Предел числовой последовательности и функции /qualihelpy

Предел числовой последовательности и функции

Справочник / Студент / Пределы /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Число

является пределом числовой последовательности $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ , если для любого $LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0$ найдется такой номер $LaTeX formula: N_{0}$ , что при всех $LaTeX formula: n> N_{0}$ выполняется неравенство $LaTeX formula: \left | x_{n} -a\right |< \varepsilon$ . Записывают:

$LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }x_{n}=a$ .

Другими словами (геометрический смысл предела): число LaTeX formula: a является пределом последовательности $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ , если в любой его $LaTeX formula: \varepsilon$ -окрестности содержатся почти все члены последовательности или вне этой окрестности находится лишь конечное число ее членов.

Такая числовая последовательность называется сходящейся . Если же предел последовательности равен бесконечности или не существует, то такая числовая последовательность называется расходящейся.

Например, числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ \frac{1}{n} \right \}$ сходится и $LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}=0$ , а числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ \sin 5x \right \}$ расходится.

Числовая последовательность может быть как ограниченной так и не ограниченной. Числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ ограничена , если $LaTeX formula: \exists M> 0$ , такое, что $LaTeX formula: \forall n\in N$ : $LaTeX formula: \left | x_{n} \right |\leq M$ .

Числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ не ограничена , если $LaTeX formula: \forall M> 0$ $LaTeX formula: \exists n\in N$ : $LaTeX formula: \left | x_{n} \right |> M$ .

Например: числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ a_{n} \right \}=\left \{ 5;10;15;... \right \}$ ограничена снизу.

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ бесконечно малая , если $LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0$ $LaTeX formula: \exists N_{0}\in N$ такой, что $LaTeX formula: \forall n > N$ : $LaTeX formula: \left | x_{n} \right |< \varepsilon$ .

Числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ бесконечно большая , если $LaTeX formula: \forall A> 0$ $LaTeX formula: \exists N_{0}\in N$ такой, что $LaTeX formula: \forall n> N_{0}$ : $LaTeX formula: \left | x_{n} \right |> A$ . Например, последовательность $LaTeX formula: \left \{ \frac{5}{n} \right \}$ бесконечно малая, а последовательность $LaTeX formula: \left \{ 5+n \right \}$ бесконечно большая.

Число LaTeX formula: b называют пределом функции LaTeX formula: y=f(x) в точке LaTeX formula: x=a , если $LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0$ $LaTeX formula: \exists \delta > 0$ такое, что $LaTeX formula: \forall x:0< \left | x-a \right |< \delta$ , выполняется неравенство $LaTeX formula: \left | f(x)-b \right |< \varepsilon$ (рис. 5.5). Записывают: $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ .

Другими словами число LaTeX formula: b называют пределом функции LaTeX formula: y=f(x) в точке LaTeX formula: x=a , для любой последовательности $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ аргументов функции, сходящейся к LaTeX formula: a , соответствующая последовательность значений функции $LaTeX formula: \left \{ f(x_{n}) \right \}$ сходится к LaTeX formula: b .

Различают левосторонний предел функции в точке LaTeX formula: a

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b$ и правосторонний предел $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=b$ .

Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предела функции в этой точке.

Например, на рисунке 5.6 , $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b_{1}$ , $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=+\infty$ и $LaTeX formula: b_{1}\neq b_{2}$ , следовательно, не существует предела функции в точке LaTeX formula: a . На рисунке 5.7 , $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b_{1}$ а $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=+\infty$ , следовательно, предела функции в точке не существует.

Свойства пределов

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}c=c$ ; (5.3)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}x=x_{0}$ ; (5.4)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(c\cdot f(x))=c\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ ; (5.5)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\pm \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ ; (5.6)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)g(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ ; (5.7)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)}$ ; (5.8)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f^{n}(x)=\left ( \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \right )^{n}$ ; (5.9)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x))^{g(x)}=\left ( \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \right )^{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)}$ . (5.10)

Равенство 5.10 справедливо, если пределы $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ и $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ конечны.

Функцию $LaTeX formula: \alpha (x)$ называют бесконечно малой в точке или в бесконечности, если ее предел равен нулю.

Справедливо равенство:
$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{k}{x}=0$ ; (5.11)
Две бесконечно малые функции $LaTeX formula: \alpha (x)$ и $LaTeX formula: \beta (x)$ называют эквивалентными бесконечно малыми при $LaTeX formula: x\rightarrow a$ , если
$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\beta (x)}{\alpha (x)}=1$ . (5.12)
Записывают: $LaTeX formula: \alpha (x)\sim \beta (x)$ при $LaTeX formula: x\rightarrow a$ .

Так, например, при $LaTeX formula: x\rightarrow0$
$LaTeX formula: \sin x\sim x$ , $LaTeX formula: tgx\sim x$ , $LaTeX formula: \ln (1+x)\sim x$ . (5.13)
При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них или только одну можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.
Функцию LaTeX formula: y=f(x)

называют бесконечно большой в точке LaTeX formula: a

, если ее передел в этой точке равен бесконечности: $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty$ .
Справедливы равенства:
$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }x=\infty$ ; (5.14)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty$ . (5.15)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }a^{x}=0$ , если LaTeX formula: 0< a< 1

(5.16)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }a^{x}=+\infty$ , если LaTeX formula: a> 1

(5.17)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow -\infty }a^{x}=+\infty$ , если LaTeX formula: 0< a< 1

(5.18)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow -\infty }a^{x}=0$ , если LaTeX formula: a> 1

(5.19)

Пример 1 . Вычислим $LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}+6}{3x-2}$ .

Решение . Применяя свойства 5.8, 5.6 , 5.4, 5.9 и 5.3 , получим:

$LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}+6}{3x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(x^{2}+6)}{\lim_{x\rightarrow 0}3x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}+\lim_{x\rightarrow 0}6}{\lim_{x\rightarrow 0}3x-\lim_{x\rightarrow 0}2}$ $LaTeX formula: =\frac{0^{2}+6}{3\cdot 0-2}=-3$ .

Ответ: LaTeX formula: -3 .

Квантор – общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо утверждения, высказывания (предиката). Квантор всеобщности обозначается $LaTeX formula: \forall$ и читается: «для всех …» или «для любого …». Квантор существования обозначается $LaTeX formula: \exists$ и читается: «существует …» или «найдется …». Тогда определение числовой последовательности можем записать так: число LaTeX formula: a является пределом числовой последовательности $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ , если $LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0$ $LaTeX formula: \exists N_{0}\in N$ такой, что $LaTeX formula: \forall n> N_{0}:\left | x_{n}-a \right |< 0$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания