Функцией
называют такую зависимость переменной
от переменной
, при которой каждому допустимому значению
соответствует
единственное значение
. Переменную
называют независимой переменной или
аргументом функции
, а переменную
– зависимой от
переменной или
значением функции .
Уравнение задает функцию
явно
, а уравнение
задает функцию
неявно
. Чтобы задать функцию явно, необходимо в уравнении
выразить одну переменную через другую.
Множество всех допустимых значений переменной образуют
область определения
функции. Область определения функции обозначают
.
Множество всех допустимых значений переменной образуют
область значений функции
. Область значений функции обозначают
.
Например, область определения функции составляют числа, принадлежащие промежутку
, а область ее значений – числа, принадлежащие промежутку
.
Графиком функции
называют множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек вида
. График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.
Функция
возрастает
на промежутке
, если для любых
и
, принадлежащих промежутку
, из неравенства
следует неравенство
(рис. 5.1).
Функция
убывает
на промежутке
, если для любых
и
, принадлежащих промежутку
, из неравенства
следует неравенство
(рис. 5.2).
Функция называется монотонной
, если она либо только возрастает, либо только убывает на .
Говорят, что числовое множество симметрично
относительно точки (начала отсчета) координатной прямой, если оно содержит только противоположные элементы.
Например, числовые множества ,
,
– симметричные, а множества
,
и
– не симметричные.
Функция
называется
четной
, если – симметричное множество относительно начала отсчета и
. График четной функции симметричен относительно оси
.
Функция
называется
нечетной
, если – симметричное множество относительно начала отсчета и
. График нечетной функции симметричен относительно точки
.
Функция называется периодической
, если существует такое число
, при котором для всех
из области определения функции выполняется равенство
.
Например, тригонометрические функции ,
,
и
являются периодическими, так как выполняются равенства:
,
,
и
, где
.
Чтобы построить график периодической функции, достаточно построить ее график на основном (наименьшем) периоде и выполнить параллельный перенос этого графика вдоль оси абсцисс на любое количество периодов влево и вправо. Например, рассмотрим функцию
. Заметим, что запись
обозначает наибольшую целую часть некоторого числа, не превосходящую это число, а запись
обозначает его дробную часть. Так, например,
,
,
,
,
,
. Тогда функция
является периодической с основным периодом, равным
. На рисунке 5.3 построен график этой функции на ее основном периоде
, а на рисунке 5.4 построен график этой функции на нескольких периодах.
Точки пересечения графика функции с осью абсцисс называют нулями функции .
Чтобы найти нули функции необходимо решить уравнение
.
Функция
обратима
, т. е. имеет обратную функцию
, если она или монотонно возрастает или монотонно убывает на всей своей области определения.
Функции и
образуют пару взаимно обратных функций. Взаимно обратные функции обладают следующими
свойствами :
1) область определения функции является областью значений функции
, а область значений функции
является областью определения функции
, т.е.
,
;
2) если функция монотонно возрастает (убывает), то и функция
возрастает (убывает);
3) графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой .
Чтобы найти функцию обратную функции необходимо решить уравнение относительно переменной
и в этом уравнении заменить
на
, а
заменить на
.
Рассмотрим две функции и
. Функцию вида
называют
сложной функцией
.
Например, если , а
, то
.





![y=\sqrt[3]{0,5-2x} LaTeX formula: y=\sqrt[3]{0,5-2x}](/uploads/formulas/62abe5450dcce86dcff7062b4887ed3cc13a4beb.1.1.png)
1) функция



2) функция



3) функция


Пример 3. Найдите функцию обратную функции
![y=\sqrt[5]{2x+8} LaTeX formula: y=\sqrt[5]{2x+8}](/uploads/formulas/95bdff70178080e93c1c775e0d41223ebccb62ca.1.1.png)
Решение . Выразим переменную









![y=\sqrt[5]{2x+8} LaTeX formula: y=\sqrt[5]{2x+8}](/uploads/formulas/95bdff70178080e93c1c775e0d41223ebccb62ca.1.1.png)



