Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Иррациональными называют неравенства, содержащие переменную под знаком корня (радикала).
При решении иррациональных неравенств необходимо помнить: 
а) если обе части неравенства на его области определения принимают только неотрицательные значения, то, возводя обе части в квадрат, (или в любую другую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на области определения); 
б) возводя обе части неравенства в одну и ту же нечетную степень, всегда получим неравенство, равносильное данному неравенству.
Методы решений неравенств 
1. Рассмотрим неравенство вида LaTeX formula: \sqrt{f(x)}\leq g(x). (7.1)
Так как выражение, стоящее под знаком радикала и правая часть неравенства не могут быть отрицательными, то, данное неравенство равносильно системе неравенств LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr}f(x)\geq 0, & \\ g(x)\geq 0, & \\ f(x)\leq g^{2}(x).\end{array}\right (7.1.1)
2. Рассмотрим неравенство вида LaTeX formula: \sqrt{f(x)}\geq g(x). (7.2)
Так как LaTeX formula: g(x) может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения, то возможны два случая: 
1) если LaTeX formula: g(x)\geq 0, то решаем систему неравенств 
LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr}f(x)\geq 0, & \\ g(x)\geq 0, & \\ f(x)\geq g^{2}(x).\end{array}\right (7.2.1)
2) если LaTeX formula: g(x)< 0, то решаем систему неравенств LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0, & & \\ g(x)< 0. & & \\ \end{matrix}\right. (7.2.2)
Решением неравенства 7.2 является объединение решений 7.2.1 и 7.2.2
3. Неравенства с двумя радикалами:
1) неравенство LaTeX formula: \sqrt{f(x)}< \sqrt{g(x)} (LaTeX formula: \leqLaTeX formula: >LaTeX formula: \geq ) (7.3)
при LaTeX formula: f(x)\geq 0 и LaTeX formula: g(x)\geq 0 равносильно неравенству  
LaTeX formula: {f(x)}<{g(x)} (LaTeX formula: \leqLaTeX formula: >LaTeX formula: \geq ); (7.3.1)
2) неравенство LaTeX formula: \sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}< c (LaTeX formula: \leq,  LaTeX formula: >LaTeX formula: \geq ) (7.4)
при LaTeX formula: c> 0LaTeX formula: f(x)\geq 0 и LaTeX formula: g(x)\geq 0 равносильно неравенству
LaTeX formula: (\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)})^{2}< c^{2} (LaTeX formula: \leqLaTeX formula: >LaTeX formula: \geq ); (7.4.1)
3) неравенство LaTeX formula: \sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}< c (LaTeX formula: \leqLaTeX formula: >LaTeX formula: \geq ) (7.5)
приLaTeX formula: c> 0LaTeX formula: f(x)\geq 0 и LaTeX formula: g(x)\geq 0 равносильно неравенству
LaTeX formula: \left ( \sqrt{f(x)} \right )^{2}< \left ( \sqrt{g(x)}+c \right )^{2} (LaTeX formula: \leqLaTeX formula: >LaTeX formula: \geq); (7.5.1)
4) неравенство LaTeX formula: \sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}> c ( LaTeX formula: \geq ) (7.6)
при LaTeX formula: c< 0 равносильно системе неравенств LaTeX formula: f(x)\geq 0 и LaTeX formula: g(x)\geq 0;
5) неравенство LaTeX formula: \sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}< c ( LaTeX formula: \leq ) (7.7)
при LaTeX formula: c< 0 решений не имеет.
4. Иррациональные неравенства можно решить методом интервалов, следуя алгоритму:
1) записать неравенство в виде LaTeX formula: f(x)< 0 ( LaTeX formula: >LaTeX formula: \leq, LaTeX formula: \geq);
2) найти область определения функции LaTeX formula: y=f(x);
3) найти нули функции, решая уравнение LaTeX formula: f(x)=0;
4) нанести нули функции на ее область определения;
5) определить знак значений функции на любом промежутке;
6) определить знаки значений функции на остальных промежутках по правилу: при переходе через каждый корень уравнения LaTeX formula: f(x)=0 знак значений функции изменяется (при этом учитываем кратность корней);
7) записать решение неравенства, учитывая его смысловой знак.
