Функцией называют такую зависимость переменной  от переменной  , при которой каждому допустимому значению соответствует единственное значение   . Переменную  называют независимой переменной или аргументом функции , а переменную  – зависимой от  переменной или значением функции .

Уравнение  задает функцию явно , а уравнение  задает функцию неявно . Чтобы задать функцию явно, необходимо в уравнении  выразить одну переменную через другую. 

Множество всех допустимых значений переменной образуют область определения функции. Область определения функции обозначают   .

Множество всех допустимых значений переменной образуют  область значений функции . Область значений функции обозначают   .

Например, область определения функции  составляют числа, принадлежащие промежутку  , а область ее значений – числа, принадлежащие промежутку   .

Графиком функции называют множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек вида   . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.

Функция  возрастает  на промежутке , если для любых  и , принадлежащих промежутку  , из неравенства  следует неравенство   (рис. 5.1).

 Функция    убывает  на промежутке , если для любых  и , принадлежащих промежутку , из неравенства  следует неравенство   (рис. 5.2).

Функция называется  монотонной , если она либо только возрастает, либо только убывает на  .

Говорят, что числовое множество  симметрично относительно точки  (начала отсчета) координатной прямой, если оно содержит только противоположные элементы. 

Например, числовые множества  , , – симметричные, а множества  ,  и – не симметричные.

Функция называется   четной , если – симметричное множество относительно начала отсчета и . График четной функции симметричен относительно оси .

Функция называется   нечетной , если  – симметричное множество относительно начала отсчета и . График нечетной функции симметричен относительно точки   .

Функция   называется  периодической , если существует такое число   , при котором для всех  из области определения функции выполняется равенство   .

Например, тригонометрические функции  ,  ,  и  являются периодическими, так как выполняются равенства:  ,  ,  и  , где   .

Чтобы построить график периодической функции, достаточно построить ее график на основном (наименьшем) периоде  и выполнить параллельный перенос этого графика вдоль оси абсцисс на любое количество периодов влево и вправо. Например, рассмотрим функцию  . Заметим, что запись  обозначает наибольшую целую часть некоторого числа, не превосходящую это число, а запись  обозначает его дробную часть. Так, например,  , ,  ,  ,  ,  . Тогда функция   является периодической с основным периодом, равным . На рисунке 5.3 построен график этой функции на ее основном периоде , а на рисунке 5.4 построен график этой функции на нескольких периодах.

Точки пересечения графика функции с осью абсцисс называют нулями функции .

Чтобы найти нули функции  необходимо решить уравнение   .

Функция    обратима , т. е. имеет обратную функцию , если она или монотонно возрастает или монотонно убывает на всей своей области определения.

Функции   и  образуют пару взаимно обратных функций. Взаимно обратные функции обладают следующими свойствами :

1) область определения функции  является областью значений функции  , а область значений функции  является областью определения функции  , т.е.  , ;

2) если функция  монотонно возрастает (убывает), то и функция   возрастает (убывает);

3) графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой  .

Чтобы найти функцию обратную функции   необходимо решить уравнение относительно переменной  и в этом уравнении заменить  на , а  заменить на .

Рассмотрим две функции  и  . Функцию вида  называют сложной функцией . 

Например, если , а  , то  .