Тела вращения /qualihelpy

Тела вращения

Справочник / Школьник / Стереометрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Телом вращения называют пространственную фигуру, полученную в результате вращения некоторой плоской фигуры вокруг оси. Среди всех тел вращения выделяют цилиндр, конус и шар.

Цилиндром называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон (оси цилиндра).

Образующей цилиндра называют отрезок, соединяющий точки окружностей оснований цилиндра, и перпендикулярный диаметрам его оснований.

Высотой цилиндра называют перпендикуляр, заключенный между основаниями цилиндра.

На рисунке 9.66 прямая LaTeX formula: OO_1

– ось вращения; LaTeX formula: OO_1=h

– высота,

– образующая цилиндра, полученного вращением прямоугольника LaTeX formula: OO_1CD

вокруг стороны LaTeX formula: OO_1

. Основание цилиндра – круг радиуса LaTeX formula: OD

. Прямоугольник LaTeX formula: ABCD

– осевое сечение цилиндра.

Объем цилиндра высоты LaTeX formula: h

находят по формуле:

$LaTeX formula: V=S_{o.}\cdot h$ . (9.15)

Площадь основания цилиндра ( LaTeX formula: r

– радиус основания) находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{o.}=\pi r ^2$ . (9.16)

Площадь поверхности цилиндра находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .}$ . (9.17)

Площадь боковой поверхности цилиндра находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{\delta .}=2\pi r l$ , (9.18)

где

– радиус основания, LaTeX formula: h

– высота,

– образующая цилиндра.

Конусом называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (оси конуса).

Образующей конуса называют отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания конуса.

Высотой конуса называют перпендикуляр, соединяющий вершину конуса с центром его основания.

На рисунке 9.67 прямая LaTeX formula: OB

– ось вращения; LaTeX formula: OB=h

– высота конуса, LaTeX formula: l

– образующая конуса, $LaTeX formula: \triangle ABC$ – осевое сечение конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника LaTeX formula: OBC

вокруг катета LaTeX formula: OB

Усеченным конусом называют часть конуса, ограниченную его основанием и сечением, параллельным плоскости основания.

На рисунке 9.68 изображен усеченный конус.

Объем конуса высоты LaTeX formula: h

находят по формуле:

$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}S_{o.}\cdot h$ . (9.19)

Площадь основания конуса ( LaTeX formula: r

– радиус основания) находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{o.}=\pi r^2$ . (9.20)

Площадь поверхности конуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .}$ . (9.21)

Площадь боковой поверхности конуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{\delta .}=\pi r l$ , (9.22)

где

– радиус основания, LaTeX formula: l

– образующая конуса.

Объем усеченного конуса находят по формуле:

$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\pi h(r^2_1+r^2_2+r_1r_2)$ , (9.23)

где

– радиусы оснований, LaTeX formula: h

– высота.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{\delta .}=\pi (r_1+r_2)l$ , (9.24)

где

– радиусы оснований, LaTeX formula: h

– высота,

– образующая усеченного конуса.

Сферой называют фигуру, полученную в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра (рис. 9.69).

Шаром называют фигуру, полученную вращением полукруга вокруг его диаметра.

Сечение сферы плоскостью – окружность.

Сечение шара плоскостью – круг.

Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом (на рисунке 9.69 круг с центром в точке LaTeX formula: O

и радиусом LaTeX formula: R

Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку (на рисунке 9.69 плоскость $LaTeX formula: \alpha$ ). Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости (на рисунке 9.69 точка LaTeX formula: A

Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы в точке касания.

Площадь сферы радиуса LaTeX formula: R

находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{c\phi .}=4\pi R^2$ . (9.25)

Объем шара радиуса LaTeX formula: R

находят по формуле:

$LaTeX formula: V_{wapa}=\frac{4}{3}\pi R^3$ . (9.26)

Выпуклый многоугольник вписан в сферу, если все его вершины лежат на поверхности сферы, и описан около сферы, если все его стороны касаются поверхности сферы.

Сферическим (шаровым) сегментом называют часть сферы (шара), отсекаемую плоскостью.

Высотой

шарового сегмента называют длину отрезка диаметра, перпендикулярного основанию шарового сегмента, расположенного между этим основанием и сферой (на рис. 9.70 LaTeX formula: AB=h

Шаровым сектором называют тело, полученное вращением кругового сектора вокруг одного из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Высотой шарового сектора называют высоту части его сферической поверхности.

На рисунке 9.70 шаровой сектор получен в результате вращения кругового сектора вокруг радиуса LaTeX formula: OA

Объем шарового сегмента находят по формуле:

$LaTeX formula: V_{c.}=\pi h^2(R-\frac{1}{3}h)$ . (9.27)

Площадь сферической поверхности находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n.}=2\pi Rh$ , (9.28)

где

– радиус шара; LaTeX formula: h

– высота сегмента.

