Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Уравнения с одной переменной
Равенство, содержащее переменную, называют уравнением и записывают 

Областью определения (или областью допустимых значений) уравнения
называют общую часть областей определения функций
и 



Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получаем верное равенство, называют корнем (решением) уравнения.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Число
называют корнем кратности
многочлена
если справедливо равенство
где
– многочлен степени
и
– натуральные числа
и 









Равносильные и неравносильные уравнения
Уравнения
и
называют равносильными, если множества их решений совпадают (они имеют равные корни либо не имеют корней). Записывают: 



Например: 1) уравнения
и
равносильны, так решением каждого из этих уравнений является только число
2) уравнения
и
равносильны, так как каждое из этих уравнений не имеет решений.





Уравнение
является следствием уравнения
если его решение содержит все корни уравнения
Записывают: 




Например, уравнение
является следствием уравнения
так как корнем уравнения
является число
а корнями уравнения
– числа
и







Если выполняются условия
и
то 



Равносильные уравнения получают в результате следующих преобразований:
1. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
3. При замене уравнения
системой уравнений 


Существует ряд преобразований уравнений, которые могут привести к уравнению, неравносильному данному:
1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень (в результате могут появиться посторонние корни).
Например,уравнения
и
не равносильны, так как уравнение
корней не имеет, а уравнение
имеет корень 





2. Умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (могут появиться посторонние корни).
Например, уравнения
и
не равносильны, так как корнем уравнения
является только число
а корнями уравнения
являются числа
и 







3. Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (может произойти потеря корней).
Например, 1) уравнения
и
не равносильны, так как корнями уравнения
являются числа
и
а корнем уравнения
является только число 







Пример 1. Найдите область определения уравнения ![\frac{x-5}{21x}=\sqrt[3]{6+x}. LaTeX formula: \frac{x-5}{21x}=\sqrt[3]{6+x}.](/uploads/formulas/7bba61303c94aa13d9a3b3e43e6c78c6c5ef8a5d.1.1.png)
![\frac{x-5}{21x}=\sqrt[3]{6+x}. LaTeX formula: \frac{x-5}{21x}=\sqrt[3]{6+x}.](/uploads/formulas/7bba61303c94aa13d9a3b3e43e6c78c6c5ef8a5d.1.1.png)
Решение. Так как функция
определена на множестве всех действительных чисел, за исключением числа нуль, а функция
определена на множестве всех действительных чисел, то область определения данного уравнения имеет вид: 

![g(x)=\sqrt[3]{6+x}. LaTeX formula: g(x)=\sqrt[3]{6+x}.](/uploads/formulas/63e15ff02c3736b98a64dbece0d278c396c410a8.1.1.png)

Уравнения с двумя переменными
Решением уравнения
с двумя переменными
и
является упорядоченная пара
чисел, при подстановке которых в уравнение, получим верное числовое равенство.




Например: решение уравнения
образует множество пар чисел таких как
и т. д.


Систему двух уравнений
и
с двумя переменными
и
записывают в виде 





Решение системы уравнений образуют только те пары чисел, которые являются решениями каждого уравнения системы.