





.
Другими словами (геометрический смысл предела): число является пределом последовательности
, если в любой его
-окрестности содержатся почти все члены последовательности или вне этой окрестности находится лишь конечное число ее членов.
Такая числовая последовательность называется сходящейся . Если же предел последовательности равен бесконечности или не существует, то такая числовая последовательность называется расходящейся.
Например, числовая последовательность сходится и
, а числовая последовательность
расходится.
Числовая последовательность может быть как ограниченной так и не ограниченной. Числовая последовательность
ограничена
, если
, такое, что
:
.
Числовая последовательность
не ограничена
, если
:
.
Например: числовая последовательность ограничена снизу.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Числовая последовательность
бесконечно малая
, если
такой, что
:
.
Числовая последовательность
бесконечно большая , если
такой, что
:
. Например, последовательность
бесконечно малая, а последовательность
бесконечно большая.
Число называют
пределом функции
в точке
, если
такое, что
, выполняется неравенство
(рис. 5.5). Записывают:
.
Другими словами число называют
пределом функции
в точке
, для любой последовательности
аргументов функции, сходящейся к
, соответствующая последовательность значений функции
сходится к
.



Например, на рисунке 5.6 , ,
и
, следовательно, не существует предела функции в точке
. На рисунке 5.7 ,
а
, следовательно, предела функции в точке
не существует.
Свойства пределов
; (5.3)






. (5.10)
Равенство 5.10 справедливо, если пределы и
конечны.
Функцию называют
бесконечно малой
в точке или в бесконечности, если ее предел равен нулю.

Две бесконечно малые функции




Записывают:






При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них или только одну можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.
Функцию



Справедливы равенства:










Квантор
– общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо утверждения, высказывания (предиката).
Квантор всеобщности обозначается и читается: «для всех …» или «для любого …».
Квантор существования
обозначается
и читается: «существует …» или «найдется …». Тогда определение числовой последовательности можем записать так: число
является пределом числовой последовательности
, если
такой, что
.