Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Максимумом (минимумом) функции LaTeX formula: z=f(x;y)  называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции называются  экстремумом функции . Значения LaTeX formula: (x;y) , при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума .

Критическими точками первого порядка функции LaTeX formula: z=f(x;y)  называют точки, в которых все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существуют.

Чтобы найти точки экстремума функции , необходимо:

1) найти частные производные первого порядка функции;

2) найти критические точки функции, решая систему уравнений LaTeX formula: z'_{x}=0 и LaTeX formula: z'_{y}=0;

3) найти частные производные второго порядка функции;

4) найти значения вторых производных в критической точке  LaTeX formula: M_{0}(x_{0};y_{0})LaTeX formula: z''_{xx|M_{0}}=A ,LaTeX formula: z''_{xy|M_{0}}=B , LaTeX formula: z''_{yy|M_{0}}=C;

5) найти определитель LaTeX formula: \Delta =\begin{vmatrix} A & B\\ B& C \end{vmatrix}  ;

6) если LaTeX formula: \Delta > 0 , то экстремум в точке LaTeX formula: M_{0}(x_{0};y_{0}) есть; если LaTeX formula: \Delta < 0  , то экстремума в этой точке нет;

7) если LaTeX formula: A < 0 , то имеем точку максимума, а если LaTeX formula: A> 0– точку минимума.

Условный экстремум

Рассмотрим алгоритм отыскания условного экстремума функции LaTeX formula: z=f(x;y) при наличии уравнения связиLaTeX formula: \phi (x;y)=0 методом неопределенных множителей Лагранжа :

1) запишем функцию Лагранжа
LaTeX formula: F(x;y;\lambda )=f(x;y)+\lambda \phi (x;y),
где LaTeX formula: \lambda – неопределенный множитель;
2) найдем частные производные функции Лагранжа:
LaTeX formula: F'_{x}, LaTeX formula: F'_{y},LaTeX formula: F'_{\lambda } ;
3) решая систему уравнений LaTeX formula: F'_{x}=0LaTeX formula: F'_{y }=0 и LaTeX formula: F'_{\lambda }=0 , найдем значения LaTeX formula: \lambda, LaTeX formula: x и LaTeX formula: y;
4) найдем дифференциал второго порядка функции Лагранжа:
LaTeX formula: d^{2}F=F''_{xx}dx^{2}+2F''_{xy}dxdy+F''_{yy}dy^{2};
5) определим знак LaTeX formula: d^{2}F для системы значений LaTeX formula: \lambda  , LaTeX formula: x и LaTeX formula: y при условии, что LaTeX formula: \phi '_{x}dx+\phi '_{y}dy=0 ;
6) если LaTeX formula: d^{2}F< 0 , то функция имеет условный максимум, а если LaTeX formula: d^{2}F> 0 , то функция имеет условный минимум.

Пример 1. Найдите точки экстремума функции LaTeX formula: z=xy-x^{2}+4y^{2}+17x .
Решение . 1. Найдем частные производные первого порядка:
LaTeX formula: z'_{x}=(xy)'_{x}-(x^{2})'_{x}+(4y^{2})'_{x}+(17x)'_{x}=y-2x+17,

LaTeX formula: z'_{y}=(xy)'_{y}-(x^{2})'_{y}+(4y^{2})'_{y}+(17x)'_{y}=x+8y.

2. Найдем критические точки функции, решая систему уравнений: 

 LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} -2x+y=-17, & \\ x+8y=0;& \end{matrix}\right. LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} -2x+y=-17, & \\ 2x+16y=0;& \end{matrix}\right. LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 17y=-17, & \\ x+8y=0;& \end{matrix}\right. LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} y=-1, & \\ x=8. & \end{matrix}\right.

Получим:  LaTeX formula: M_{0}(8;-1).

3. Найдем частные производные второго порядка: 

LaTeX formula: z''_{xx}=(y-2x+17)'_{x}=-2LaTeX formula: z''_{xy}=(y-2x+17)'_{y}=1LaTeX formula: z''_{yy}=(x+8y)'_{y}=8.

4. Найдем значения вторых производных в критической точке:

LaTeX formula: z''_{xx}(8;-1)=-2=A,LaTeX formula: z''_{xy}(8;-1)=1=B , LaTeX formula: z''_{yy}(8;-1)=8=C.

5. Найдем определитель LaTeX formula: \Delta =\begin{vmatrix} A & B\\ B & C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -2 & 1\\ 1& 8 \end{vmatrix}=-16-1=-17  .

