Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Показательными называют неравенства, содержащие переменную в показателе степени
Методы решений неравенств
1. Если неравенство имеет вид (, , ) (7.15), то:
а) при условии, что получим
; (7.15.1)
б) при условии, что получим
. (7.15.2)
2. Если неравенство имеет вид , то:
а) при и получим ;
б) при и получим ;
в) при и получим ;
г) при и получим .
3. Если неравенство имеет вид , то:
а) при и получим ;
б) при и получим ;
в) при и получим ;
г) при и получим .
Пример 1. Решите неравенство .
Поскольку , то получим: , , , , .
Согласно рисунку 7.38 запишем решение неравенства: .
Ответ : .
Пример 2. Решите неравенство .
Поскольку , то получим .
Согласно рисунку 7.39 запишем решение неравенства: .
Ответ : .
Пример 3. Определите число целых решений неравенства .
Решение. Запишем неравенство в виде . Разделим обе его части на и получим или .
Так как основание степени , то показательное неравенство равносильно степенному неравенству .
Решим последнее неравенство методом интервалов (рис. 7.40) и получим .
Отрезку принадлежит 7 целых решений неравенства: ; ; ; ; ; ; .
Ответ: .
Пример 4. Решите неравенство .
Решение. Запишем неравенство в виде и разложим его левую часть на множители.
Получим: , .
1. Рассмотрим функцию .
2. .
3. Найдем нули функции, решая уравнение , равносильное совокупности уравнений , откуда или , откуда .
4. Нанесем числа 0 и 2 на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.41).
5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция положительна.
Ответ: .
Пример 5. Решите неравенство .
Решение. Запишем данное неравенство в виде , и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию .
2. .
3. Найдем
нули функции, решая уравнение .
Получим: , откуда или , откуда , и .
4. Нанесем число на область определения функции и установим ее знак ее значений на полученном промежутке (рис. 7.42).
Ответ : .
Покажем решение показательно-степенного неравенства ( ; ; ). (7.16)
Запишем это неравенство в виде и рассмотрим функцию .
Находя нули функции , решим уравнения:
1) , при условии, что и (случай нами не рассматривается);
2) ;
3) .
Обратим внимание на то, что необходима проверка корней уравнения , так как, подставив полученные числа в уравнение , можем получить неопределенность вида или . Такие числа исключают из множества решений данного неравенства.
Пример. Решите неравенство .
1. Рассмотрим функцию .
2. .
3. Найдем нули функции, решая уравнение :
а) , , откуда , ;
б) , , откуда , ;
в) , откуда .
4. Нанесем нули функции на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.43).
5. Решением неравенства являются промежутки, на которых функция положительна.
Ответ : .