Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Рассмотрим функцию определенную в некоторой ограниченной области которую сетью дуг разобьем на элементарных областей площадью В каждой из этих областей произвольным образом выберем точку и найдем произведения значений функции в этой точке и где
Интегральной суммой называют выражение вида
Двойным интегралом от функции в области называют предел ее интегральной суммы:
где – наибольший из диаметров элементарных областей
Формулы вычисления интегралов
1) если область интегрирования задана неравенствами и то
(7.66)
или
(7.66.1)
2) если область интегрирования задана неравенствами и то
(7.67)
3) если область интегрирования задана неравенствами и то
(7.68)
Пример 1. Вычислите интеграл
2. Вычислим «внешний» интеграл:
Ответ:
Пример 2. Вычислите интеграл по области, ограниченной линиями
Решение. Данный интеграл вычислим по формуле 7.68.
Запишем пределы интегрирования:
Получим повторный интеграл:
Ответ:
Двойной интеграл от положительной функции по области равен объему тела, ограниченного сверху поверхностью с боков – цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси а снизу областью принадлежащей плоскости (рис. 7.7).