Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты



(7.66)
(7.66.1)
(7.67)
(7.68)




Рассмотрим функцию
определенную в некоторой ограниченной области
которую сетью дуг разобьем на
элементарных областей площадью
В каждой из этих областей произвольным образом выберем точку
и найдем произведения значений функции в этой точке
и
где 








Интегральной суммой называют выражение вида



Двойным интегралом от функции
в области
называют предел ее интегральной суммы:




где
– наибольший из диаметров элементарных областей 


Формулы вычисления интегралов 

1) если область интегрирования
задана неравенствами
и
то




или

2) если область интегрирования
задана неравенствами
и
то




3) если область интегрирования
задана неравенствами
и
то




Пример 1. Вычислите интеграл 

2. Вычислим «внешний» интеграл:

Ответ: 

Пример 2. Вычислите интеграл
по области, ограниченной линиями


Решение. Данный интеграл вычислим по формуле 7.68.
Запишем пределы интегрирования:

Получим повторный интеграл:



Ответ: 

Двойной интеграл от положительной функции
по области
равен объему тела, ограниченного сверху поверхностью
с боков – цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси
а снизу областью
принадлежащей плоскости
(рис. 7.7).






