Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Уравнения с одной переменной
Равенство, содержащее переменную, называют уравнением и записывают  LaTeX formula: f(x)=0.
Областью определения (или областью допустимых значений) уравнения LaTeX formula: f(x)=g(x) называют общую часть областей определения функций LaTeX formula: f(x) и LaTeX formula: g(x).
Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получаем верное равенство, называют корнем (решением) уравнения. 
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Число LaTeX formula: c называют корнем кратности LaTeX formula: k многочлена  LaTeX formula: f(x)=a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0} , если справедливо равенство LaTeX formula: f(x)=(x-c)^kg(x), где  LaTeX formula: g(x)=b_{n-k}x^{n-k}+...+b_{1}x+b_{0} – многочлен степени LaTeX formula: n-k, nи LaTeX formula: k – натуральные числа LaTeX formula: (n\geq k) и  LaTeX formula: g(c)\neq 0.
Равносильные и неравносильные уравнения
Уравнения LaTeX formula: f(x)=0  и LaTeX formula: g(x)=0  называют равносильными, если множества их решений совпадают (они имеют равные корни либо не имеют корней). Записывают:  LaTeX formula: f(x)=0\Leftrightarrow g(x)=0.
Например: 1) уравнения LaTeX formula: \sqrt{x-1}=0  и LaTeX formula: 2-5x=-3  равносильны, так решением каждого из этих уравнений является только число LaTeX formula: 1; 2) уравнения LaTeX formula: \sqrt{x-1}=-2  и  LaTeX formula: x^2=-3 равносильны, так как каждое из этих уравнений не имеет решений.
Уравнение LaTeX formula: g(x)=0  является следствием уравнения LaTeX formula: f(x)=0, если его решение содержит все корни уравнения LaTeX formula: f(x)=0.Записывают:  LaTeX formula: f(x)=0\Rightarrow g(x)=0.
Например, уравнение LaTeX formula: (5+x)(x+1)=0  является следствием уравнения  LaTeX formula: 5+x=0, так как корнем уравнения  LaTeX formula: 5+x=0 является число LaTeX formula: -5, а корнями уравнения  LaTeX formula: (5+x)(x+1)=0 – числа LaTeX formula: -5 и LaTeX formula: -1. 
Если выполняются условия LaTeX formula: f(x)=0\Rightarrow g(x)=0  и LaTeX formula: g(x)=0\Rightarrow f(x)=0,то LaTeX formula: f(x)=0\Leftrightarrow g(x)=0.
Равносильные уравнения получают в результате следующих преобразований:
1. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. 
2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число. 
3. При замене уравнения LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}=0  системой уравнений LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} f(x)=0, & \\ g(x) \neq 0.& \end{matrix}\right.
Существует ряд преобразований уравнений, которые могут привести к уравнению, неравносильному данному:
1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень (в результате могут появиться посторонние корни). 
Например,уравнения LaTeX formula: 2^x=-2  и LaTeX formula: (2^x)^2=(-2)^2  не равносильны, так как уравнение LaTeX formula: 2^x=-2  корней не имеет, а уравнение LaTeX formula: (2^x)^2=(-2)^2  имеет корень LaTeX formula: x=1.
2. Умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (могут появиться посторонние корни).
Например, уравнения  LaTeX formula: 5x=5 и  LaTeX formula: 5x^2=5x не равносильны, так как корнем уравнения  LaTeX formula: 5x=5 является только число LaTeX formula: 1, а корнями уравнения LaTeX formula: 5x^2=5x  являются числа LaTeX formula: 0 и LaTeX formula: 1.
3. Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (может произойти потеря корней). 
Например, 1) уравнения LaTeX formula: (9-x)x=2x  и LaTeX formula: 9-x=2  не равносильны, так как корнями уравнения LaTeX formula: (9-x)x=2x  являются числа LaTeX formula: 0 и LaTeX formula: 7,а корнем уравнения  LaTeX formula: 9-x=2 является только число LaTeX formula: 7.
Пример 1.  Найдите область определения уравнения LaTeX formula: \frac{x-5}{21x}=\sqrt[3]{6+x}.
Решение. Так как функция LaTeX formula: f(x)= \frac{x-5}{21x}  определена на множестве всех действительных чисел, за исключением числа нуль, а функция LaTeX formula: g(x)=\sqrt[3]{6+x}. определена на множестве всех действительных чисел, то область определения данного уравнения имеет вид: LaTeX formula: (-\infty ;0)\cup (0;+\infty ).
Уравнения с двумя переменными 
Решением уравнения  LaTeX formula: f(x;y)=0 с двумя переменными LaTeX formula: x и LaTeX formula: y является упорядоченная пара LaTeX formula: (x;y) чисел, при подстановке которых в уравнение, получим верное числовое равенство.
Например: решение уравнения  LaTeX formula: 2x+3y=5 образует множество пар чисел таких как LaTeX formula: (-2;3),(2,5;0),(1;1)   и т. д.
Систему двух уравнений  LaTeX formula: f(x;y)=0  и  LaTeX formula: g(x;y)=0 с двумя переменными LaTeX formula: x и LaTeX formula: y записывают в виде  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} f(x;y)=0, & \\ g(x;y)=0 . & \end{matrix}\right.
Решение системы уравнений образуют только те пары чисел, которые являются решениями каждого уравнения системы. 
formula