5. Использование монотонности функций. 
Если функция LaTeX formula: f(x) строго возрастает на некотором отрезке LaTeX formula: \left [ a;b \right ], а функция LaTeX formula: g(x) строго убывает на этом отрезке и LaTeX formula: x_{0} – корень уравнения LaTeX formula: f(x)=g(x), то решением неравенства LaTeX formula: f(x)< g(x) является промежуток LaTeX formula: \left [ a;x_{0}), а решением неравенства LaTeX formula: f(x)> g(x) является промежуток LaTeX formula: (x_{0};b] (рис. 7.19).
Аналогично решаются неравенства LaTeX formula: f(x)\leq g(x) и LaTeX formula: f(x)\geq g(x), а также неравенства, где функция LaTeX formula: g(x) имеет вид LaTeX formula: y=b
Пример 1. Решите неравенство LaTeX formula: \sqrt{4x+1}+\sqrt{2x-3}\geq 4
Решение. Найдем область определения неравенства: 
LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 4x+1\geq 0, & & \\ 2x-3\geq 0; & & \end{matrix}\right.  LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x\geq -0,25, & \\ x\geq 1,5; & & \end{array}\right.  LaTeX formula: x\in \left [ 1,5;+\infty ).
Поскольку левая часть неравенства представлена функцией, которая строго возрастает на области определения и LaTeX formula: x_{0}=2 - корень уравнения LaTeX formula: \sqrt{4x+1}+\sqrt{2x-3}=4, то промежуток LaTeX formula: \left [ 2;+\infty ) - решение данного неравенства.
Ответ:  LaTeX formula: \left [ 2;+\infty ).
Пример 2. Решите неравенство LaTeX formula: \sqrt{2x-15+x^{2}}> -1.
Решение. Так как выражение, стоящее под знаком радикала не может быть отрицательным, то запишем ОДЗ неравенства:
 LaTeX formula: x^{2}+2x-15\geq 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-5]\cup [3;+\infty ) (рис. 7.20).
Поскольку левая часть неравенства неотрицательна, а правая всегда отрицательна на ОДЗ, то решением неравенства является любое число из промежутков LaTeX formula: (-\infty ;-5] и LaTeX formula: [3;+\infty ).
Ответ:  LaTeX formula: (-\infty ;-5]\cup [3;+\infty ).
Пример 3. Найдите целые решения неравенства LaTeX formula: 5> \sqrt{x+1}+x.
Решение. Способ I. Запишем неравенство в виде LaTeX formula: \sqrt{x+1}< 5-x.
Имеем неравенство 7.1, которое равносильно 7.1.1.
Запишем систему ограничений:   LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0, & & \\ 5-x\geq 0; & & \end{matrix}\right.  LaTeX formula: \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lr} x\geq -1, & \\ x\leq 5; & & \end{array}\right LaTeX formula: \Leftrightarrow LaTeX formula: x\in \left [ -1;5 \right ].
Возводя обе части неравенства в квадрат, получим: LaTeX formula: (\sqrt{x+1})^{2}< (5-x)^{2}LaTeX formula: x+1<25-10x+x^{2}LaTeX formula: x^{2}-11x+24> 0, откуда LaTeX formula: x\in \left [ -1;3) (рис. 7.21). 
Запишем целые решения неравенства: LaTeX formula: -1LaTeX formula: 0LaTeX formula: 1LaTeX formula: 2.
Способ II. Запишем неравенство в виде LaTeX formula: \sqrt{x+1}-5+x< 0 и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=\sqrt{x+1}-5+x.
