Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Транспонирование матрицы 
Транспонировать матрицу – значит, заменить все ее строки соответствующим столбцами. Например, транспонируя матрицуLaTeX formula: B=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 1\\ 0& -5 \end{bmatrix} , получим LaTeX formula: B^T=\begin{bmatrix} 2 & 4 & 0\\ 3 & 1 & -5 \end{bmatrix}
Сложение (вычитание) матриц 
Чтобы сложить (вычесть) две матрицы, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие элементы. 
Например, 
LaTeX formula: \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} \pm b_{11} & & a_{12} \pm b_{12} \\ a_{21} \pm b_{21} & & a_{22} \pm b_{22} \end{bmatrix}; (1.9)
Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.
Умножение матрицы на матрицу
Умножать можно только согласованные матрицы. Говорят, что матрица LaTeX formula: A согласована с матрицей LaTeX formula: B , если количество столбцов матрицы LaTeX formula: A, равно количеству строк матрицы LaTeX formula: B.
В результате умножения матрицы LaTeX formula: A_{mn}=(a_{ik})_{mn} на матрицу LaTeX formula: B_{nl}=(b_{ik})_{nl} , получают матрицу LaTeX formula: C_{ml}=(a_{ik})_{ml} , элементы которой находят по формуле:
LaTeX formula: c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}. (1.10)
Например, 
LaTeX formula: \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11}+a_{12}b_{21} & & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{bmatrix}. (1.10.1)
Элементарные преобразования матриц
К элементарным преобразованиям матриц относят: 
1) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля; 
2) перестановку двух строк (столбцов);
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на любое (отличное от нуля) число.

Пример 1. Выполним действия над матрицами:
1) LaTeX formula: \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0\\ 3 & 1 & -5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 & -4 & 1\\ 5 & 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 8 & -1\\ -2 & 1 & -11 \end{bmatrix} ; 
2) LaTeX formula: -3 \cdot \begin{bmatrix} 2 &3 \\ 4 & -1\\ 0& -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -9 \\ -12 & 3\\ 0 & 15 \end{bmatrix} .
Пример 2. По формуле 1.10.1 найдем произведения LaTeX formula: AB и LaTeX formula: BA матриц LaTeX formula: A=\begin{pmatrix} 4 & 0\\ -2 & 0 \end{pmatrix} и LaTeX formula: B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix} . 
Решение. Поскольку имеем квадратные матрицы одного и того же порядка (они взаимно согласованы), то можем найти и произведение LaTeX formula: AB, и произведение LaTeX formula: BA.
1. Найдем произведение матриц LaTeX formula: A и LaTeX formula: B : 
 LaTeX formula: AB=\begin{pmatrix} 4 & 0\\ -2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \cdot 1+0\cdot (-3) & 4\cdot (-1)+0\cdot 2\\ -2\cdot 1 + 0\cdot (-3) & -2\cdot (-1)+0\cdot 2 \end{pmatrix} =LaTeX formula: =\begin{pmatrix} 4 & -4\\ -2 & 2 \end{pmatrix} .
2. Найдем произведение матриц LaTeX formula: B  и LaTeX formula: A : 
LaTeX formula: BA= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 0\\ -2 & 0 \end{pmatrix}=LaTeX formula: \begin{pmatrix} 1 \cdot 4-1\cdot (-2) & 1\cdot 0-1\cdot 0\\ -3\cdot 4 + 2\cdot (-2) & -3\cdot 0+2\cdot 0 \end{pmatrix}=LaTeX formula: \begin{pmatrix} 6 & 0\\ -16 & 0 \end{pmatrix} .
Ответ:LaTeX formula: AB=\begin{pmatrix} 4 & -4\\ -2 & 2 \end{pmatrix} ; LaTeX formula: BA=\begin{pmatrix} 6 & 0\\ -16 & 0 \end{pmatrix} .
Пример 3. Выполним элементарные преобразования матрицы LaTeX formula: \begin{bmatrix} 4 & 0 & -2\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} : 
1) умножим первую строку матрицы на число LaTeX formula: -1:
LaTeX formula: \begin{bmatrix} 4 & 0 & -2\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} -4 & 0 & 2\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} ;
б) переставим вторую строку и третью строку матрицы: 
LaTeX formula: \begin{bmatrix} 4 & 0 & -2\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} -1 & 2 & 5\\ 4 & 0 & -2\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} ;
в) к элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, предварительно умножив их на число LaTeX formula: 4:
LaTeX formula: \begin{bmatrix} 4 & 0 & -2\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 0 & 8 & 18\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} .

1. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров
2. Умножать можно только согласованные матрицы.
3. Если имеем два действительных числа LaTeX formula: a и LaTeX formula: b , то справедливо, что LaTeX formula: a \cdot b = b\cdot a (от перестановки множителей произведение чисел не изменится). Если имеем две взаимно согласованные матрицы LaTeX formula: A и LaTeX formula: B, то не обязательно, что LaTeX formula: AB равно LaTeX formula: BA.
4. В результате элементарных преобразований матрицы получают матрицы, не равные данной матрице. Элементарные преобразования матриц целесообразно выполнять в процессе решения систем алгебраических линейных уравнений методом Гаусса. 

formula