.
Другими словами (геометрический смысл предела): число является пределом последовательности , если в любой его -окрестности содержатся почти все члены последовательности или вне этой окрестности находится лишь конечное число ее членов.
Такая числовая последовательность называется сходящейся . Если же предел последовательности равен бесконечности или не существует, то такая числовая последовательность называется расходящейся.
Например, числовая последовательность сходится и , а числовая последовательность расходится.
Числовая последовательность может быть как ограниченной так и не ограниченной. Числовая последовательность ограничена , если , такое, что : .
Числовая последовательность не ограничена , если : .
Например: числовая последовательность ограничена снизу.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Числовая последовательность бесконечно малая , если такой, что : .
Числовая последовательность бесконечно большая , если такой, что : . Например, последовательность бесконечно малая, а последовательность бесконечно большая.
Число называют пределом функции в точке , если такое, что , выполняется неравенство (рис. 5.5). Записывают: .
Другими словами число называют пределом функции в точке , для любой последовательности аргументов функции, сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Различают левосторонний предел функции в точке и правосторонний предел .Например, на рисунке 5.6 , , и , следовательно, не существует предела функции в точке . На рисунке 5.7 , а , следовательно, предела функции в точке не существует.
Свойства пределов
; (5.3)
; (5.5)
; (5.6)
; (5.7)
; (5.8)
; (5.9)
. (5.10)
Равенство 5.10 справедливо, если пределы и конечны.
Функцию называют
бесконечно малой
в точке или в бесконечности, если ее предел равен нулю.
; (5.11)
Две бесконечно малые функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если
. (5.12)
Записывают: при .
, , . (5.13)
При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них или только одну можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.
Функцию называют бесконечно большой в точке , если ее передел в этой точке равен бесконечности: .
Справедливы равенства:
; (5.14)
. (5.15)
, если (5.16)
, если (5.17)
, если (5.18)
, если (5.19)
Квантор – общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо утверждения, высказывания (предиката). Квантор всеобщности обозначается и читается: «для всех …» или «для любого …». Квантор существования обозначается и читается: «существует …» или «найдется …». Тогда определение числовой последовательности можем записать так: число является пределом числовой последовательности , если такой, что .