Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
. (9.15)
. (9.16)
. (9.17)
, (9.18)
. (9.19)
. (9.20)
. (9.21)
, (9.22)
, (9.23)
, (9.24)
. (9.25)
. (9.26)
. (9.27)
, (9.28)
, (9.29)


.

,
.
,
.
Телом вращения называют пространственную фигуру, полученную в результате вращения некоторой плоской фигуры вокруг оси. Среди всех тел вращения выделяют цилиндр, конус и шар.
Цилиндром называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон (оси цилиндра).
Образующей цилиндра называют отрезок, соединяющий точки окружностей оснований цилиндра, и перпендикулярный диаметрам его оснований.
Высотой цилиндра называют перпендикуляр, заключенный между основаниями цилиндра.
На рисунке 9.66 прямая
– ось вращения;
– высота,
– образующая цилиндра, полученного вращением прямоугольника
вокруг стороны
. Основание цилиндра – круг радиуса
. Прямоугольник
– осевое сечение цилиндра.








Объем цилиндра высоты
находят по формуле:


Площадь основания цилиндра (
– радиус основания) находят по формуле:


Площадь поверхности цилиндра находят по формуле:

Площадь боковой поверхности цилиндра находят по формуле:

где
– радиус основания,
– высота,
– образующая цилиндра.



Конусом называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (оси конуса).
Образующей конуса называют отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания конуса.
Высотой конуса называют перпендикуляр, соединяющий вершину конуса с центром его основания.
На рисунке 9.67 прямая
– ось вращения;
– высота конуса,
– образующая конуса,
– осевое сечение конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника
вокруг катета
.






Усеченным конусом называют часть конуса, ограниченную его основанием и сечением, параллельным плоскости основания.
На рисунке 9.68 изображен усеченный конус.

Объем конуса высоты
находят по формуле:


Площадь основания конуса (
– радиус основания) находят по формуле:


Площадь поверхности конуса находят по формуле:

Площадь боковой поверхности конуса находят по формуле:

где
– радиус основания,
– образующая конуса.


Объем усеченного конуса находят по формуле:

где
и
– радиусы оснований,
– высота.



Площадь боковой поверхности усеченного конуса находят по формуле:

где
и
– радиусы оснований,
– высота,
– образующая усеченного конуса.




Сферой называют фигуру, полученную в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра (рис. 9.69).
Шаром называют фигуру, полученную вращением полукруга вокруг его диаметра.
Сечение сферы плоскостью – окружность.
Сечение шара плоскостью – круг.
Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом (на рисунке 9.69 круг с центром в точке
и радиусом
).



Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку (на рисунке 9.69 плоскость
). Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости (на рисунке 9.69 точка
).


Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы в точке касания.
Площадь сферы радиуса
находят по формуле:


Объем шара радиуса
находят по формуле:


Выпуклый многоугольник вписан в сферу, если все его вершины лежат на поверхности сферы, и описан около сферы, если все его стороны касаются поверхности сферы.
Сферическим (шаровым) сегментом называют часть сферы (шара), отсекаемую плоскостью.
Высотой
шарового сегмента называют длину отрезка диаметра, перпендикулярного основанию шарового сегмента, расположенного между этим основанием и сферой (на рис. 9.70
).


Шаровым сектором называют тело, полученное вращением кругового сектора вокруг одного из ограничивающих круговой сектор радиусов.
Высотой шарового сектора называют высоту части его сферической поверхности.
На рисунке 9.70 шаровой сектор получен в результате вращения кругового сектора вокруг радиуса
.

Объем шарового сегмента находят по формуле:

Площадь сферической поверхности находят по формуле:

где
– радиус шара;
– высота сегмента.


Объем шарового сектора находят по формуле:

где
– радиус шара;
– высота сегмента.


Пример 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной
. Найдите объем и площадь поверхности цилиндра.


Решение. Так как осевое сечение квадрат (рис. 9.71), то
,
.


Ответ:
;
.


Пример 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна
, а объем его равен
. Найдите высоту этого цилиндра.


Решение. Площадь боковой поверхности и объем цилиндра найдем по формулам 9.18 и 9.15 , где
– радиус основания,
– высота цилиндра.


Тогда согласно условию задачи запишем:

Разделим первое уравнение системы на второе и получим:
,
,
.



Найдем
из первого уравнения системы:
.


Ответ:
.

Пример 3. Найдите объем и площадь поверхности конуса, осевым сечением которого является правильный треугольник со стороной
см (рис. 9.72).


Решение. Так как
см, а
см, то из теоремы Пифагора:
,
(см).




Ответ:
;
.




Пример 4. Радиус основания конуса равен
, а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен
. Определите объем конуса.



Решение. Рассмотрим конус радиуса
и развертку его боковой поверхности – круговой сектор радиуса
(рис. 9.73).


Найдем длину окружности в основании конуса:
.

Найдем длину дуги в развертке боковой поверхности конуса:
.

Так как
, то
и
.



Из теоремы Пифагора:
,
.


Ответ:
.

Пример 5. Осевое сечение конуса – равнобокая трапеция с основаниями
и
. Образующая конуса равна
. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса.




Решение. Имеем усеченный конус (рис. 9.74), радиусы оснований которого соответственно равны
и
. Зная образующую конуса
, найдем его высоту:
,
.





По формуле 9.23 найдем объем конуса:

Ответ:
;
.


Пример 6. Периметр правильного шестиугольника, все вершины которого лежат на поверхности шара, равен
. Объем шара равен
. Найдите расстояние от центра шара до плоскости шестиугольника.



Решение. Найдем сторону правильного шестиугольника, зная его периметр:
. Так как радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, то на рисунке 9.75
.


Так как
, то
,
,
,
.





Из теоремы Пифагора:
,
.


Ответ:
.

Пример 7. Сторона квадрата, описанного около шара, равна
. Найдите площадь сферической поверхности, отсекаемой плоскостью квадрата от шара, если радиус шара равен
(рис. 9.76).



Решение. 1. Найдем диагональ квадрата, зная его сторону:
,
. Поскольку сечение шара плоскостью – круг, а квадрат описан около этого круга, то радиус сечения равен:
,
.




2. Из теоремы Пифагора:
,
.


3. Найдем высоту сферической поверхности:


4. По формуле 9.28 найдем площадь сферической поверхности:


Ответ:
.

Пример 8. Равнобедренная трапеция с основаниями
см и
см и острым углом
вращается вокруг меньшего основания. Вычислите поверхность полученной фигуры вращения.




Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию
с основаниями
см и
см (рис. 9.77). Вращая трапецию вокруг основания
, получим тело, боковая поверхность которого состоит из боковой поверхности цилиндра и боковой поверхности двух равных конусов:
. В трапеции
из вершин
и
проведем высоты
и
. Тогда
.











Рассмотрим прямоугольный треугольник
:
,
(см),



тогда
(см) и
(см).


Согласно формуле
получим:
(
).



Согласно формуле
получим:
(
).



Найдем площадь поверхности тела вращения:
(
).


Ответ:
.


1. В цилиндре умейте определять: радиус основания, высоту, образующую, осевое сечение.
2. В конусе умейте определять: радиус основания, высоту, образующую, осевое сечение.
3. Различайте шар и сферу (поверхность шара). Умейте определять: 1) центр, радиус и диаметр сферы; 2) в шаре: центр, радиус, диаметр, сечение, шаровой сегмент и шаровой сектор.