2. LaTeX formula: D(f):x\geq -1.
3. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: \sqrt{x+1}=5-x при условии, что LaTeX formula: x\leq 5
Получим: LaTeX formula: x+1=25-10x+x^{2}LaTeX formula: x^{2}-11x+24=0, откуда LaTeX formula: x_{1}=3LaTeX formula: x_{2}=8, причем LaTeX formula: x_{2}=8 посторонний корень уравнения, так как он не удовлетворяет условию LaTeX formula: x\leq 5.
4. Нанесем число 3 на область определения функции и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.22).
5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция LaTeX formula: f(x)=\sqrt{x+1}-5+x отрицательна: LaTeX formula: x\in \left [ -1;3)
Ответ: LaTeX formula: -1LaTeX formula: 0LaTeX formula: 1LaTeX formula: 2.
Пример 4. Найдите сумму целых решений неравенства LaTeX formula: \sqrt{x^{2}-4x}> x-3, удовлетворяющих условию LaTeX formula: \sqrt[4]{(1-x)^{4}}\leq (-\sqrt{2})^{4}.
Решение. Способ I. Имеем неравенство 7.2, которое равносильно совокупности систем неравенств 7.2.1 и 7.2.2.
1. Если правая часть неравенства неотрицательна, то запишем систему ограничений: LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x^{2}-4x\geq0, & \\ x-3\geq 0; & & \end{array}\right LaTeX formula: \Leftrightarrow LaTeX formula: x\in \left [ 4;+\infty ) (рис. 7.23). 
    
Возведем обе части неравенства в квадрат и получим: 
LaTeX formula: x^{2}-4x> x^{2}-6x+9LaTeX formula: 2x> 9LaTeX formula: x> 4,5.
Учитывая систему ограничений, запишем: LaTeX formula: x\in (4,5;+\infty ).
2. Если правая часть неравенства отрицательна, то решим систему неравенств:
LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x^{2}-4x\geq 0, & \\ x-3< 0; & & \end{array}\right LaTeX formula: \Leftrightarrow LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x(x-4)\geq 0, & \\ x<3; & & \end{array}\right LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in (-\infty;0] (рис. 7.24).
Решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в первом и во втором случаях: 
LaTeX formula: x\in (-\infty;0]\cup (4,5;+\infty ).
Рассмотрим дополнительное ограничение LaTeX formula: \sqrt[4]{(1-x)^{4}}\leq (-\sqrt{2})^{4} и запишем его в виде LaTeX formula: \left | x-1 \right |\leq 4. Это неравенство равносильно системе неравенств: LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x-1\leq 4, & \\ x-1\geq -4; & & \end{array}\right LaTeX formula: \Leftrightarrow LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x\leq 5, & \\ x\geq-3; & & \end{array}\right LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in \left [ -3;5 \right ].
Запишем решение задачи (рис. 7.25): LaTeX formula: x\in \left [ -3;0 \right ]\cup (4,5;5]
Найдем сумму целых решений задачи: LaTeX formula: -3 -2 -1 +0 +5 = -1.
Способ II.  Запишем неравенство в виде LaTeX formula: \sqrt{x^{2}-4x}-x+3>0 и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=\sqrt{x^{2}-4x}-x+3.
2. LaTeX formula: D(f):x^{2}-4x\geq 0. Поскольку решения неравенства должны удовлетворять условию LaTeX formula: \left | x-1 \right |\leq 4\Leftrightarrow x\in \left [ -3;5 \right ], то решим неравенство LaTeX formula: x^{2}-4x\geq 0 на отрезке LaTeX formula: \left [ -3;5 \right ] и согласно рисунку 7.26 запишем: .
           
3. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: \sqrt{x^{2}-4x}=x-3, при условии, что LaTeX formula: x-3\geq 0. Получим: LaTeX formula: x^{2}-4x=x^{2}-6x+9, откуда LaTeX formula: x=4,5.
4. Нанесем число LaTeX formula: 4,5 на область определения функции и определим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.27).
5. Решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция положительна: LaTeX formula: x\in \left [ -3;0 \right ]\cup \left ( 4,5;5 \right ].
Этим промежуткам принадлежит LaTeX formula: 5 целых решений неравенства, сумма которых равна LaTeX formula: -1.
Ответ: LaTeX formula: -1.
Пример 5. Найдите среднее арифметическое целых решений неравенства LaTeX formula: \sqrt[11]{-x^{2}+5x+6} \cdot \sqrt[10]{4-x}> 0.
Решение. Решим неравенство методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=\sqrt[11]{-x^{2}+5x+6} \cdot \sqrt[10]{4-x}.
2. LaTeX formula: D(f):4-x\geq 0LaTeX formula: x\leq 4.
3. Найдем нули функции, решая уравнения LaTeX formula: -x^{2}+5x+6=0 и LaTeX formula: 4-x=0. Получим: LaTeX formula: x_{1}=6LaTeX formula: x_{2}=-1LaTeX formula: x_{3}=4.
4. Нанесем числа –1 и 4 на область определения функции и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.28).
5. Согласно рисунку 7.28 решением неравенства является интервал LaTeX formula: (-1;4), на котором функция положительна. 
Найдем среднее арифметическое целых решений неравенства: LaTeX formula: (0 + 1 + 2 + 3) : 4 = 1,5.
Ответ:  LaTeX formula: 1,5.
Пример 6. Решите неравенство LaTeX formula: \frac{\sqrt{17-15x-2x^{2}}-(x+3)}{x+3}> -1.
Решение. Преобразуем данное неравенство:
LaTeX formula: \frac{\sqrt{17-15x-2x^{2}}}{x+3}-\frac{x+3}{x+3}> -1LaTeX formula: \frac{\sqrt{17-15x-2x^{2}}}{x+3}-1> -1LaTeX formula: \frac{\sqrt{17-15x-2x^{2}}}{x+3}>0.
Решим это неравенство методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=\frac{\sqrt{17-15x-2x^{2}}}{x+3}.
2. Найдем область определения функции. Поскольку выражение, стоящее под знаком радикала не должно быть отрицательным, то LaTeX formula: 17-15x-2x^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2x^{2}+15x-17\leq 0\Leftrightarrow x\in \left [ -8,5;1 \right ] (рис. 7.29). Исключив из отрезка LaTeX formula: \left [ -8,5;1 \right ] точку LaTeX formula: -3 (точку разрыва функции), окончательно получим: LaTeX formula: x\in \left [ -8,5;-3)\cup (-3;1].
     
3. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.30).
4. Решением неравенства является промежуток, на котором функция LaTeX formula: f(x)=\frac{\sqrt{17-15x-2x^{2}}}{x+3} положительна: LaTeX formula: x\in (-3;1).
Ответ: LaTeX formula: (-3;1).
Пример 7. Решите неравенство LaTeX formula: x-12\leq \sqrt{x}.
Решение. Запишем неравенство в виде LaTeX formula: x-\sqrt{x}-12\leq 0 и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=x-\sqrt{x}-12.
2. LaTeX formula: D(f):x\geq 0.
3. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: x-\sqrt{x}-12=0. По теореме, обратной теореме Виета, получим: LaTeX formula: \sqrt{x}=4, откуда LaTeX formula: x=16 и LaTeX formula: \sqrt{x}=-3, откуда LaTeX formula: x\in \O.
4. Нанесем число 16 на область определения функции и определим знаки её значений на полученных промежутках (рис. 7.31).
5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция LaTeX formula: f(x)=x-\sqrt{x}-12 не положительна.
Ответ:  LaTeX formula: \left [ 0;16 \right ].
Всякое иррациональное неравенство можно решить методом интервалов, но наиболее целесообразно применять этот метод в случае решения неравенств вида 7.2 и комбинированных неравенств.

formula