Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Телом вращения называют пространственную фигуру, полученную в результате вращения некоторой плоской фигуры вокруг оси. Среди всех тел вращения выделяют цилиндр, конус и шар. 
Цилиндром называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон (оси цилиндра). 
Образующей цилиндра называют отрезок, соединяющий точки окружностей оснований цилиндра, и перпендикулярный диаметрам его оснований. 
Высотой цилиндра называют перпендикуляр, заключенный между основаниями цилиндра.
На рисунке 9.66 прямая  LaTeX formula: OO_1 – ось вращения;  LaTeX formula: OO_1=h – высота, LaTeX formula: l – образующая цилиндра, полученного вращением прямоугольника LaTeX formula: OO_1CD вокруг стороны LaTeX formula: OO_1 . Основание цилиндра – круг радиуса LaTeX formula: OD . Прямоугольник LaTeX formula: ABCD – осевое сечение цилиндра.
Объем цилиндра высоты LaTeX formula: h находят по формуле:
LaTeX formula: V=S_{o.}\cdot h . (9.15)
Площадь основания цилиндра (LaTeX formula: r – радиус основания) находят по формуле:
LaTeX formula: S_{o.}=\pi r ^2 . (9.16)
Площадь поверхности цилиндра находят по формуле:
LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .} . (9.17)
Площадь боковой поверхности цилиндра находят по формуле:
LaTeX formula: S_{\delta .}=2\pi r l , (9.18)
где LaTeX formula: r – радиус основания, LaTeX formula: h – высота, LaTeX formula: l – образующая цилиндра.
Конусом называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (оси конуса). 
Образующей конуса называют отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания конуса. 
Высотой конуса называют перпендикуляр, соединяющий вершину конуса с центром его основания. 
На рисунке 9.67 прямая LaTeX formula: OB  – ось вращения;  LaTeX formula: OB=h – высота конуса, LaTeX formula: l – образующая конуса,  LaTeX formula: \triangle ABC – осевое сечение конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника LaTeX formula: OBC вокруг катета LaTeX formula: OB .
Усеченным конусом называют часть конуса, ограниченную его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. 
На рисунке 9.68 изображен усеченный конус.

