Двойные интегралы /qualihelpy

Двойные интегралы

Справочник / Студент / Интегральное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Рассмотрим функцию LaTeX formula: z=f(x;y),

определенную в некоторой ограниченной области LaTeX formula: S,

которую сетью дуг разобьем на LaTeX formula: n

элементарных областей площадью $LaTeX formula: \Delta S_{1},\Delta S_{2},...,\Delta S_{n}.$ В каждой из этих областей произвольным образом выберем точку $LaTeX formula: M_{k}(x_{k};y_{k})$ и найдем произведения значений функции в этой точке $LaTeX formula: f_{k}(x_{k};y_{k})$ и $LaTeX formula: \Delta S_{k},$ где $LaTeX formula: k=\overline{1,n}.$

Интегральной суммой называют выражение вида

$LaTeX formula: \sum_{k=1}^{n}$ $LaTeX formula: f(x_{k};y_{k}) \Delta S_{k}$ LaTeX formula: (7.64)

Двойным интегралом от функции LaTeX formula: f(x;y)

в области

называют предел ее интегральной суммы:

$LaTeX formula: \iint_{S}^{} f(x;y) dS=\iint_{S}^{}f(x;y)dxdy=\lim_{d\rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k};y_{k}) \Delta S_{k} ,$ LaTeX formula: (7.65)

где

– наибольший из диаметров элементарных областей $LaTeX formula: \Delta S_{k}.$

Формулы вычисления интегралов $LaTeX formula: I=\iint_{S}^{}f(x;y)dxdy:$

1) если область интегрирования LaTeX formula: S

задана неравенствами $LaTeX formula: a\leq x\leq b$ и $LaTeX formula: c\leq y\leq d,$ то

$LaTeX formula: I=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x;y)dy$ (7.66)

или

$LaTeX formula: I= \int_{c}^{d}dy\int_{a}^{b}f(x;y)dx;$ (7.66.1)

2) если область интегрирования LaTeX formula: S

задана неравенствами $LaTeX formula: a\leq x\leq b$ и $LaTeX formula: f_{1}(x)\leq y\leq f_{2}(x),$ то

$LaTeX formula: I=\int_{a}^{b}dx\int_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}f(x;y)dy ;$ (7.67)

3) если область интегрирования LaTeX formula: S

задана неравенствами $LaTeX formula: f_{1}(y)\leq x\leq f_{2}(y)$ и $LaTeX formula: c\leq y\leq d,$ то

$LaTeX formula: I=\int_{c}^{d}dy\int_{f_{1}(y)}^{f_{2}(y)}f(x;y)dx .$ (7.68)

Интегралы, записанные в правых частях равенств 7.66 ,7.66.1 , 7.67 и 7.68 называют повторными. Чтобы вычислить повторный интеграл $LaTeX formula: I=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x;y)dy,$ необходимо сначала найти «внутренний» интеграл $LaTeX formula: I=\int_{c}^{d}f(x;y)dy =g(x),$ считая LaTeX formula: x

константой, а затем найти «внешний» интеграл $LaTeX formula: I=\int_{a}^{b}g(x)dx.$

Пример 1. Вычислите интеграл $LaTeX formula: \int_{0}^{2}dy\int_{-1}^{1}(2x-y)dx.$

Решение. 1. Имеем повторный интеграл 7.66.1 . Вычислим «внутренний» интеграл, считая LaTeX formula: y

константой: $LaTeX formula: \int_{-1}^{1}(2x-y)dx=x^2-xy\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{1}=(1-y)-(1+y)=-2y.$

2. Вычислим «внешний» интеграл: $LaTeX formula: \int_{0}^{2}-2ydy=-y^2\left | _{0}^{2}=-4.$

Ответ:

Пример 2. Вычислите интеграл $LaTeX formula: \iint_{S}^{}2xdxdy,$ по области, ограниченной линиями

$LaTeX formula: y=0,y=1,x+y=1,x+\sqrt{1-y^2}=0.$

Решение. Данный интеграл вычислим по формуле 7.68.

Запишем пределы интегрирования:

$LaTeX formula: y_{1}=0,y_{2}=1,x_{1}=-\sqrt{1-y^2},x_{2}=1-y.$

Получим повторный интеграл:

$LaTeX formula: \int_{0}^{1}dy\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y}2xdx=\int_{0}^{1}dy\cdot x^2\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y} =$ $LaTeX formula: \int_{0}^{1}dy\cdot (1-2y+y^2-1+y^2)=\int_{0}^{1}(2y^2-2y)dy=$ $LaTeX formula: \frac{2y^3}{3}-y^2\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}.$

Ответ: $LaTeX formula: -\frac{1}{3}.$

Двойной интеграл от положительной функции LaTeX formula: z=f(x;y)

по области LaTeX formula: S

равен объему тела, ограниченного сверху поверхностью LaTeX formula: z=f(x;y),

с боков – цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси LaTeX formula: Oz,

а снизу областью LaTeX formula: S,

принадлежащей плоскости LaTeX formula: z=0

(рис. 7.7).

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания