Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Напомним, что модулем (абсолютной величиной) числа LaTeX formula: a называют число LaTeX formula: a, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если LaTeX formula: a отрицательное: 
LaTeX formula: \left | a \right |=a , если LaTeX formula: a\geq 0  и LaTeX formula: \left | a \right |=-a , если LaTeX formula: a<0 .
Следовательно, модуль любого числа – величина неотрицательная. 
Методы решений уравнений
1. Если уравнение имеет вид
 LaTeX formula: \left | f(x) \right |=b ,    (5.11)
то:
а) при LaTeX formula: b>0  оно равносильно совокупности уравнений
 LaTeX formula: \begin{bmatrix} f(x)=b,\\ f(x)=-b. \end{matrix}\right.     (5.11.1)
б) при LaTeX formula: b=0 оно равносильно уравнению
LaTeX formula: f(x)=0;        (5.11.2)
в) при LaTeX formula: b<0  это уравнение не имеет решений.
2. Если уравнение имеет вид
LaTeX formula: \left | f(x) \right |=g(x)  (5.12)
и  LaTeX formula: g(x)\geq 0, то оно равносильно совокупности уравнений:
LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x). \end. \]     (5.12.1) 
3. Если уравнение имеет вид
 LaTeX formula: \left | f(x) \right |=f(x) ,   (5.13)
 то оно равносильно неравенству 
LaTeX formula: f(x)\geq 0 .   (5.13.1)
4. Если уравнение имеет вид
  LaTeX formula: \left | f(x) \right |= \left | g(x) \right |,     (5.14)
то оно равносильно уравнению
  LaTeX formula: f^2(x)=g^2(x).     (5.14.1)
5. Если уравнение содержит несколько модулей, например, имеет вид
  LaTeX formula: \left |f_{1}(x) \right |+\left |f_{2}(x) \right |=g(x),    (5.15)
то применим метод интервалов:
1) найдем нули функций, стоящих под знаками модулей, решая уравнения LaTeX formula: f_{1}(x) =0 и LaTeX formula: f_{2}(x)=0 ;
2) нанесем нули функций на область определения уравнения;
3) раскроем модули на каждом из полученных промежутков;
4) решим полученные уравнения;
5) отберем корни на каждом промежутке, оставляя корни, принадлежащие рассматриваемому промежутку.
Отметим, что, записывая промежутки, граничные точки будем включать в промежуток только один раз, например при первом их упоминании. 
Пример 1. Найдите квадрат произведения корней уравнения  LaTeX formula: x^2+\left | x \right |-20=0.
Решение. Учитывая, что LaTeX formula: x^2=\left | x \right |^2 , уравнение запишем в виде  LaTeX formula: \left | x \right |^2+\left | x \right |-20=0.
По теореме, обратной теореме Виета, получим LaTeX formula: \left | x \right |=4 , тогда LaTeX formula: x=\pm 4  или  LaTeX formula: \left | x \right |=-5, тогда LaTeX formula: x\in \varnothing . Найдем квадрат произведения корней уравнения: LaTeX formula: (-4\cdot 4)^2=256 .
Ответ LaTeX formula: 256.
Пример 2. Найдите произведение корней уравнения LaTeX formula: \left |x+\sqrt{5} \right |LaTeX formula: =\sqrt{5} \left |x-\sqrt{5} \right | .
Решение. Имеем уравнение вида 5.14, которое равносильно уравнению 5.14.1. Следовательно,
LaTeX formula: \left (x+\sqrt{5} \right )^2= 5(x-\sqrt{5})^2,
LaTeX formula: x^2+2\sqrt{5}x+5-5x^2+10\sqrt{5}x-25=0,
LaTeX formula: 4x^2-12\sqrt{5}x+20=0,
 LaTeX formula: x^2-3\sqrt{5}+5=0, откуда по теореме, обратной теореме Виета, LaTeX formula: x_{1}\cdot x_{2}=5 .
Ответ: LaTeX formula: 5 .
Пример 3. Решите уравнение LaTeX formula: \left |\left |\left |x-5 \right |-5 \right |-5 \right |=5.
Решение. Имеем уравнение вида 5.11, которое при LaTeX formula: b> 0 равносильно 5.11.1, при LaTeX formula: b= 0  равносильно 5.11.2, а при LaTeX formula: b< 0  решений не имеет. Следовательно, 
 LaTeX formula: \begin{bmatrix} & \| x-5 \right |-5|-5=5, \\ & \ | x-5 \right |-5|-5=-5; \end{cases} LaTeX formula: \Leftrightarrow LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ \left || x-5 \right |-5|=10,\\ & \ \| x-5 \right |-5|=0; \end. \] LaTeX formula: \Leftrightarrow LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ \left | x-5 \right |-5=10,\\ & \ \left | x-5 \right |-5=-10, \\ & \ \left | x-5 \right |-5=0; \end. \] LaTeX formula: \Leftrightarrow LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ \left | x-5 \right |=15,\\ & \ \left | x-5 \right |=-5, \\ & \ \left | x-5 \right |=5; \end. \]  LaTeX formula: \Leftrightarrow LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x-5=15,\\ & \ x-5=-15, \\ & \ x-5=5, \\ & \ x-5=-5; \end. \] LaTeX formula: \Leftrightarrow LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x=20,\\ & \ x=-10,\\ & \ x=10,\\ & \ x=0, \end. \]
Ответ: LaTeX formula: \left \{ -10;0;10;20 \right \} .
