Понятие случайного события и вероятности /qualihelpy

Понятие случайного события и вероятности

Справочник / Студент / Теория вероятностей /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Опытом (испытанием, экспериментом) называют осуществление комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление.

Событие – возможный результат опыта.
Если событие не разбивается на более простые составляющие, то его называют элементарным.
Для обозначения событий используют любую заглавную букву или набор букв, например: LaTeX formula: A

и т.п.
Н а п р и м е р, в результате игры в шахматы могут произойти следующие события: «выигрыш», «проигрыш», «ничья».

События равновозможные, если нет оснований полагать, что у одного события есть больше шансов появиться, чем у другого.
Н а п р и м е р, при подбрасывании монеты события $LaTeX formula: A_{o.}$ (появление на верхней стороне монеты орла) и $LaTeX formula: A_{p.}$ (появление решка) будут равновозможными, если монета не деформирована.

Классификация событий

1. Достоверные события, которые обязательно произойдут в данном опыте.
Н а п р и м е р, из урны, в которой находятся красные и синие шары, наудачу извлекается один шар. Событие «появление не белого шара» – достоверное.

2. Случайные события, которые могут произойти, а могут и не произойти в данном опыте.
Н а п р и м е р, из урны, в которой находятся красные и синие шары, наудачу извлекается один шар. Событие «появление синего шара» – случайное, событие «появление не красного шара» – случайное.

3. Невозможные события, которые никогда не произойдут в данном опыте.
Н а п р и м е р, из урны, в которой находятся красные и синие шары, наудачу извлекается один шар. Событие «появление черного шара» – невозможное.

Достоверные события, как правило, обозначают буквой LaTeX formula: E

, а невозможные буквой LaTeX formula: O

Два события называют совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления и другого.
Н а п р и м е р, если подбросить две монеты, то события LaTeX formula: A

«появилась решка» и событие LaTeX formula: B

«появился орел» будут совместными. Если подбросить одну монету, то события LaTeX formula: A

будут несовместными.

Два события называют противоположными в данном опыте, если появление одного из них равносильно не появлению другого. Обозначают: LaTeX formula: A

и $LaTeX formula: \overline{A}$ .
Н а п р и м е р, «выигрыш» и «проигрыш» лотерейного билета.

Множество событий называют полной группой событий, если они попарно несовместны и появление одного и только одного из них является достоверным событием.
Н а п р и м е р, если бросить игральный кубик, то может быть шесть исходов (событий) и они образуют полную группу событий:
LaTeX formula: A_1

(на верхней грани выпала цифра 1), LaTeX formula: A_2

(цифра 2), LaTeX formula: A_3

Вероятностью события называют числовую характеристику, определяющую степень возможности интересующего результата в условиях проводимого опыта.
Вероятность события LaTeX formula: A

обозначают LaTeX formula: P(A)

Определения вероятности события

1. Классическое:
$LaTeX formula: P(A)=\frac{m}{n}$ , (10.1)
где LaTeX formula: n

– количество всевозможных исходов опыта, которые образуют полную группу событий, LaTeX formula: m

– количество исходов, благоприятствующих появлению события LaTeX formula: A

.
Н а п р и м е р, если подбросить монету, то вероятности событий LaTeX formula: A

«появилась решка» и LaTeX formula: B

«появился орел», будут равны: $LaTeX formula: P(A)=\frac{1}{2}$ , $LaTeX formula: P(B)=\frac{1}{2}$ .

2. Статистическое (относительная частота события):
$LaTeX formula: W(A)=\frac{m}{n}$ , (10.2)
где LaTeX formula: n

– количество проведенных опытов, LaTeX formula: m

– количество опытов, в которых появилось событие LaTeX formula: A

Свойства вероятностей

1. Вероятность достоверного события равна LaTeX formula: 1

, так как

2. Вероятность невозможного события рана LaTeX formula: 0

, так как

3. Вероятность случайного события LaTeX formula: 0<p<1

, так как

Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет неравенствам:
$LaTeX formula: 0\leq p\leq 1$ . (10.3)

Пример 1. Из урны, в которой находится LaTeX formula: 5

красных,

синих и

оранжевых шара, наудачу извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлечен:
1) красный шар; 2) не оранжевый шар; 3) не зеленый шар; 4) белый шар?
Решение. Вероятность события находят по формуле 10.1 .
Количество всевозможных исходов: LaTeX formula: n=5+8+2=15

.
1. Вероятность того, что будет извлечен красный шар (благоприятных исходов LaTeX formula: 5

), равна:
$LaTeX formula: P(A_{\kappa })=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ .
2. Вероятность того, что будет извлечен не оранжевый шар (красный или синий), равна:
$LaTeX formula: P(\overline{A}_{o})=\frac{15-2}{15}=\frac{13}{15}$ .
3. Вероятность того, что будет извлечен не зеленый шар (все шары не зеленые), равна:
$LaTeX formula: P(\overline{A}_{3})=\frac{15}{15}=1$ .
4. Вероятность того, что будет извлечен белый шар (таких шаров нет), равна:
$LaTeX formula: P(A_{\delta })=\frac{0}{15}=0$ .

Пример 2. Монету подбросили LaTeX formula: 1000

раз. Оказалось, что цифра появилась LaTeX formula: 502

раза. Найдите относительную частоту этого события.
Решение. Относительную частоту события находят по формуле 10.2 .
Поскольку количество проведенных опытов LaTeX formula: n=1000

, а количество опытов, в которых появилась цифра (событие LaTeX formula: A

)

, то относительная частота этого события равна:
$LaTeX formula: W(A)=\frac{502}{1000}=0,502$ .

Ответ:

1. Закономерности появления массовых случайных событий изучает наука теория вероятностей.

2. При достаточно большом количестве опытов относительная частота события приближается к теоретической вероятности этого события.

3. Если события LaTeX formula: A_1

, …,

образуют полную группу событий, то LaTeX formula: P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)=1

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна LaTeX formula: 1

.
Так, если LaTeX formula: P(A)=p

, а $LaTeX formula: P(\overline{A})=q$ , то LaTeX formula: p+q=1

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_1_события_и_вероятность

Понятие случайного события и вероятности