Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Рассмотрим функцию LaTeX formula: z=f(x;y), определенную в некоторой ограниченной области LaTeX formula: S, которую сетью дуг разобьем на LaTeX formula: n элементарных областей площадью  LaTeX formula: \Delta S_{1},\Delta S_{2},...,\Delta S_{n}.В каждой из этих областей произвольным образом выберем точку LaTeX formula: M_{k}(x_{k};y_{k})   и найдем произведения значений функции в этой точке LaTeX formula: f_{k}(x_{k};y_{k})и LaTeX formula: \Delta S_{k}, где LaTeX formula: k=\overline{1,n}.
Интегральной суммой называют выражение вида
LaTeX formula: \sum_{k=1}^{n}LaTeX formula: f(x_{k};y_{k}) \Delta S_{k}  LaTeX formula: (7.64)
Двойным интегралом от функции  LaTeX formula: f(x;y) в области LaTeX formula: S называют предел ее интегральной суммы:
LaTeX formula: \iint_{S}^{} f(x;y) dS=\iint_{S}^{}f(x;y)dxdy=\lim_{d\rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k};y_{k}) \Delta S_{k} , LaTeX formula: (7.65)
где LaTeX formula: d – наибольший из диаметров элементарных областей  LaTeX formula: \Delta S_{k}.
Формулы вычисления интегралов LaTeX formula: I=\iint_{S}^{}f(x;y)dxdy:
1) если область интегрирования LaTeX formula: S задана неравенствами LaTeX formula: a\leq x\leq b  и LaTeX formula: c\leq y\leq d, то 
LaTeX formula: I=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x;y)dy (7.66)
или
LaTeX formula: I= \int_{c}^{d}dy\int_{a}^{b}f(x;y)dx; (7.66.1)
2) если область интегрирования LaTeX formula: S задана неравенствами LaTeX formula: a\leq x\leq b  и  LaTeX formula: f_{1}(x)\leq y\leq f_{2}(x), то 
LaTeX formula: I=\int_{a}^{b}dx\int_{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}f(x;y)dy ; (7.67)
3) если область интегрирования LaTeX formula: S задана неравенствами LaTeX formula: f_{1}(y)\leq x\leq f_{2}(y)  и LaTeX formula: c\leq y\leq d, то 
LaTeX formula: I=\int_{c}^{d}dy\int_{f_{1}(y)}^{f_{2}(y)}f(x;y)dx . (7.68)
Интегралы, записанные в правых частях равенств 7.66 ,7.66.1 , 7.67 и 7.68 называют повторными. Чтобы вычислить повторный интеграл LaTeX formula: I=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{d}f(x;y)dy, необходимо сначала найти «внутренний» интеграл LaTeX formula: I=\int_{c}^{d}f(x;y)dy =g(x), считая LaTeX formula: x константой, а затем найти «внешний» интеграл LaTeX formula: I=\int_{a}^{b}g(x)dx.
Пример 1.  Вычислите интеграл LaTeX formula: \int_{0}^{2}dy\int_{-1}^{1}(2x-y)dx.
Решение. 1. Имеем повторный интеграл 7.66.1 . Вычислим «внутренний» интеграл, считая LaTeX formula: y константой: LaTeX formula: \int_{-1}^{1}(2x-y)dx=x^2-xy\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-1}^{1}=(1-y)-(1+y)=-2y.
2. Вычислим «внешний» интеграл:  LaTeX formula: \int_{0}^{2}-2ydy=-y^2\left | _{0}^{2}=-4. 
Ответ: LaTeX formula: -4.
Пример 2.  Вычислите интеграл LaTeX formula: \iint_{S}^{}2xdxdy, по области, ограниченной линиями  
LaTeX formula: y=0,y=1,x+y=1,x+\sqrt{1-y^2}=0.
Решение.  Данный интеграл вычислим по формуле 7.68. 
Запишем пределы интегрирования: 
LaTeX formula: y_{1}=0,y_{2}=1,x_{1}=-\sqrt{1-y^2},x_{2}=1-y.
Получим повторный интеграл: 
LaTeX formula: \int_{0}^{1}dy\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y}2xdx=\int_{0}^{1}dy\cdot x^2\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{-\sqrt{1-y^2}}^{1-y} =LaTeX formula: \int_{0}^{1}dy\cdot (1-2y+y^2-1+y^2)=\int_{0}^{1}(2y^2-2y)dy=LaTeX formula: \frac{2y^3}{3}-y^2\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}.
Ответ:   LaTeX formula: -\frac{1}{3}.
Двойной интеграл от положительной функции  LaTeX formula: z=f(x;y) по области LaTeX formula: S равен объему тела, ограниченного сверху поверхностью LaTeX formula: z=f(x;y), с боков – цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси LaTeX formula: Oz, а снизу областью LaTeX formula: S, принадлежащей плоскости LaTeX formula: z=0(рис. 7.7).
formula