Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Показательными называют неравенства, содержащие переменную в показателе степени
Методы решений неравенств
1. Если неравенство имеет вид LaTeX formula: a^{f(x)}<a^{g(x)}  (LaTeX formula: \leq, LaTeX formula: >LaTeX formula: \geq) (7.15), то: 

а) при условии, что LaTeX formula: a>1 получим

LaTeX formula: f(x)< g(x); (7.15.1)
б) при условии, что LaTeX formula: 0<a<1 получим
LaTeX formula: f(x)> g(x). (7.15.2)
2. Если неравенство имеет вид  LaTeX formula: a^{f(x)}<b, то:
а) при LaTeX formula: a>1 и  LaTeX formula: b>0 получим LaTeX formula: f(x)<log _{a}b;
б) при LaTeX formula: a>1 и LaTeX formula: b\leq 0 получим LaTeX formula: x\in \varnothing;
в) при LaTeX formula: 0<a<1 и LaTeX formula: b>0 получим LaTeX formula: f(x)>log _{a}b;
г) при LaTeX formula: 0<a<1 и LaTeX formula: b\leq 0 получим LaTeX formula: x\in \varnothing
3. Если неравенство имеет вид LaTeX formula: a^{f(x)}>b, то:
а) при LaTeX formula: a>1 и LaTeX formula: b>0 получим LaTeX formula: f(x)>log _{a}b;
б) при LaTeX formula: a>1 и LaTeX formula: b\leq 0 получим LaTeX formula: x\in D(f);
в) при LaTeX formula: 0<a<1 и LaTeX formula: b>0 получим LaTeX formula: f(x)<log _{a}b
г) при LaTeX formula: 0<a<1 и LaTeX formula: b\leq 0 получим LaTeX formula: x\in D(f).
Пример 1. Решите неравенство LaTeX formula: 2^{1-2^{^{x^{-1}}}}<0,125.
Решение. Имеем неравенство вида 7.15, которое при LaTeX formula: a>1 равносильно 7.15.1.
Поскольку LaTeX formula: 2>1, то получим: LaTeX formula: 1-2^{\frac{1}{x}}<-3LaTeX formula: 2^{\frac{1}{x}}>4LaTeX formula: 2^{\frac{1}{x}}>2^2LaTeX formula: \frac{1}{x}>2LaTeX formula: \frac{1-2x}{x}>0.
Согласно рисунку 7.38 запишем решение неравенства: LaTeX formula: (0;0,5).
Ответ :  LaTeX formula: (0;0,5) .
Пример 2. Решите неравенство LaTeX formula: (0,(7)^{1/x^2})^{x^2-2x}\geq 1.
Решение. Имеем неравенство вида 7.15, которое при LaTeX formula: 0<a<1 равносильно 7.15.2.
Поскольку LaTeX formula: 0,(7)<1, то получим LaTeX formula: \frac{x(x-2)}{x^2}\leq 0.
Согласно рисунку 7.39 запишем решение неравенства: LaTeX formula: (0;2].
Ответ :  LaTeX formula: (0;2].
Пример 3. Определите число целых решений неравенства LaTeX formula: (0,5)^{x^{2}-4x-5}\leq 3^{-x^{2}+4x+5}.
Решение. Запишем неравенство в виде LaTeX formula: \left ( \frac{1}{2} \right )^{x^{2}-4x-5}\leq \left ( \frac{1}{3} \right )^{x^{2}-4x-5}. Разделим обе его части на LaTeX formula: \left ( \frac{1}{3} \right )^{x^{2}-4x-5} и  получим LaTeX formula: \left ( \frac{3}{2} \right )^{x^{2}-4x-5}\leq 1 или LaTeX formula: \left ( \frac{3}{2} \right )^{x^{2}-4x-5}\leq \left ( \frac{3}{2} \right )^0
Имеем неравенство вида 7.15, которое при LaTeX formula: a>1 равносильно 7.15.1.
Так как основание степени LaTeX formula: \frac{3}{2}>1, то показательное неравенство равносильно степенному неравенству LaTeX formula: x^2-4x-5\leq 0.
Решим последнее неравенство методом интервалов (рис. 7.40) и получим LaTeX formula: x\in[-1;5].
Отрезку LaTeX formula: [-1;5] принадлежит 7 целых решений неравенства: LaTeX formula: -1LaTeX formula: 0LaTeX formula: 1LaTeX formula: 2LaTeX formula: 3LaTeX formula: 4LaTeX formula: 5.
ОтветLaTeX formula: 7.
Пример 4. Решите неравенство LaTeX formula: 5^2(\sqrt{2})^{2x}-10^x+5^x>25.
