Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Число  LaTeX formula: a является  пределом числовой последовательности  LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \} , если для любого LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0 найдется такой номерLaTeX formula: N_{0} , что при всех LaTeX formula: n> N_{0} выполняется неравенство LaTeX formula: \left | x_{n} -a\right |< \varepsilon . Записывают: 

LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }x_{n}=a.

Другими словами (геометрический смысл предела): число LaTeX formula: a является пределом последовательности LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \} , если в любой егоLaTeX formula: \varepsilon  -окрестности содержатся почти все члены последовательности или вне этой окрестности находится лишь конечное число ее членов.

Такая числовая последовательность называется  сходящейся . Если же предел последовательности равен бесконечности или не существует, то такая числовая последовательность называется расходящейся.

Например, числовая последовательность LaTeX formula: \left \{ \frac{1}{n} \right \}  сходится и LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}=0 , а числовая последовательность LaTeX formula: \left \{ \sin 5x \right \}  расходится.

Числовая последовательность может быть как ограниченной так и не ограниченной. Числовая последовательность LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \} ограничена , если LaTeX formula: \exists M> 0 , такое, что LaTeX formula: \forall n\in N:LaTeX formula: \left | x_{n} \right |\leq M

Числовая последовательностьLaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \} не ограничена , если LaTeX formula: \forall M> 0LaTeX formula: \exists n\in N:LaTeX formula: \left | x_{n} \right |> M  .

Например: числовая последовательность LaTeX formula: \left \{ a_{n} \right \}=\left \{ 5;10;15;... \right \}  ограничена снизу.

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Числовая последовательность LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \} бесконечно малая , если LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0LaTeX formula: \exists N_{0}\in N такой, что LaTeX formula: \forall n > N:LaTeX formula: \left | x_{n} \right |< \varepsilon  . 

Числовая последовательность LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \} бесконечно большая , если LaTeX formula: \forall A> 0 LaTeX formula: \exists N_{0}\in N такой, что LaTeX formula: \forall n> N_{0}:LaTeX formula: \left | x_{n} \right |> A . Например, последовательностьLaTeX formula: \left \{ \frac{5}{n} \right \} бесконечно малая, а последовательность LaTeX formula: \left \{ 5+n \right \}  бесконечно большая.

Число LaTeX formula: b называют  пределом функции LaTeX formula: y=f(x) в точке LaTeX formula: x=a , если LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0LaTeX formula: \exists \delta > 0 такое, что LaTeX formula: \forall x:0< \left | x-a \right |< \delta  , выполняется неравенство LaTeX formula: \left | f(x)-b \right |< \varepsilon (рис. 5.5). Записывают: LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}f(x)=b  .

Другими словами число LaTeX formula: b называют  пределом функции LaTeX formula: y=f(x) в точке LaTeX formula: x=a , для любой последовательностиLaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}  аргументов функции, сходящейся к LaTeX formula: a, соответствующая последовательность значений функции LaTeX formula: \left \{ f(x_{n}) \right \}сходится к LaTeX formula: b

Различают  левосторонний предел  функции в точке LaTeX formula: a LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b и  правосторонний предел LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=b
Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предела функции в этой точке.

Например, на рисунке 5.6 ,LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b_{1}   ,LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=+\infty и  LaTeX formula: b_{1}\neq b_{2}  , следовательно, не существует предела функции в точке LaTeX formula: a. На рисунке 5.7 ,LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b_{1} аLaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=+\infty , следовательно, предела функции в точке LaTeX formula: a не существует.

Свойства пределов  

LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}c=c; (5.3)

 LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}x=x_{0}; (5.4)

  LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(c\cdot f(x))=c\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x);  (5.5)

  LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\pm \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x); (5.6)

  LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)g(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x);  (5.7)

  LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)};  (5.8)

  LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f^{n}(x)=\left ( \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \right )^{n}; (5.9)

  LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x))^{g(x)}=\left ( \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \right )^{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)}. (5.10)

Равенство 5.10 справедливо, если пределы LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) и LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x) конечны.

Функцию LaTeX formula: \alpha (x) называют  бесконечно малой в точке или в бесконечности, если ее предел равен нулю.

Справедливо равенство:
 LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{k}{x}=0; (5.11)
Две бесконечно малые функции LaTeX formula: \alpha (x) и LaTeX formula: \beta (x) называют эквивалентными бесконечно малыми при LaTeX formula: x\rightarrow a, если 
LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\beta (x)}{\alpha (x)}=1 . (5.12)
Записывают:  LaTeX formula: \alpha (x)\sim \beta (x) при LaTeX formula: x\rightarrow a.
Так, например, при  LaTeX formula: x\rightarrow0
 LaTeX formula: \sin x\sim xLaTeX formula: tgx\sim x , LaTeX formula: \ln (1+x)\sim x. (5.13)
 При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них или только одну можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.
Функцию LaTeX formula: y=f(x) называют  бесконечно большой  в точке LaTeX formula: a, если ее передел в этой точке равен бесконечности:LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty .
Справедливы равенства:
LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }x=\infty ; (5.14)
  
 LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty. (5.15)

 LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }a^{x}=0, если LaTeX formula: 0< a< 1  (5.16) 

 LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }a^{x}=+\infty, если LaTeX formula: a> 1  (5.17)

LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow -\infty }a^{x}=+\infty , если LaTeX formula: 0< a< 1  (5.18) 

 LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow -\infty }a^{x}=0, если LaTeX formula: a> 1  (5.19)

Пример 1 . Вычислим LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}+6}{3x-2}.

Решение . Применяя свойства 5.85.6 , 5.45.9 и 5.3 , получим:

LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}+6}{3x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(x^{2}+6)}{\lim_{x\rightarrow 0}3x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}+\lim_{x\rightarrow 0}6}{\lim_{x\rightarrow 0}3x-\lim_{x\rightarrow 0}2}LaTeX formula: =\frac{0^{2}+6}{3\cdot 0-2}=-3.

Ответ:  LaTeX formula: -3.


Квантор – общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо утверждения, высказывания (предиката). Квантор всеобщности   обозначается LaTeX formula: \forall и читается: «для всех …» или «для любого …». Квантор существования обозначается LaTeX formula: \exists  и читается: «существует …» или «найдется …». Тогда определение числовой последовательности можем записать так: число LaTeX formula: a является пределом числовой последовательности LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}  , если LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0LaTeX formula: \exists N_{0}\in N такой, что LaTeX formula: \forall n> N_{0}:\left | x_{n}-a \right |< 0 .

formula