Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Функцией LaTeX formula: y=f(x) называют такую зависимость переменной LaTeX formula: y от переменной LaTeX formula: x , при которой каждому допустимому значениюLaTeX formula: x соответствует единственное значение LaTeX formula: y   . Переменную LaTeX formula: x называют независимой переменной или аргументом функции , а переменную LaTeX formula: y – зависимой от LaTeX formula: x переменной или значением функции .

Уравнение LaTeX formula: y=f(x) задает функцию явно , а уравнение LaTeX formula: F(x;y)=0 задает функцию неявно . Чтобы задать функцию явно, необходимо в уравнении LaTeX formula: F(x;y)=0 выразить одну переменную через другую. 

Множество всех допустимых значений переменнойLaTeX formula: x образуют область определения функции. Область определения функции обозначают LaTeX formula: D(f)  .

Множество всех допустимых значений переменнойLaTeX formula: y образуют  область значений функции . Область значений функции обозначают LaTeX formula: E(f)  .

Например, область определения функции LaTeX formula: y=\sqrt{x-5} составляют числа, принадлежащие промежутку LaTeX formula: [5;+\infty ) , а область ее значений – числа, принадлежащие промежутку LaTeX formula: [0;+\infty )  .

Графиком функции LaTeX formula: y=f(x) называют множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек вида LaTeX formula: M(x;f(x))  . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.

Функция LaTeX formula: y=f(x) возрастает  на промежутке LaTeX formula: (a; b), если для любых LaTeX formula: x_{1} и LaTeX formula: x_{2}, принадлежащих промежутку LaTeX formula: (a;b) , из неравенства LaTeX formula: x_{1}< x_{2} следует неравенство LaTeX formula: f(x_{1})<f (x_{2})  (рис. 5.1).

 Функция LaTeX formula: y=f(x)   убывает  на промежутке LaTeX formula: (a; b), если для любых LaTeX formula: x_{1} и LaTeX formula: x_{2}, принадлежащих промежутку LaTeX formula: (a;b), из неравенства LaTeX formula: x_{1}<x_{2} следует неравенство LaTeX formula: f(x_{1})> f (x_{2})  (рис. 5.2).

Функция называется  монотонной , если она либо только возрастает, либо только убывает на LaTeX formula: D(x) .

Говорят, что числовое множество  симметрично относительно точки LaTeX formula: O(0) (начала отсчета) координатной прямой, если оно содержит только противоположные элементы. 

Например, числовые множества LaTeX formula: (-10;10) , LaTeX formula: (-\infty ;+\infty ),LaTeX formula: [-3;+3] – симметричные, а множества LaTeX formula: (-\infty ;5)LaTeX formula: (0;2) и LaTeX formula: [-4;4)– не симметричные.

Функция называется   четной , если LaTeX formula: D(f)– симметричное множество относительно начала отсчета иLaTeX formula: f(x)=f(-x) . График четной функции симметричен относительно оси LaTeX formula: Oy.

Функция называется   нечетной , если LaTeX formula: D(f) – симметричное множество относительно начала отсчета иLaTeX formula: f(x)=-f(-x) . График нечетной функции симметричен относительно точки LaTeX formula: O(0;0)  .

Функция  LaTeX formula: y=f(x) называется  периодической , если существует такое число LaTeX formula: T\neq 0  , при котором для всех LaTeX formula: x из области определения функции выполняется равенство LaTeX formula: f(x\pm T)=f(x)  .

Например, тригонометрические функции LaTeX formula: y=\sin xLaTeX formula: y=\cos xLaTeX formula: y=tgx и LaTeX formula: y=ctg x являются периодическими, так как выполняются равенства: LaTeX formula: \sin x=\sin(x\pm 2\pi n)LaTeX formula: \cos x=\cos(x\pm 2\pi n)LaTeX formula: tgx=tg(x\pm \pi n) и LaTeX formula: ctgx=ctg(x\pm \pi n) , где LaTeX formula: n\in Z  .

