Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Уравнения с одной переменной
Равенство, содержащее переменную, называют уравнением и записывают 
Областью определения (или областью допустимых значений) уравнения 
называют общую часть областей определения функций 
и 
называют общую часть областей определения функций и Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получаем верное равенство, называют корнем (решением) уравнения.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Число 
называют корнем кратности 
многочлена 
если справедливо равенство 
где 
– многочлен степени 
и – натуральные числа 
и 
называют корнем кратности многочлена если справедливо равенство где – многочлен степени и – натуральные числа и Равносильные и неравносильные уравнения
Уравнения 
и 
называют равносильными, если множества их решений совпадают (они имеют равные корни либо не имеют корней). Записывают: 
и называют равносильными, если множества их решений совпадают (они имеют равные корни либо не имеют корней). Записывают: Например: 1) уравнения 
и 
равносильны, так решением каждого из этих уравнений является только число 
2) уравнения 
и 
равносильны, так как каждое из этих уравнений не имеет решений.
и равносильны, так решением каждого из этих уравнений является только число 2) уравнения и равносильны, так как каждое из этих уравнений не имеет решений.Уравнение является следствием уравнения 
если его решение содержит все корни уравнения Записывают: 
является следствием уравнения если его решение содержит все корни уравнения Записывают: Например, уравнение 
является следствием уравнения 
так как корнем уравнения 
является число 
а корнями уравнения – числа 
и 
является следствием уравнения так как корнем уравнения является число а корнями уравнения – числа и Если выполняются условия 
и 
то
и то Равносильные уравнения получают в результате следующих преобразований:
1. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
3. При замене уравнения 
системой уравнений 
системой уравнений Существует ряд преобразований уравнений, которые могут привести к уравнению, неравносильному данному:
1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень (в результате могут появиться посторонние корни).
Например,уравнения 
и 
не равносильны, так как уравнение корней не имеет, а уравнение имеет корень 
и не равносильны, так как уравнение корней не имеет, а уравнение имеет корень 2. Умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (могут появиться посторонние корни).
Например, уравнения 
и 
не равносильны, так как корнем уравнения является только число 
а корнями уравнения являются числа 
и 
и не равносильны, так как корнем уравнения является только число а корнями уравнения являются числа и 3. Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (может произойти потеря корней).
Например, 1) уравнения 
и 
не равносильны, так как корнями уравнения являются числа и 
а корнем уравнения является только число 
и не равносильны, так как корнями уравнения являются числа и а корнем уравнения является только число Пример 1. Найдите область определения уравнения ![LaTeX formula: \frac{x-5}{21x}=\sqrt[3]{6+x}.](/uploads/formulas/7bba61303c94aa13d9a3b3e43e6c78c6c5ef8a5d.1.1.png "\frac{x-5}{21x}=\sqrt[3]{6+x}.")
Решение. Так как функция 
определена на множестве всех действительных чисел, за исключением числа нуль, а функция ![LaTeX formula: g(x)=\sqrt[3]{6+x}.](/uploads/formulas/63e15ff02c3736b98a64dbece0d278c396c410a8.1.1.png "g(x)=\sqrt[3]{6+x}.")
определена на множестве всех действительных чисел, то область определения данного уравнения имеет вид: 
определена на множестве всех действительных чисел, за исключением числа нуль, а функция определена на множестве всех действительных чисел, то область определения данного уравнения имеет вид: Уравнения с двумя переменными
Решением уравнения 
с двумя переменными 
и 
является упорядоченная пара 
чисел, при подстановке которых в уравнение, получим верное числовое равенство.
с двумя переменными и является упорядоченная пара чисел, при подстановке которых в уравнение, получим верное числовое равенство.Например: решение уравнения 
образует множество пар чисел таких как 
и т. д.
образует множество пар чисел таких как и т. д.Систему двух уравнений и 
с двумя переменными и записывают в виде 
и с двумя переменными и записывают в виде Решение системы уравнений образуют только те пары чисел, которые являются решениями каждого уравнения системы.