Решение. Запишем неравенство в виде LaTeX formula: 25\cdot 2^x-2^x\cdot 5^x+5^x-25>0 и разложим его левую часть на множители. 
Получим: LaTeX formula: 2^x(25-5^x)-(25-5^x)>0LaTeX formula: (25-5^x)\cdot (2^x-1)>0
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=(25-5^x)\cdot (2^x-1).
2. LaTeX formula: D(f):x\in R.
3. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: (25-5^x)\cdot (2^x-1)=0, равносильное совокупности уравнений LaTeX formula: 5^x=25, откуда LaTeX formula: x=2 или LaTeX formula: 2^x=1, откуда LaTeX formula: x=0.
4. Нанесем числа 0 и 2 на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.41).
5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция  положительна. 
Ответ:  LaTeX formula: (0;2).
Пример 5. Решите неравенство LaTeX formula: 0,5^{2\sqrt{x}+1}+1>1,5\cdot 0,5^{\sqrt{x}}.
Решение. Запишем данное неравенство в виде LaTeX formula: 0,5^{2\sqrt{x}}\cdot 0,5+1-1,5 \cdot 0,5^{\sqrt{x}}>0LaTeX formula: 0,5^{2\sqrt{x}}+2-3\cdot 0,5^{\sqrt{x}}>0 и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=0,5^{2\sqrt{x}}+2-3\cdot 0,5^{\sqrt{x}}.
2. LaTeX formula: D(f):x\geq 0.
3. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: 0,5^{2\sqrt{x}}+2-3\cdot 0,5^{\sqrt{x}}=0.
Получим: LaTeX formula: 0,5^{\sqrt{x}}=1, откуда LaTeX formula: x=0 или LaTeX formula: 0,5^{\sqrt{x}}=2, откуда  LaTeX formula: 2^{-\sqrt{x}}=2LaTeX formula: \sqrt{x}=-1 и LaTeX formula: x\in \varnothing.
4. Нанесем число LaTeX formula: 0 на область определения функции и установим ее знак ее значений на полученном промежутке (рис. 7.42).
Ответ LaTeX formula: (0; +\infty).
Покажем решение показательно-степенного неравенства LaTeX formula: (f(x))^{g(x)}<((f(x))^{\varphi (x)}  ( LaTeX formula: >LaTeX formula: \leqLaTeX formula: \geq). (7.16)
Запишем это неравенство в виде LaTeX formula: (f(x)^{g(x)}-(f(x))^{\varphi (x)}<0 и рассмотрим функцию LaTeX formula: F(x)=(f(x)^{g(x)}-(f(x))^{\varphi (x)}. 
Находя нули функции LaTeX formula: F(x), решим уравнения: 
1) LaTeX formula: g(x)=\varphi (x), при условии, что LaTeX formula: f(x)>0 и LaTeX formula: f(x)\neq 1 (случай LaTeX formula: f(x)<0 нами не рассматривается); 
2) LaTeX formula: f(x)= 1;
3) LaTeX formula: f(x)=0.  
Обратим внимание на то, что необходима проверка корней уравнения LaTeX formula: f(x)=0, так как, подставив полученные числа в уравнение LaTeX formula: (f(x))^{g(x)}=((f(x))^{\varphi (x)}, можем получить неопределенность вида LaTeX formula: 0^0 или LaTeX formula: \frac{1}{0}. Такие числа исключают из множества решений данного неравенства. 
Пример. Решите неравенство LaTeX formula: (4x^2+2x+1)^{x^2-x}>In e.
Решение. Имеем неравенство 7.16, которое запишем в виде LaTeX formula: (4x^2+2x+1)^{x^2-x}-1>0 и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=(4x^2+2x+1)^{x^2-x}-1.
2. LaTeX formula: D(f):x\in R.
3. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: (4x^2+2x+1)^{x^2-x}=(4x^2+2x+1)^0:
а) LaTeX formula: x^2-x=0LaTeX formula: x(x-1)=0, откуда LaTeX formula: x_{1}=0LaTeX formula: x_{2}=1;
б) LaTeX formula: 4x^2+2x+1=1LaTeX formula: x(2x+1)=0, откуда LaTeX formula: x_{3}=0LaTeX formula: x_{4}=-0,5;
в) LaTeX formula: 4x^2+2x+1=0, откуда LaTeX formula: x\in \varnothing.
4. Нанесем нули функции на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.43).
5. Решением неравенства являются промежутки, на которых функция  положительна.
Ответ LaTeX formula: (-\infty ;-0,5)\cup (1;+\infty).
formula