Объем конуса высоты LaTeX formula: h находят по формуле:
LaTeX formula: V=\frac{1}{3}S_{o.}\cdot h . (9.19)
Площадь основания конуса (LaTeX formula: r – радиус основания) находят по формуле:
LaTeX formula: S_{o.}=\pi r^2. (9.20)
Площадь поверхности конуса находят по формуле:
LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .} . (9.21)
Площадь боковой поверхности конуса находят по формуле:
LaTeX formula: S_{\delta .}=\pi r l , (9.22)
где LaTeX formula: r – радиус основания, LaTeX formula: l – образующая конуса.
Объем усеченного конуса находят по формуле:
LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\pi h(r^2_1+r^2_2+r_1r_2) , (9.23)
где LaTeX formula: r_1 и LaTeX formula: r_2 – радиусы оснований, LaTeX formula: h – высота.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса находят по формуле:
LaTeX formula: S_{\delta .}=\pi (r_1+r_2)l , (9.24)
где LaTeX formula: r_1 и  LaTeX formula: r_2 – радиусы оснований, LaTeX formula: h  – высота, LaTeX formula: l  – образующая усеченного конуса.
Сферой называют фигуру, полученную в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра (рис. 9.69). 
Шаром называют фигуру, полученную вращением полукруга вокруг его диаметра. 
Сечение сферы плоскостью – окружность. 
Сечение шара плоскостью – круг. 
Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом (на рисунке 9.69 круг с центром в точке LaTeX formula: O и радиусом LaTeX formula: R ). 
Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку (на рисунке 9.69 плоскость LaTeX formula: \alpha). Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости (на рисунке 9.69 точка LaTeX formula: A ). 
Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы в точке касания
Площадь сферы радиуса LaTeX formula: R находят по формуле:
LaTeX formula: S_{c\phi .}=4\pi R^2 . (9.25)
Объем шара радиусаLaTeX formula: R находят по формуле:
LaTeX formula: V_{wapa}=\frac{4}{3}\pi R^3 . (9.26)
Выпуклый многоугольник вписан в сферу, если все его вершины лежат на поверхности сферы, и описан около сферы, если все его стороны касаются поверхности сферы.
Сферическим (шаровым) сегментом называют часть сферы (шара), отсекаемую плоскостью. 
Высотой  LaTeX formula: hшарового сегмента называют длину отрезка диаметра, перпендикулярного основанию шарового сегмента, расположенного между этим основанием и сферой (на рис. 9.70 LaTeX formula: AB=h ). 
Шаровым сектором называют тело, полученное вращением кругового сектора вокруг одного из ограничивающих круговой сектор радиусов. 
Высотой шарового сектора называют высоту части его сферической поверхности. 
На рисунке 9.70 шаровой сектор получен в результате вращения кругового сектора вокруг радиуса LaTeX formula: OA .
Объем шарового сегмента находят по формуле:
LaTeX formula: V_{c.}=\pi h^2(R-\frac{1}{3}h) . (9.27)
Площадь сферической поверхности находят по формуле: 
LaTeX formula: S_{n.}=2\pi Rh , (9.28)
где LaTeX formula: R – радиус шара; LaTeX formula: h – высота сегмента.
Объем шарового сектора находят по формуле: 
LaTeX formula: V_{ce\kappa .}=\frac{2}{3}\pi R^2h , (9.29)
где LaTeX formula: R – радиус шара; LaTeX formula: h – высота сегмента. 
Пример 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной LaTeX formula: a . Найдите объем и площадь поверхности цилиндра.
 
Решение. Так как осевое сечение квадрат (рис. 9.71), то  LaTeX formula: l=h=a ,  LaTeX formula: r=\frac{a}{2} . 
По формулам 9.15 и 9.16 найдем объем цилиндра:  LaTeX formula: V=\pi \cdot \frac{a^2}{4}\cdot a=\frac{\pi a^3}{4}
По формулам 9.16 , 9.17 и 9.18 найдем площадь поверхности цилиндра:  LaTeX formula: S_{n.}=\frac{2\pi a^2}{4}+\frac{2\pi a^2}{2}=\frac{3\pi a^2}{2} .
Ответ:  LaTeX formula: 0,25\pi a^3 ;  LaTeX formula: 1,5\pi a^2 .
Пример 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна LaTeX formula: 119 , а объем его равен  LaTeX formula: 7\pi . Найдите высоту этого цилиндра.
Решение. Площадь боковой поверхности и объем цилиндра найдем по формулам 9.18 и  9.15 , где LaTeX formula: R – радиус основания, LaTeX formula: h – высота цилиндра. 
Тогда согласно условию задачи запишем: LaTeX formula: \begin{cases} 2\pi Rh=119, \\ \pi R^2h=7\pi. \end{cases}  
Разделим первое уравнение системы на второе и получим:  LaTeX formula: \frac{2\pi Rh}{\pi R^2h}=\frac{119}{7\pi },  LaTeX formula: \frac{2}{R}=\frac{17}{\pi } ,  LaTeX formula: R=\frac{2\pi }{17}
Найдем LaTeX formula: h  из первого уравнения системы:  LaTeX formula: h=\frac{119}{2\pi R}=\frac{119\cdot 17}{2\pi \cdot 2\pi }=\frac{2023}{4\pi ^2} .
Ответ:  LaTeX formula: \frac{2023}{4\pi ^2} . 
Пример 3. Найдите объем и площадь поверхности конуса, осевым сечением которого является правильный треугольник со стороной  LaTeX formula: 2\sqrt{3} см (рис. 9.72).
Решение. Так как LaTeX formula: l=2\sqrt{3} см, а LaTeX formula: r=\sqrt{3} см, то из теоремы Пифагора:  LaTeX formula: h=\sqrt{l^2-r^2} , LaTeX formula: h=\sqrt{12-3}=3 (см). 
По формулам 9.19 и 9.20  найдем объем конуса: LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3\cdot 3=3\pi (LaTeX formula: _{CM}\\^3).
По формулам 9.20 , 9.21 и 9.22 найдем площадь поверхности конуса: LaTeX formula: S_{n.}=3\pi +6\pi =9\pi (LaTeX formula: _{CM}\\^2).
Ответ:  LaTeX formula: 3\pi LaTeX formula: _{CM}\\^3 ;  LaTeX formula: 9\pi LaTeX formula: _{CM}\\^2 .
Пример 4. Радиус основания конуса равен  LaTeX formula: \sqrt{15} , а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен  LaTeX formula: 90^{\circ} . Определите объем конуса.
 