Объем шарового сектора находят по формуле:

$LaTeX formula: V_{ce\kappa .}=\frac{2}{3}\pi R^2h$ , (9.29)

где

– радиус шара; LaTeX formula: h

– высота сегмента.

Пример 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной LaTeX formula: a

. Найдите объем и площадь поверхности цилиндра.

Решение. Так как осевое сечение квадрат (рис. 9.71), то LaTeX formula: l=h=a

, $LaTeX formula: r=\frac{a}{2}$ .

По формулам 9.15 и 9.16 найдем объем цилиндра: $LaTeX formula: V=\pi \cdot \frac{a^2}{4}\cdot a=\frac{\pi a^3}{4}$ .

По формулам 9.16 , 9.17 и 9.18 найдем площадь поверхности цилиндра: $LaTeX formula: S_{n.}=\frac{2\pi a^2}{4}+\frac{2\pi a^2}{2}=\frac{3\pi a^2}{2}$ .

Ответ: $LaTeX formula: 0,25\pi a^3$ ; $LaTeX formula: 1,5\pi a^2$ .

Пример 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна LaTeX formula: 119

, а объем его равен $LaTeX formula: 7\pi$ . Найдите высоту этого цилиндра.

Решение. Площадь боковой поверхности и объем цилиндра найдем по формулам 9.18 и 9.15 , где LaTeX formula: R

– радиус основания, LaTeX formula: h

– высота цилиндра.

Тогда согласно условию задачи запишем: $LaTeX formula: \begin{cases} 2\pi Rh=119, \\ \pi R^2h=7\pi. \end{cases}$

Разделим первое уравнение системы на второе и получим: $LaTeX formula: \frac{2\pi Rh}{\pi R^2h}=\frac{119}{7\pi }$ , $LaTeX formula: \frac{2}{R}=\frac{17}{\pi }$ , $LaTeX formula: R=\frac{2\pi }{17}$ .

Найдем

из первого уравнения системы: $LaTeX formula: h=\frac{119}{2\pi R}=\frac{119\cdot 17}{2\pi \cdot 2\pi }=\frac{2023}{4\pi ^2}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{2023}{4\pi ^2}$ .

Пример 3. Найдите объем и площадь поверхности конуса, осевым сечением которого является правильный треугольник со стороной $LaTeX formula: 2\sqrt{3}$ см (рис. 9.72).

Решение. Так как $LaTeX formula: l=2\sqrt{3}$ см, а $LaTeX formula: r=\sqrt{3}$ см, то из теоремы Пифагора: $LaTeX formula: h=\sqrt{l^2-r^2}$ , $LaTeX formula: h=\sqrt{12-3}=3$ (см).

По формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса: $LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3\cdot 3=3\pi$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ ).

По формулам 9.20 , 9.21 и 9.22 найдем площадь поверхности конуса: $LaTeX formula: S_{n.}=3\pi +6\pi =9\pi$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).

Ответ: $LaTeX formula: 3\pi$ $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ ; $LaTeX formula: 9\pi$ $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ .

Пример 4. Радиус основания конуса равен $LaTeX formula: \sqrt{15}$ , а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен $LaTeX formula: 90^{\circ}$ . Определите объем конуса.

Решение. Рассмотрим конус радиуса $LaTeX formula: r=\sqrt{15}$ и развертку его боковой поверхности – круговой сектор радиуса LaTeX formula: l

(рис. 9.73).

Найдем длину окружности в основании конуса: $LaTeX formula: C_{o\kappa p.}=2\pi r=2\sqrt{15}\pi$ .

Найдем длину дуги в развертке боковой поверхности конуса: $LaTeX formula: C_{g.}=\frac{2\pi l}{360^{\circ}}\cdot 90^{\circ}=\frac{\pi l}{2}$ .

Так как $LaTeX formula: C_{o\kappa p.}=C_{g.}$ , то $LaTeX formula: 2\pi r=\frac{\pi l}{2}$ и $LaTeX formula: l=4r=4\sqrt{15}$ .

Из теоремы Пифагора: LaTeX formula: h^2=l^2-r^2

, $LaTeX formula: h=\sqrt{16\cdot 15-15}=15$ .

По формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса: $LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 15\cdot 15=75\pi$ .

Ответ: $LaTeX formula: 75\pi$ .

Пример 5. Осевое сечение конуса – равнобокая трапеция с основаниями LaTeX formula: 4

. Образующая конуса равна LaTeX formula: 8

. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса.

Решение. Имеем усеченный конус (рис. 9.74), радиусы оснований которого соответственно равны LaTeX formula: 8

. Зная образующую конуса LaTeX formula: l=8

, найдем его высоту: $LaTeX formula: h=\sqrt{l^2-(r_1-r_2)^2}$ , $LaTeX formula: h=\sqrt{64-36}=2\sqrt{7}$ .

