Максимумом (минимумом)
функции называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.
Максимум и минимум функции называются экстремумом функции
. Значения , при котором достигается экстремум, называется
точкой экстремума .
Критическими точками
первого порядка функции называют точки, в которых все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существуют.
Чтобы найти точки экстремума функции , необходимо:
1) найти частные производные первого порядка функции;
2) найти критические точки функции, решая систему уравнений и
;
3) найти частные производные второго порядка функции;
4) найти значения вторых производных в критической точке :
,
,
;
5) найти определитель ;
6) если , то экстремум в точке
есть; если
, то экстремума в этой точке нет;
7) если , то имеем точку максимума, а если
– точку минимума.
Условный экстремум
Рассмотрим алгоритм отыскания условного экстремума функции при наличии уравнения связи
методом неопределенных множителей Лагранжа
:

где

2) найдем частные производные функции Лагранжа:



3) решая систему уравнений






4) найдем дифференциал второго порядка функции Лагранжа:

5) определим знак





6) если



Решение . 1. Найдем частные производные первого порядка:

.
2. Найдем критические точки функции, решая систему уравнений:
Получим: .
3. Найдем частные производные второго порядка:
,
,
.
4. Найдем значения вторых производных в критической точке:
,
,
.
5. Найдем определитель .
6. Так как , то критическая точка
не является точкой экстремума.
Пример 2.
Найдите экстремумы функции при условии, что
.
Решение
. 1. Запишем уравнение связи в виде:
.
Найдем полный дифференциал: .
2. Составим функцию Лагранжа 6.31:
.
3. Найдем частные производные функции Лагранжа:
;
;
.
4. Найдем значения ,
и
, решая систему уравнений:
Выразим переменные и
в первых двух уравнениях системы:
;
.
Подставим эти значения в третье уравнение системы:
,
,
,
.
Получим: ,
,
;
,
,
.
4. Найдем частные производные второго порядка функции Лагранжа: ;
;
.
Запишем дифференциал второго порядка функции Лагранжа:
.
5. Определим знак для каждой системы значений
,
и
.
Если ,
,
, то
.
Следовательно, имеем точку условного минимума: .
Если ,
,
, то
.
Следовательно, имеем точку условного максимума: .
6. Найдем значения функции в полученных точках:


Ответ:


Если функция непрерывна и ограничена в некоторой замкнутой области, то своего наибольшего и наименьшего значения она может достигать или в критических точках, принадлежащих данной области, или на границе области.
Следовательно, для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в заданной области, необходимо:
1) найти критические точки функции и, если они принадлежат заданной области, вычислить в них значения функции;
2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;
3) сравнивая все полученные значения функции, определить наибольшее и наименьшее из них.
На границе области функция является функцией одной переменной
или
, следовательно, ее исследование проводят согласно алгоритму, приведенному в п. 6.2.