Решение. Рассмотрим конус радиуса  LaTeX formula: r=\sqrt{15} и развертку его боковой поверхности – круговой сектор радиуса LaTeX formula: l (рис. 9.73). 
Найдем длину окружности в основании конуса:  LaTeX formula: C_{o\kappa p.}=2\pi r=2\sqrt{15}\pi .
Найдем длину дуги в развертке боковой поверхности конуса:  LaTeX formula: C_{g.}=\frac{2\pi l}{360^{\circ}}\cdot 90^{\circ}=\frac{\pi l}{2} .
Так как  LaTeX formula: C_{o\kappa p.}=C_{g.} , то LaTeX formula: 2\pi r=\frac{\pi l}{2}  и  LaTeX formula: l=4r=4\sqrt{15} .
Из теоремы Пифагора:  LaTeX formula: h^2=l^2-r^2 ,  LaTeX formula: h=\sqrt{16\cdot 15-15}=15 .

По формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса:  LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 15\cdot 15=75\pi .
Ответ:  LaTeX formula: 75\pi .
Пример 5. Осевое сечение конуса – равнобокая трапеция с основаниями LaTeX formula: 4 и LaTeX formula: 16. Образующая конуса равна LaTeX formula: 8 . Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса. 

Решение. Имеем усеченный конус (рис. 9.74), радиусы оснований которого соответственно равны LaTeX formula: 8 и LaTeX formula: 2 . Зная образующую конуса  LaTeX formula: l=8 , найдем его высоту:  LaTeX formula: h=\sqrt{l^2-(r_1-r_2)^2} ,  LaTeX formula: h=\sqrt{64-36}=2\sqrt{7}
По формуле 9.24 найдем площадь боковой поверхности конуса:  LaTeX formula: S_{\delta .}=20\sqrt{7}\pi . 
По формуле 9.23 найдем объем конуса: 
LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\pi 2\sqrt{7}(64+4+16)=56\sqrt{7}\pi .
Ответ:  LaTeX formula: 20\sqrt{7}\pi;  LaTeX formula: 56\sqrt{7}\pi .
Пример 6. Периметр правильного шестиугольника, все вершины которого лежат на поверхности шара, равен LaTeX formula: 12 . Объем шара равен  LaTeX formula: 36\pi. Найдите расстояние от центра шара до плоскости шестиугольника. 
Решение. Найдем сторону правильного шестиугольника, зная его периметр:  LaTeX formula: a=12:6=2 . Так как радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, то на рисунке 9.75  LaTeX formula: r=2 . 
Объем шара находят по формуле 9.26 . 
Так как  LaTeX formula: V=36\pi , то  LaTeX formula: 36\pi =\frac{4}{3}\pi R^3 ,  LaTeX formula: 9=\frac{1}{3}R^3 ,  LaTeX formula: 27=R^3 ,  LaTeX formula: R=3 .
Из теоремы Пифагора:  LaTeX formula: d=\sqrt{R^2-r^2} ,  LaTeX formula: d=\sqrt{9-4}=\sqrt{5} . 
Ответ:  LaTeX formula: \sqrt{5} .
Пример 7. Сторона квадрата, описанного около шара, равна LaTeX formula: 4. Найдите площадь сферической поверхности, отсекаемой плоскостью квадрата от шара, если радиус шара равен LaTeX formula: 5 (рис. 9.76).