По формуле 9.24 найдем площадь боковой поверхности конуса: $LaTeX formula: S_{\delta .}=20\sqrt{7}\pi$ .

По формуле 9.23 найдем объем конуса:

$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\pi 2\sqrt{7}(64+4+16)=56\sqrt{7}\pi$ .

Ответ: $LaTeX formula: 20\sqrt{7}\pi$ ; $LaTeX formula: 56\sqrt{7}\pi$ .

Пример 6. Периметр правильного шестиугольника, все вершины которого лежат на поверхности шара, равен LaTeX formula: 12

. Объем шара равен $LaTeX formula: 36\pi$ . Найдите расстояние от центра шара до плоскости шестиугольника.

Решение. Найдем сторону правильного шестиугольника, зная его периметр: LaTeX formula: a=12:6=2

. Так как радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, то на рисунке 9.75 LaTeX formula: r=2

Объем шара находят по формуле 9.26 .

Так как $LaTeX formula: V=36\pi$ , то $LaTeX formula: 36\pi =\frac{4}{3}\pi R^3$ , $LaTeX formula: 9=\frac{1}{3}R^3$ , LaTeX formula: 27=R^3

Из теоремы Пифагора: $LaTeX formula: d=\sqrt{R^2-r^2}$ , $LaTeX formula: d=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \sqrt{5}$ .

Пример 7. Сторона квадрата, описанного около шара, равна LaTeX formula: 4

. Найдите площадь сферической поверхности, отсекаемой плоскостью квадрата от шара, если радиус шара равен LaTeX formula: 5

(рис. 9.76).

Решение. 1. Найдем диагональ квадрата, зная его сторону: LaTeX formula: d^2=16+16=32

, $LaTeX formula: d=4\sqrt{2}$ . Поскольку сечение шара плоскостью – круг, а квадрат описан около этого круга, то радиус сечения равен: $LaTeX formula: r=\frac{d}{2}$ , $LaTeX formula: r=2\sqrt{2}$ .

2. Из теоремы Пифагора: $LaTeX formula: l=\sqrt{R^2-r^2}$ , $LaTeX formula: l=\sqrt{25-8}=\sqrt{17}$ .

3. Найдем высоту сферической поверхности:

, $LaTeX formula: h=5-\sqrt{17}$ .

4. По формуле 9.28 найдем площадь сферической поверхности:

$LaTeX formula: S_{n.}=2\pi Rh$ , $LaTeX formula: S_{n.}=10\pi (5-\sqrt{17})$ .

Ответ: $LaTeX formula: 10\pi (5-\sqrt{17})$ .

Пример 8. Равнобедренная трапеция с основаниями LaTeX formula: 12

см и

см и острым углом $LaTeX formula: 60^{\circ}$ вращается вокруг меньшего основания. Вычислите поверхность полученной фигуры вращения.

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию LaTeX formula: ABCD

с основаниями LaTeX formula: BC=12

см и

см (рис. 9.77). Вращая трапецию вокруг основания LaTeX formula: BC

, получим тело, боковая поверхность которого состоит из боковой поверхности цилиндра и боковой поверхности двух равных конусов: $LaTeX formula: S_{n.}=S_{\delta .}+2S_{\delta .\kappa .}$ . В трапеции LaTeX formula: ABCD

из вершин

проведем высоты LaTeX formula: BN

. Тогда $LaTeX formula: BN=CM=R_{v.}=R_{\kappa .}=h_{mp.}$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABN

: $LaTeX formula: \angle BAN=60^{\circ}$ , $LaTeX formula: AN=\frac{1}{2}(AD-NM)=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$ (см),

тогда

(см) и $LaTeX formula: BN=\sqrt{1^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (см).

Согласно формуле $LaTeX formula: S_{\delta .v.}=2\pi R_{v.}l_{v.}$ получим: $LaTeX formula: S_{\delta .v.}=2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 13=13\sqrt{3}\pi$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).

Согласно формуле $LaTeX formula: S_{\delta .\kappa .}=\pi R_{\kappa .}l_{\kappa .}$ получим: $LaTeX formula: S_{\delta .\kappa .}=\pi \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}\pi }{2}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).

Найдем площадь поверхности тела вращения: $LaTeX formula: S_{n.}=13\sqrt{3}\pi +2\cdot \frac{\sqrt{3}\pi }{2}=14\sqrt{3}\pi$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).

Ответ: $LaTeX formula: 14\sqrt{3}\pi$ $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ .

1. В цилиндре умейте определять: радиус основания, высоту, образующую, осевое сечение.

2. В конусе умейте определять: радиус основания, высоту, образующую, осевое сечение.

3. Различайте шар и сферу (поверхность шара). Умейте определять: 1) центр, радиус и диаметр сферы; 2) в шаре: центр, радиус, диаметр, сечение, шаровой сегмент и шаровой сектор.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_1_и_цилиндр m_2_и_конус m_3_и_сфера m_4_шар