Экстремум функции нескольких переменных /qualihelpy

Экстремум функции нескольких переменных

Справочник / Студент / Дифференциальное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Максимумом (минимумом) функции LaTeX formula: z=f(x;y) называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции называются экстремумом функции . Значения LaTeX formula: (x;y) , при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума .

Критическими точками первого порядка функции LaTeX formula: z=f(x;y) называют точки, в которых все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существуют.

Чтобы найти точки экстремума функции , необходимо:

1) найти частные производные первого порядка функции;

2) найти критические точки функции, решая систему уравнений $LaTeX formula: z'_{x}=0$ и $LaTeX formula: z'_{y}=0$ ;

3) найти частные производные второго порядка функции;

4) найти значения вторых производных в критической точке $LaTeX formula: M_{0}(x_{0};y_{0})$ : $LaTeX formula: z''_{xx|M_{0}}=A$ , $LaTeX formula: z''_{xy|M_{0}}=B$ , $LaTeX formula: z''_{yy|M_{0}}=C$ ;

5) найти определитель $LaTeX formula: \Delta =\begin{vmatrix} A & B\\ B& C \end{vmatrix}$ ;

6) если $LaTeX formula: \Delta > 0$ , то экстремум в точке $LaTeX formula: M_{0}(x_{0};y_{0})$ есть; если $LaTeX formula: \Delta < 0$ , то экстремума в этой точке нет;

7) если LaTeX formula: A < 0 , то имеем точку максимума, а если LaTeX formula: A> 0 – точку минимума.

Условный экстремум

Рассмотрим алгоритм отыскания условного экстремума функции LaTeX formula: z=f(x;y) при наличии уравнения связи $LaTeX formula: \phi (x;y)=0$ методом неопределенных множителей Лагранжа :

1) запишем функцию Лагранжа
$LaTeX formula: F(x;y;\lambda )=f(x;y)+\lambda \phi (x;y)$ ,
где $LaTeX formula: \lambda$ – неопределенный множитель;
2) найдем частные производные функции Лагранжа:
$LaTeX formula: F'_{x}$ , $LaTeX formula: F'_{y}$ , $LaTeX formula: F'_{\lambda }$ ;
3) решая систему уравнений $LaTeX formula: F'_{x}=0$ , $LaTeX formula: F'_{y }=0$ и $LaTeX formula: F'_{\lambda }=0$ , найдем значения $LaTeX formula: \lambda$ , LaTeX formula: x

;
4) найдем дифференциал второго порядка функции Лагранжа:
$LaTeX formula: d^{2}F=F''_{xx}dx^{2}+2F''_{xy}dxdy+F''_{yy}dy^{2}$ ;
5) определим знак $LaTeX formula: d^{2}F$ для системы значений $LaTeX formula: \lambda$ , LaTeX formula: x

при условии, что $LaTeX formula: \phi '_{x}dx+\phi '_{y}dy=0$ ;
6) если $LaTeX formula: d^{2}F< 0$ , то функция имеет условный максимум, а если $LaTeX formula: d^{2}F> 0$ , то функция имеет условный минимум.

Пример 1. Найдите точки экстремума функции $LaTeX formula: z=xy-x^{2}+4y^{2}+17x$ .
Решение . 1. Найдем частные производные первого порядка:
$LaTeX formula: z'_{x}=(xy)'_{x}-(x^{2})'_{x}+(4y^{2})'_{x}+(17x)'_{x}=y-2x+17$ ,

$LaTeX formula: z'_{y}=(xy)'_{y}-(x^{2})'_{y}+(4y^{2})'_{y}+(17x)'_{y}=x+8y$ .

2. Найдем критические точки функции, решая систему уравнений:

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} -2x+y=-17, & \\ x+8y=0;& \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} -2x+y=-17, & \\ 2x+16y=0;& \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 17y=-17, & \\ x+8y=0;& \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} y=-1, & \\ x=8. & \end{matrix}\right.$

Получим: $LaTeX formula: M_{0}(8;-1)$ .

3. Найдем частные производные второго порядка:

$LaTeX formula: z''_{xx}=(y-2x+17)'_{x}=-2$ , $LaTeX formula: z''_{xy}=(y-2x+17)'_{y}=1$ , $LaTeX formula: z''_{yy}=(x+8y)'_{y}=8$ .

4. Найдем значения вторых производных в критической точке:

$LaTeX formula: z''_{xx}(8;-1)=-2=A$ , $LaTeX formula: z''_{xy}(8;-1)=1=B$ , $LaTeX formula: z''_{yy}(8;-1)=8=C$ .

5. Найдем определитель $LaTeX formula: \Delta =\begin{vmatrix} A & B\\ B & C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -2 & 1\\ 1& 8 \end{vmatrix}=-16-1=-17$ .