6. Так как LaTeX formula: \Delta < 0 , то критическая точка LaTeX formula: M_{0}(8;-1)  не является точкой экстремума.

Пример 2. Найдите экстремумы функции LaTeX formula: z=2x-y при условии, что LaTeX formula: x^{2}+y^{2}=5.

Решение . 1. Запишем уравнение связи в виде:

LaTeX formula: \phi (x;y)=x^{2}+y^{2}-5.

Найдем полный дифференциал: LaTeX formula: d\phi =2xdx+2ydy  .

2. Составим функцию Лагранжа 6.31:  

LaTeX formula: F(x;y;\lambda )=2x-y+\lambda (x^{2}+y^{2}-5).

3. Найдем частные производные функции Лагранжа: 

LaTeX formula: F'_{x}=2+2\lambda xLaTeX formula: F'_{y}=-1+2\lambda y ; LaTeX formula: F'_{\lambda }=x^{2}+y^{2}-5  .

4. Найдем значения LaTeX formula: \lambda  , LaTeX formula: x и LaTeX formula: y, решая систему уравнений: 

LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 2+2\lambda x=0, & & \\ -1+2\lambda y=0,& & \\ x^{2}+y^{2}=5;& & \end{matrix}\right. LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 1+\lambda x=0, & & \\ 1-2\lambda y=0,& & \\ x^{2}+y^{2}=5.& & \end{matrix}\right.

Выразим переменные LaTeX formula: x и LaTeX formula: y в первых двух уравнениях системы: 

LaTeX formula: x=-\frac{1}{\lambda }; LaTeX formula: y=\frac{1}{2\lambda }.

Подставим эти значения в третье уравнение системы: 

LaTeX formula: \frac{1}{\lambda ^{2}}+\frac{1}{4\lambda ^{2}}=5LaTeX formula: \frac{5}{4\lambda ^{2}}=5LaTeX formula: \lambda ^{2}=\frac{1}{4} , LaTeX formula: \lambda =\pm \frac{1}{2}  .

Получим: LaTeX formula: \lambda _{1}=0,5LaTeX formula: x_{1}=-2 , LaTeX formula: y _{1}=1; LaTeX formula: \lambda _{2}=-0,5LaTeX formula: x _{2}=2 , LaTeX formula: y _{2}=-1.

4. Найдем частные производные второго порядка функции Лагранжа:LaTeX formula: F''_{xx}=2\lambda ;LaTeX formula: F''_{xy}=0 ;LaTeX formula: F''_{yy}=2\lambda  .

Запишем дифференциал второго порядка функции Лагранжа:

LaTeX formula: d^{2}F=2\lambda dx^{2}+2\lambda dy^{2}=2\lambda (dx^{2}+dy^{2}).

5. Определим знак LaTeX formula: d^{2}F   для каждой системы значений  LaTeX formula: \lambda, LaTeX formula: x и LaTeX formula: y.

Если LaTeX formula: \lambda_{1}=0,5LaTeX formula: x_{1}=-2LaTeX formula: y_{1}=1 , то 

LaTeX formula: d^{2}F=(dx^{2}+dx^{2})> 0.

Следовательно, имеем точку условного минимума:LaTeX formula: M_{1}(-2;1)  .

Если  LaTeX formula: \lambda _{2}=-0,5,LaTeX formula: x_{2}=2 ,LaTeX formula: y _{2}=-1 , то 

LaTeX formula: d^{2}F=-(dx^{2}+dx^{2})< 0.

Следовательно, имеем точку условного максимума:LaTeX formula: M_{2}(2;-1)  .

6. Найдем значения функции в полученных точках:

LaTeX formula: f(-2;1)=-4-1=-5LaTeX formula: f(2;-1)=4+1=5 .
Ответ: LaTeX formula: f_{min}(-2;1)=-5 ;LaTeX formula: f_{max}(2;-1)=5 .

Если функция LaTeX formula: z=f(x;y)  непрерывна и ограничена в некоторой замкнутой области, то своего наибольшего и наименьшего значения она может достигать или в критических точках, принадлежащих данной области, или на границе области.

Следовательно, для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции LaTeX formula: z=f(x;y)  в заданной области, необходимо:

1) найти критические точки функции и, если они принадлежат заданной области, вычислить в них значения функции;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

3) сравнивая все полученные значения функции, определить наибольшее и наименьшее из них.

На границе области функция LaTeX formula: z=f(x;y) является функцией одной переменной LaTeX formula: z=f(x) или LaTeX formula: z=f(y)  , следовательно, ее исследование проводят согласно алгоритму, приведенному в п. 6.2.


formula