Пример 4. Найдите модуль разности квадратов корней уравнения LaTeX formula: \left |x^2-4x-2 \right |=4x+18 .
Решение. Имеем уравнение вида 5.12, которое при LaTeX formula: g(x)\geq 0 равносильно 5.12.1. Следовательно, при LaTeX formula: 4x+18\geq 0 или LaTeX formula: x\geq -3,5 получим: 
LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x^2-4x-2=4x+18,\\ & \ x^2-4x-2=-4x-18; \end. \]  LaTeX formula: \Leftrightarrow LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x^2-8x-20=0,\\& \ x^2=-16; \end. \] LaTeX formula: \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-2,\\ x=10. \end{matrix}\right.
Найдем модуль разности квадратов корней уравнения:
LaTeX formula: \left |x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right |=\left | 4-100 \right |=96 .
Ответ:  LaTeX formula: 96 .
Пример 5. Решите уравнение  LaTeX formula: \left |x-6 \right |- \left |x+4 \right |=10.
Решение. Имеем уравнение вида 5.15, которое мы решим методом интервалов. 
Найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения LaTeX formula: x-6=0 , откуда  LaTeX formula: x=6 и LaTeX formula: x+4=0 , откуда LaTeX formula: x=-4 . 
Нанесем числа LaTeX formula: -4 и LaTeX formula: 6 на координатную прямую (рис.5.5). Рассмотрим полученные промежутки и раскроем модули на каждом из них.
1. На промежутке LaTeX formula: (-\infty ;-4]  данное уравнение   примет вид LaTeX formula: -x+6+x+4=10  или LaTeX formula: 10=10 . Следовательно, любое число, принадлежащее промежутку LaTeX formula: (-\infty ;-4] , является решением уравнения.
2. На промежутке  LaTeX formula: (-4 ;6] получим:   LaTeX formula: -x+6-x-4=10, -2x=8, x=-4 . Поскольку число LaTeX formula: -4  не принадлежит промежутку LaTeX formula: (-4 ;6] , то оно не является решением уравнения на этом промежутке.
3. На промежутке LaTeX formula: (6;+\infty )  получим: LaTeX formula: x-6-x-4=10  или  LaTeX formula: -10=10. Следовательно LaTeX formula: x\in \varnothing .
Ответ: LaTeX formula: (-\infty ;-4].
Пример 6. Решите уравнение  LaTeX formula: \frac{4-\left |2x+1 \right |-\left |3-2x \right |}{\sqrt{x^2-5x-6}}=0.
Решение. Запишем ОДЗ уравнения: 
 LaTeX formula: x^2-5x-6>0 \Leftrightarrow x\in (-\infty ;-1)\cup (6;+\infty )  (рис. 5.6).
Решим уравнение методом интервалов. Найдем нули функций под знаками модулей, решая уравнения  LaTeX formula: 2x+1=0, откуда  LaTeX formula: x=-0,5 и LaTeX formula: 3-2x=0 , откуда LaTeX formula: x=1,5 . Поскольку числа LaTeX formula: -LaTeX formula: –0,5 и LaTeX formula: 1,5 не принадлежат области допустимых значений уравнения (рис. 5.7), то решим уравнение на двух промежутках:  LaTeX formula: (-\infty ;-1) и  LaTeX formula: (6;+\infty ).
1. Если LaTeX formula: x\in (-\infty ;-1) , то уравнение примет вид  LaTeX formula: -2x-1+2x-3-4=0 или LaTeX formula: -8=0 , следовательно LaTeX formula: x\in \O.
2. Если  LaTeX formula: x\in (6;+\infty ), то уравнение примет вид  LaTeX formula: 2x+1-2x+3-4=0  или  LaTeX formula: 0=0, следовательно  LaTeX formula: x\in (6;+\infty ) .
Ответ: LaTeX formula: (6;+\infty ) .
Раскрывая модули на промежутках необходимо помнить:
1) если под знаком модуля записана положительная величина, то модуль опускаем, а выражение под знаком модуля переписываем без изменения, например, LaTeX formula: \left |\sqrt{3}-\sqrt{2} \right |=\sqrt{3}-\sqrt{2}  ;
2) если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем, а выражение, записанное под знаком модуля, заменяем противоположным, например, LaTeX formula: \left |\sqrt{2}-\sqrt{3} \right |=\sqrt{3}-\sqrt{2} .

formula