Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Иррациональными называют неравенства, содержащие переменную под знаком корня (радикала).
При решении иррациональных неравенств необходимо помнить:
а) если обе части неравенства на его области определения принимают только неотрицательные значения, то, возводя обе части в квадрат, (или в любую другую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на области определения);
б) возводя обе части неравенства в одну и ту же нечетную степень, всегда получим неравенство, равносильное данному неравенству.
Методы решений неравенств
1. Рассмотрим неравенство вида . (7.1)
Так как выражение, стоящее под знаком радикала и правая часть неравенства не могут быть отрицательными, то, данное неравенство равносильно системе неравенств (7.1.1)
2. Рассмотрим неравенство вида . (7.2)
Так как может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения, то возможны два случая:
1) если , то решаем систему неравенств
(7.2.1)
2) если , то решаем систему неравенств (7.2.2)
3. Неравенства с двумя радикалами:
1) неравенство (, , ) (7.3)
при и равносильно неравенству
(, , ); (7.3.1)
2) неравенство (, , ) (7.4)
при , и равносильно неравенству
(, , ); (7.4.1)
3) неравенство (, , ) (7.5)
при, и равносильно неравенству
(, , ); (7.5.1)
4) неравенство ( ) (7.6)
при равносильно системе неравенств и ;
5) неравенство ( ) (7.7)
при решений не имеет.
4. Иррациональные неравенства можно решить методом интервалов, следуя алгоритму:
1) записать неравенство в виде ( , , );
2) найти область определения функции ;
3) найти нули функции, решая уравнение ;
4) нанести нули функции на ее область определения;
5) определить знак значений функции на любом промежутке;
6) определить знаки значений функции на остальных промежутках по правилу: при переходе через каждый корень уравнения знак значений функции изменяется (при этом учитываем кратность корней);
7) записать решение неравенства, учитывая его смысловой знак.
5. Использование монотонности функций.
Если функция строго возрастает на некотором отрезке , а функция строго убывает на этом отрезке и – корень уравнения , то решением неравенства является промежуток , а решением неравенства является промежуток (рис. 7.19).
Аналогично решаются неравенства и , а также неравенства, где функция имеет вид .
Пример 1. Решите неравенство .
Решение. Найдем область определения неравенства:
.
Поскольку левая часть неравенства представлена функцией, которая строго возрастает на области определения и - корень уравнения , то промежуток - решение данного неравенства.
Ответ: .
Пример 2. Решите неравенство .
Решение. Так как выражение, стоящее под знаком радикала не может быть отрицательным, то запишем ОДЗ неравенства:
(рис. 7.20).
Поскольку левая часть неравенства неотрицательна, а правая всегда отрицательна на ОДЗ, то решением неравенства является любое число из промежутков и .
Ответ: .
Пример 3. Найдите целые решения неравенства .
Решение. Способ I. Запишем неравенство в виде .
Запишем систему ограничений: .
Возводя обе части неравенства в квадрат, получим: , , , откуда (рис. 7.21).
Запишем целые решения неравенства: ; ; ; .
Способ II. Запишем неравенство в виде и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию .
2. .
3. Найдем нули функции, решая уравнение при условии, что .
Получим: , , откуда , , причем посторонний корень уравнения, так как он не удовлетворяет условию .
4. Нанесем число 3 на область определения функции и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.22).
5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция отрицательна: .
Ответ: ; ; ; .
Пример 4. Найдите сумму целых решений неравенства , удовлетворяющих условию .
Решение. Способ I. Имеем неравенство 7.2, которое равносильно совокупности систем неравенств 7.2.1 и 7.2.2.
1. Если правая часть неравенства неотрицательна, то запишем систему ограничений: (рис. 7.23).
Возведем обе части неравенства в квадрат и получим:
, , .
Учитывая систему ограничений, запишем: .
2. Если правая часть неравенства отрицательна, то решим систему неравенств:
(рис. 7.24).
Решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в первом и во втором случаях:
.
Рассмотрим дополнительное ограничение и запишем его в виде . Это неравенство равносильно системе неравенств: .
Запишем решение задачи (рис. 7.25): .
Найдем сумму целых решений задачи: .
Способ II. Запишем неравенство в виде и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию .
2. . Поскольку решения неравенства должны удовлетворять условию , то решим неравенство на отрезке и согласно рисунку 7.26 запишем: .
3. Найдем нули функции, решая уравнение , при условии, что . Получим: , откуда .
4. Нанесем число на область определения функции и определим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.27).
5. Решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция положительна: .
Этим промежуткам принадлежит целых решений неравенства, сумма которых равна .
Ответ: .
Пример 5. Найдите среднее арифметическое целых решений неравенства .
Решение. Решим неравенство методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию .
2. , .
3. Найдем нули функции, решая уравнения и . Получим: , , .
4. Нанесем числа –1 и 4 на область определения функции и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.28).
5. Согласно рисунку 7.28 решением неравенства является интервал , на котором функция положительна.
Найдем среднее арифметическое целых решений неравенства: .
Ответ: .
Пример 6. Решите неравенство .
Решение. Преобразуем данное неравенство:
, , .
Решим это неравенство методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию .
2. Найдем область определения функции. Поскольку выражение, стоящее под знаком радикала не должно быть отрицательным, то (рис. 7.29). Исключив из отрезка точку (точку разрыва функции), окончательно получим: .
3. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.30).
4. Решением неравенства является промежуток, на котором функция положительна: .
Ответ: .
Пример 7. Решите неравенство .
Решение. Запишем неравенство в виде и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию .
2. .
3. Найдем нули функции, решая уравнение . По теореме, обратной теореме Виета, получим: , откуда и , откуда .
4. Нанесем число 16 на область определения функции и определим знаки её значений на полученных промежутках (рис. 7.31).
5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция не положительна.
Ответ: .
Всякое иррациональное неравенство можно решить методом интервалов, но наиболее целесообразно применять этот метод в случае решения неравенств вида 7.2 и комбинированных неравенств.