде и проинтегрируем его: , .
Ответ: .
Пример 3. Решите уравнение .
Разделим переменные и проинтегрируем его:
, , , .
Учитывая подстановку , получим:
, , .
Ответ: .
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.