Умножение натуральных чисел
Умножить число m на натуральное число n — значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.
Результат умножения называют произведением, а сами числа называют множителями.
Записывают: m ∙ n = p,
где m и n – множители,
p – произведение.
Например, 4 ∙ 3 = 4 + 4 + 4 = 12.
Чтобы найти неизвестный
множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.
Например, если m ∙ 7 = 42, то m
= 42 : 7 = 6.
Законы умножения
1. Переместительный: от перестановки
множителей значение произведения не изменится:
a ∙ b
= b
∙ a.
Например, 9 ∙ 5 = 5 ∙ 9 = 45.
2. Сочетательный: чтобы произведение
двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на
произведение второго и третьего:
(a ∙ b)
∙ c = a ∙ (b
∙ c).
Например, (25 ∙ 9) ∙ 4 = 9 ∙ (25 ∙
4) = 9 ∙ 100 = 900.
3. Распределительный относительно сложения: чтобы умножить
сумму на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные
произведения сложить:
(a + b) ∙ c
= a ∙ c + b ∙ c.
Например, 93 ∙ 5 = (90 + 3) ∙ 5 = 90
∙ 5 + 3 ∙ 5 = 450 + 15 = 465.
4. Распределительный относительно вычитания: чтобы умножить
разность на число, можно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из
первого произведения вычесть второе:
(a – b) ∙ c = a ∙ c
– b
∙ c.
Например, 89 ∙ 4 = (90 – 1) ∙ 4 = 90
∙ 4 – 1 ∙ 4 = 360 – 4 = 356.
Степень числа
,где
число а – основание степени, а
число n – показатель
степени.
Например:
a ∙
a
∙
a ∙
a ∙ a = a5, где a – основание, 5 – показатель степени.
Возвести число в степень – значит найти значение степени.
Например:
возведем число 2 в четвертую степень:
24
= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2=16,
где
2 – основание, 4 – показатель, 16 – значение степени.
Квадратом числа называют вторую степень этого числа: a2
= a ∙ a.
Например:
102 = 10 ∙ 10 = 100; 62 = 6 ∙ 6 = 36.
Кубом числа называют третью степень этого числа: a3
= a ∙ a ∙ a.
Например:
23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8; 63 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216.
При возведении любого числа в первую степень будем получать это же число: a1
= a.
Пример 1. Решите уравнение 5 ∙ (x – 190) = 200.
Решение.
1. Найдем
неизвестный множитель:
x
– 190 = 200 : 5, откуда x – 190 = 40.
2. Найдем
неизвестное уменьшаемое:
x
= 40 + 190, откуда x
= 230.
Ответ: 230.
Пример 2. Из города в поселок
выехали одновременно грузовой и легковой автомобили. Скорость грузового
автомобиля равна 54 км/ч, а легкового – 83 км/ч. Найдите расстояние между
автомобилями через 3 часа после начала движения.
Решение.
1. Найдем
скорость удаления автомобилей:
83 – 54 =
29 (км\ч).
2. Найдем
расстояние между автомобилями через 3 часа после начала движения:
29 ∙ 3 = 87 (км).
Ответ: расстояние между автомобилями 87
километров.
Пример 3. Найдите значение выражения
(193 ∙
56 – 182 ∙ 56) +
11 ∙ 44.
Решение.
1.
Применим распределительный закон умножения относительно вычитания:
193 ∙ 56 – 182 ∙ 56 = 56 ∙ (193 – 182) = 56 ∙ 11.
2. Применим распределительный закон умножения относительно
сложения:
56 ∙ 11 + 11∙ 44 = 11
∙ (56 + 44) = 11 ∙100 = 1 100.
Ответ: 1 100.
1. При умножении числа на нуль всегда будем получать
нуль.
2. Если произведение равно нулю, то хотя бы один из
множителей равен нулю.
3. В буквенной записи произведения чисел знак умножения
между буквами-множителями и буквой-множителем и числом можно опускать.
Например: a
∙ b = ab; 5 ∙ a = 5a.
4. Если в числовое выражение входят степени
чисел, то их значения вычисляют до выполнения
остальных действий.
Например: 15 + 32
– 7 = 15 + 9 – 7 = 17.