6. Так как $LaTeX formula: \Delta < 0$ , то критическая точка $LaTeX formula: M_{0}(8;-1)$ не является точкой экстремума.

Пример 2. Найдите экстремумы функции LaTeX formula: z=2x-y при условии, что $LaTeX formula: x^{2}+y^{2}=5$ .

Решение . 1. Запишем уравнение связи в виде:

$LaTeX formula: \phi (x;y)=x^{2}+y^{2}-5$ .

Найдем полный дифференциал: $LaTeX formula: d\phi =2xdx+2ydy$ .

2. Составим функцию Лагранжа 6.31:

$LaTeX formula: F(x;y;\lambda )=2x-y+\lambda (x^{2}+y^{2}-5)$ .

3. Найдем частные производные функции Лагранжа:

$LaTeX formula: F'_{x}=2+2\lambda x$ ; $LaTeX formula: F'_{y}=-1+2\lambda y$ ; $LaTeX formula: F'_{\lambda }=x^{2}+y^{2}-5$ .

4. Найдем значения $LaTeX formula: \lambda$ , LaTeX formula: x и LaTeX formula: y , решая систему уравнений:

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 2+2\lambda x=0, & & \\ -1+2\lambda y=0,& & \\ x^{2}+y^{2}=5;& & \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 1+\lambda x=0, & & \\ 1-2\lambda y=0,& & \\ x^{2}+y^{2}=5.& & \end{matrix}\right.$

Выразим переменные LaTeX formula: x и LaTeX formula: y в первых двух уравнениях системы:

$LaTeX formula: x=-\frac{1}{\lambda }$ ; $LaTeX formula: y=\frac{1}{2\lambda }$ .

Подставим эти значения в третье уравнение системы:

$LaTeX formula: \frac{1}{\lambda ^{2}}+\frac{1}{4\lambda ^{2}}=5$ , $LaTeX formula: \frac{5}{4\lambda ^{2}}=5$ , $LaTeX formula: \lambda ^{2}=\frac{1}{4}$ , $LaTeX formula: \lambda =\pm \frac{1}{2}$ .

Получим: $LaTeX formula: \lambda _{1}=0,5$ , $LaTeX formula: x_{1}=-2$ , $LaTeX formula: y _{1}=1$ ; $LaTeX formula: \lambda _{2}=-0,5$ , $LaTeX formula: x _{2}=2$ , $LaTeX formula: y _{2}=-1$ .

4. Найдем частные производные второго порядка функции Лагранжа: $LaTeX formula: F''_{xx}=2\lambda$ ; $LaTeX formula: F''_{xy}=0$ ; $LaTeX formula: F''_{yy}=2\lambda$ .

Запишем дифференциал второго порядка функции Лагранжа:

$LaTeX formula: d^{2}F=2\lambda dx^{2}+2\lambda dy^{2}=2\lambda (dx^{2}+dy^{2})$ .

5. Определим знак $LaTeX formula: d^{2}F$ для каждой системы значений $LaTeX formula: \lambda$ , LaTeX formula: x и LaTeX formula: y .

Если $LaTeX formula: \lambda_{1}=0,5$ , $LaTeX formula: x_{1}=-2$ , $LaTeX formula: y_{1}=1$ , то

$LaTeX formula: d^{2}F=(dx^{2}+dx^{2})> 0$ .

Следовательно, имеем точку условного минимума: $LaTeX formula: M_{1}(-2;1)$ .

Если $LaTeX formula: \lambda _{2}=-0,5$ , $LaTeX formula: x_{2}=2$ , $LaTeX formula: y _{2}=-1$ , то

$LaTeX formula: d^{2}F=-(dx^{2}+dx^{2})< 0$ .

Следовательно, имеем точку условного максимума: $LaTeX formula: M_{2}(2;-1)$ .

6. Найдем значения функции в полученных точках:

;

.
Ответ: $LaTeX formula: f_{min}(-2;1)=-5$ ; $LaTeX formula: f_{max}(2;-1)=5$ .

Если функция LaTeX formula: z=f(x;y) непрерывна и ограничена в некоторой замкнутой области, то своего наибольшего и наименьшего значения она может достигать или в критических точках, принадлежащих данной области, или на границе области.

Следовательно, для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции LaTeX formula: z=f(x;y) в заданной области, необходимо:

1) найти критические точки функции и, если они принадлежат заданной области, вычислить в них значения функции;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

3) сравнивая все полученные значения функции, определить наибольшее и наименьшее из них.

На границе области функция LaTeX formula: z=f(x;y) является функцией одной переменной LaTeX formula: z=f(x) или LaTeX formula: z=f(y) , следовательно, ее исследование проводят согласно алгоритму, приведенному в п. 6.2.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания