Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида: 
LaTeX formula: f(x;y;y';y'')=0 . (8.12)
Общим решением уравнения 8.12 называется функция 
 LaTeX formula: y=\phi (x;C_1;C_2) , (8.13)
удовлетворяющяя условию 8.12.
Если общее решение уравнения получено в неявном виде
 LaTeX formula: \Phi (x;y;C_1;C_2)=0 , (8.14)
то его называют общим интегралом.
Решить задачу Коши – значит найти частное решение 
LaTeX formula: y=\phi (x) , (8.13.1)
дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям LaTeX formula: y(x_1)=y_1  и  LaTeX formula: y'(x_2)=y_2 .
Некоторые виды дифференциальных уравнений второго порядка, допускающие понижение порядка:
 LaTeX formula: y''=f(x) ; (8.15)
LaTeX formula: y''=f(y')  ; (8.16)
LaTeX formula: y''=f(x;y') . (8.17)
Уравнение 8.15 можно решить, дважды его интегрируя. 
Уравнения 8.16 и 8.17 можно решить с помощью подстановки  LaTeX formula: y'=t .

Пример 1. Докажите, что функция LaTeX formula: y=x^3+C_1x+C_2  является общим решением 8.13 уравнения  LaTeX formula: y''-6x=0 и найдите его частное решение 10.13.1, удовлетворяющее условиям  LaTeX formula: y(0)=1 и  LaTeX formula: y'(1)=-1 . 
Решение. 1. Найдем производные функции  LaTeX formula: y=x^3+C_1x+C_2LaTeX formula: y'=3x^2+C_1,  LaTeX formula: y''=6x . 
Подставляя LaTeX formula: y''=6x  в уравнение  LaTeX formula: y''-6x=0, получим: 
 LaTeX formula: 6x-6x=0 ,  LaTeX formula: 0=0 .
2. Подставляя в уравнение LaTeX formula: y=x^3+C_1x+C_2  значения LaTeX formula: x=0  и  LaTeX formula: y=1 , получим:  LaTeX formula: 1=0+0+C_2,  LaTeX formula: C_2=1 . Подставляя в уравнение LaTeX formula: y'=3x^2+C_1  значения LaTeX formula: x=1  и LaTeX formula: y=-1, получим:  LaTeX formula: -1=3+C_1,  LaTeX formula: C_1=-4. Подставляя значения LaTeX formula: C_1=-4  и LaTeX formula: C_2=1  в общее решение уравнения, получим его частное решение:  LaTeX formula: y=x^3-4x+1 . 
Ответ:  LaTeX formula: y=x^3-4x+1 .
Пример 2. Решите уравнение  LaTeX formula: y''=-3x . 
Решение. Имеем уравнение вида 8.15. Так как  LaTeX formula: y''=\frac{dy'}{dx} , то уравнение примет вид  LaTeX formula: \frac{dy'}{dx}=-3x или  LaTeX formula: dy'=-3xdx . Проинтегрируем его:  LaTeX formula: \int dy'=-3\int xdx ,  LaTeX formula: y'=\frac{3x^2}{2}+C_1. Так как  LaTeX formula: y'=\frac{dy}{dx} , то запишем полученное уравнение в виде LaTeX formula: dy=\left ( 1,5x^2+C_1 \right )dx  и проинтегрируем его:  LaTeX formula: \int dy=\int \left ( 1,5x^2+C_1 \right )dx,  LaTeX formula: y=0,5x^2+C_1x+C_2 .
Ответ: LaTeX formula: y=0,5x^2+C_1x+C_2 .
Пример 3. Решите уравнение LaTeX formula: (1+x)y''=y' .
Решение. Имеем уравнение вида  8.17. Пусть  LaTeX formula: y'=t , тогда  LaTeX formula: y''=\frac{dt}{dx} . Уравнение примет вид:  LaTeX formula: \frac{(1+x)dt}{dx}=t или  LaTeX formula: (1+x)dt=tdx .
Разделим переменные и проинтегрируем его: 
 LaTeX formula: \frac{dt}{t}=\frac{dx}{1+x} ,  LaTeX formula: \int \frac{dt}{t}=\int \frac{d(1+x)}{1+x} ,  LaTeX formula: lnt=ln(1+x)+lnC_1 ,  LaTeX formula: t=C_1(1+x) .
Учитывая подстановку  LaTeX formula: y'=t , получим: 
 LaTeX formula: dy=C_1(1+x)dx ,  LaTeX formula: \int dy=C_1\int (1+x)dx ,  LaTeX formula: y=C_1\left ( x+\frac{x^2}{2} \right )+C_2 .
Ответ:  LaTeX formula: y=C_1(x+0,5x^2)+C_2 .

 Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.
formula