Решение. 1. Найдем диагональ квадрата, зная его сторону:  LaTeX formula: d^2=16+16=32 ,  LaTeX formula: d=4\sqrt{2} . Поскольку сечение шара плоскостью – круг, а квадрат описан около этого круга, то радиус сечения равен:  LaTeX formula: r=\frac{d}{2} ,  LaTeX formula: r=2\sqrt{2} . 
2. Из теоремы Пифагора:  LaTeX formula: l=\sqrt{R^2-r^2} ,  LaTeX formula: l=\sqrt{25-8}=\sqrt{17} . 
3. Найдем высоту сферической поверхности: 
LaTeX formula: h=R-l ,  LaTeX formula: h=5-\sqrt{17} .
4. По формуле 9.28 найдем площадь сферической поверхности: 
LaTeX formula: S_{n.}=2\pi Rh ,  LaTeX formula: S_{n.}=10\pi (5-\sqrt{17}) .
Ответ:  LaTeX formula: 10\pi (5-\sqrt{17}) . 
Пример 8. Равнобедренная трапеция с основаниями LaTeX formula: 12 см и LaTeX formula: 13 см и острым углом LaTeX formula: 60^{\circ}  вращается вокруг меньшего основания. Вычислите поверхность полученной фигуры вращения.
Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию LaTeX formula: ABCD с основаниями LaTeX formula: BC=12 см и LaTeX formula: AD=13 см (рис. 9.77). Вращая трапецию вокруг основания LaTeX formula: BC, получим тело, боковая поверхность которого состоит из боковой поверхности цилиндра и боковой поверхности двух равных конусов:  LaTeX formula: S_{n.}=S_{\delta .}+2S_{\delta .\kappa .} . В трапеции LaTeX formula: ABCD из вершин LaTeX formula: B и LaTeX formula: C проведем высоты LaTeX formula: BN и LaTeX formula: CM. Тогда  LaTeX formula: BN=CM=R_{v.}=R_{\kappa .}=h_{mp.} .
Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABN:  LaTeX formula: \angle BAN=60^{\circ} , LaTeX formula: AN=\frac{1}{2}(AD-NM)=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2} (см), 
тогда LaTeX formula: AB=2AN=1 (см) и LaTeX formula: BN=\sqrt{1^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} (см). 
Согласно формуле LaTeX formula: S_{\delta .v.}=2\pi R_{v.}l_{v.}  получим: LaTeX formula: S_{\delta .v.}=2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 13=13\sqrt{3}\pi  (LaTeX formula: _{CM}\\^2 ).
Согласно формуле LaTeX formula: S_{\delta .\kappa .}=\pi R_{\kappa .}l_{\kappa .}  получим: LaTeX formula: S_{\delta .\kappa .}=\pi \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}\pi }{2}  (LaTeX formula: _{CM}\\^2 ). 
Найдем площадь поверхности тела вращения: LaTeX formula: S_{n.}=13\sqrt{3}\pi +2\cdot \frac{\sqrt{3}\pi }{2}=14\sqrt{3}\pi (LaTeX formula: _{CM}\\^2 ).
Ответ:  LaTeX formula: 14\sqrt{3}\pi LaTeX formula: _{CM}\\^2 .

1. В цилиндре умейте определять: радиус основания, высоту, образующую, осевое сечение.
2. В конусе умейте определять: радиус основания, высоту, образующую, осевое сечение.
3. Различайте шар и сферу (поверхность шара). Умейте определять: 1) центр, радиус и диаметр сферы; 2) в шаре: центр, радиус, диаметр, сечение, шаровой сегмент и шаровой сектор. 

formula