Чтобы построить график периодической функции, достаточно построить ее график на основном (наименьшем) периоде LaTeX formula: T и выполнить параллельный перенос этого графика вдоль оси абсцисс на любое количество периодов влево и вправо. Например, рассмотрим функцию LaTeX formula: y=\left \{ x \right \} . Заметим, что запись LaTeX formula: [x] обозначает наибольшую целую часть некоторого числа, не превосходящую это число, а запись LaTeX formula: \left \{ x \right \} обозначает его дробную часть. Так, например, LaTeX formula: [5]=5 ,LaTeX formula: \left \{ 5 \right \}=0LaTeX formula: [5,2]=5LaTeX formula: \left \{ 5,2 \right \}=0,2LaTeX formula: [-5,2]=-6LaTeX formula: \left \{ -5,2 \right \}=0,8 . Тогда функция LaTeX formula: y=\left \{ x \right \}  является периодической с основным периодом, равным LaTeX formula: 1. На рисунке 5.3 построен график этой функции на ее основном периоде LaTeX formula: T=1, а на рисунке 5.4 построен график этой функции на нескольких периодах.

Точки пересечения графика функции с осью абсцисс называют нулями функции .

Чтобы найти нули функции LaTeX formula: y=f(x) необходимо решить уравнение LaTeX formula: f(x)=0  .

Функция  LaTeX formula: y=f(x)  обратима , т. е. имеет обратную функцию LaTeX formula: y=f^{-1}(x), если она или монотонно возрастает или монотонно убывает на всей своей области определения.

Функции  LaTeX formula: y=f(x) и LaTeX formula: y=f^{-1}(x) образуют пару взаимно обратных функций. Взаимно обратные функции обладают следующими свойствами :

1) область определения функции LaTeX formula: y=f(x) является областью значений функции LaTeX formula: y=f^{-1}(x) , а область значений функции LaTeX formula: y=f(x) является областью определения функции LaTeX formula: y=f^{-1}(x) , т.е. LaTeX formula: D(f)=E(f^{-1}) , LaTeX formula: E(f)=D(f^{-1});

2) если функция LaTeX formula: y=f(x) монотонно возрастает (убывает), то и функция LaTeX formula: y=f^{-1}(x)  возрастает (убывает);

3) графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой  LaTeX formula: y=x.

Чтобы найти функцию обратную функции LaTeX formula: y=f(x)  необходимо решить уравнение относительно переменной LaTeX formula: x и в этом уравнении заменить LaTeX formula: x на LaTeX formula: y, а LaTeX formula: y заменить на LaTeX formula: x.

Рассмотрим две функции LaTeX formula: y=f(z) и LaTeX formula: z=g(x) . Функцию вида LaTeX formula: y=f(g(x)) называют сложной функцией

Например, если LaTeX formula: y=\sqrt[3]{z}, а LaTeX formula: z=(x+4)^{5} , то LaTeX formula: f(x)=\sqrt[3]{(x+4)^{5}} .


Пример 1. Зададим явно функцию  LaTeX formula: 4x+2y^{3}=1
Выразив переменную LaTeX formula: y через переменную LaTeX formula: x, получим:
 LaTeX formula: 2y^{3}=1-4x,  LaTeX formula: y^{3}=0,5-2x,  LaTeX formula: y=\sqrt[3]{0,5-2x}.
Пример 2. Выясним, являются ли данные функции четными
1) функция LaTeX formula: f(x)=5x^{4}-9x^{2}+7 четная, так как LaTeX formula: D(f)=R – симметричное множество относительно начала отсчета и LaTeX formula: f(-x)=5x^{4}-9x^{2}+7=f(x) ;
2) функция LaTeX formula: f(x)=5x^{3}-9x нечетная, так как LaTeX formula: D(f)=R – симметричное множество иLaTeX formula: f(-x)=-5x^{3}+9x=-(5x^{3}-9x)=-f(x) ;
3) функция LaTeX formula: f(x)=\sqrt{15x} не является четной и не является нечетной, так как LaTeX formula: D(f)=[0;+\infty )– не симметричное множество.
Пример 3.  Найдите функцию обратную функции LaTeX formula: y=\sqrt[5]{2x+8} .
Решение . Выразим переменную LaTeX formula: x явно: LaTeX formula: y^{5}=2x+8LaTeX formula: 2x=y^{5}-8 , LaTeX formula: x=0,5y^{5}-4. Заменив в этом уравнении LaTeX formula: x на LaTeX formula: y, а LaTeX formula: y на LaTeX formula: x, запишем: LaTeX formula: y=0,2x^{5}-4 . Функции LaTeX formula: y=\sqrt[5]{2x+8} и LaTeX formula: y=0,2x^{5}-4 взаимно обратные.

Не всякое равенство, содержащее переменные, является функцией. Например, уравнение окружностиLaTeX formula: x^{2}+y^{2}=R^{2}  нельзя считать функцией, так как каждому значению LaTeX formula: x соответствует два значения LaTeX formula: y
formula