Степенные ряды /qualihelpy

Степенные ряды

Справочник / Студент / Ряды /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Степенным рядом называют ряд вида
$LaTeX formula: \sum_{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+...$ , (9.7)

где $LaTeX formula: c_{n}\neq 0$ – действительные числа, которые называют коэффициентами ряда. Степенной ряд представляет собою частный случай функционального ряда.

При LaTeX formula: a=0 степенной ряд принимает вид

$LaTeX formula: \sum_{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+...$ (9.8)

Теорема Абеля : если степенной ряд 9.8 сходится в точке $LaTeX formula: x_{0}$ , то он сходится абсолютно в любой точке , такой, что $LaTeX formula: \left | x \right |< \left | x_{0} \right |$ .

Следствие: если степенной ряд 9.8 расходится в точке $LaTeX formula: x_{0}$ , то он расходится в любой точке , такой, что $LaTeX formula: \left | x \right |> \left | x_{0} \right |$ .

Для степенного ряда 9.8 радиусом сходимости называют такое число LaTeX formula: R , что при $LaTeX formula: \left | x \right |< R$ ряд сходится, а при $LaTeX formula: \left | x \right |> R$ расходится. Интервал LaTeX formula: (-R;R) называют интервалом сходимости ряда.
Для степенного ряда 9.7 число LaTeX formula: R называют радиусом сходимости , если при $LaTeX formula: \left | x -a\right |< R$ ряд сходится, а при $LaTeX formula: \left | x -a\right |> R$ расходится. Интервал LaTeX formula: (a-R;a+R) называют интервалом сходимости этого ряда.

Радиус сходимости находят по одной из формул:
$LaTeX formula: R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$ ; (9.9)

$LaTeX formula: R=\left (\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{c_{n}}\right )^{-1}$ . (9.10)

Интервал сходимости находят, используя признак Даламбера или Коши:
$LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\left | \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right |< 1$ ; (9.11)

$LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\left |\sqrt[n]{u_{n}}\right |< 1$ . (9.12)

Ряд Тейлора и ряд Маклорена

Если функция LaTeX formula: f(x) разлагается в степенной ряд

$LaTeX formula: f(x)=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+...+c_{n}(x-a)^{n}+...$ ( $LaTeX formula: n\in N$ )

в некоторой окрестности точки LaTeX formula: a , то ее можно представить в виде:

$LaTeX formula: f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ $LaTeX formula: (x-a)^{n}+...$ (9.13)

Ряд, записанный в правой части формулы 9.13, называют рядом Тейлора для функци LaTeX formula: y=f(x) и в окрестности точки LaTeX formula: x=a .

Если функция LaTeX formula: y=f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности точки LaTeX formula: a , то есть в интервале LaTeX formula: (a-h;a+h) , и ее производные равномерно ограничены в этом интервале, то ее всегда можно разложить в ряд Тейлора.

При LaTeX formula: a=0 получим ряд Маклорена для функции LaTeX formula: f(x) :

$LaTeX formula: f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}+...$ . (9.14)

Разложения некоторых функций в ряд Маклорена 9.14:

$LaTeX formula: e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...$ ;
$LaTeX formula: \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...+\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+...$ ;
$LaTeX formula: \cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{5}}{5!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+...$ ;
$LaTeX formula: \ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}-\frac{x^{4}}{4!}+...+\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+...$ .

Пример 1. Найдите радиус и интервал сходимости ряда $LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(x+1)^{n}5^{n}}{\sqrt{n+2}}$ .
Решение. Найдем радиус сходимости ряда. Запишем $LaTeX formula: c_{n}=\frac{5^{n}}{\sqrt{n+2}}$ , $LaTeX formula: c_{n+1}=\frac{5^{n+1}}{\sqrt{n+3}}$ и применим формулу 9.9:
$LaTeX formula: R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{5^{n}\sqrt{n+3}}{5^{n+1}\sqrt{n+2}} \right |=\frac{1}{5}\lim_{n \to \infty }\sqrt{\frac{n+3}{n+2}}=$ $LaTeX formula: \frac{1}{5}\cdot 1=0,2$ .
Поскольку имеем ряд 9.7 и знаем, что LaTeX formula: a=-1

, а

, то интервал сходимости этого ряда можем найти так: LaTeX formula: (a-R;a+R)

Ответ : LaTeX formula: R=0,2 ; LaTeX formula: (-1,2;-0,8) .

Пример 2. Найдите область сходимости ряда $LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n-1}}{n^{3}}$ .

Решение . Запишем $LaTeX formula: u_{n}=\frac{x^{2n-1}}{n^{3}}$ , $LaTeX formula: u_{n+1}=\frac{(x+2)^{2n+1}}{(n+1)^{3}}$ и применим признак Даламбера 9.11:
$LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\left | \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right |=$ $LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\left | \frac{x^{2n+1}n^{3}}{(n+1)^{3}x^{2n-1}} \right |=$ $LaTeX formula: x^{2}\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n}{n+1} \right )^{3}=x^{2}$ .
Согласно формуле 9.11 $LaTeX formula: x^{2}< 1$ , откуда $LaTeX formula: \left |x \right |< 1$ , $LaTeX formula: x\in (-1;1)$ – интервал сходимости ряда.
На концах промежутка $LaTeX formula: \left [ -1;1 \right ]$ ряд может сходиться или расходиться.
При LaTeX formula: x=-1

получим знакочередующийся ряд $LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{2n-1}}{n^{3}}$ . Применим признак Лейбница: 1) $LaTeX formula: a_{n}=\frac{1}{n^{3}}$ , $LaTeX formula: a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{3}}$ и $LaTeX formula: a_{n}> a_{n+1}$ ; 2) $LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{3}}=0$ . Следовательно, ряд сходится.
При LaTeX formula: x=1

получим ряд Дрихле $LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{3}}$ , который сходится.
Ответ : $LaTeX formula: \left [ -1;1 \right ]$ .

Пример 3. Разложите в ряд Маклорена 9.14 функцию $LaTeX formula: f(x)=(1+x)^{\alpha }$ .

Решение. Найдем значение функции в точке LaTeX formula: x=0 : $LaTeX formula: f(x)=(1+0)^{\alpha }=1$ .

Найдем производные данной функции и значения производных в точке LaTeX formula: x=0 :
$LaTeX formula: f'(x)=\alpha (1+x)^{\alpha-1 }$ , $LaTeX formula: f'(0)=\alpha (1+0)^{\alpha-1 }=\alpha$ ;
$LaTeX formula: f''(x)=\alpha(\alpha -1) (1+x)^{\alpha-2 }$ , $LaTeX formula: f''(0)=\alpha (\alpha -1)(1+0)^{\alpha-2 }=\alpha (\alpha -1)$ ;
$LaTeX formula: f'''(x)=\alpha(\alpha -1)(\alpha -2) (1+x)^{\alpha-3 }$ , $LaTeX formula: f'''(0)=\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)$ ;
…
$LaTeX formula: f^{n}(x)=\alpha(\alpha -1)(\alpha -2) \cdot ...\cdot (\alpha -n+1)(1+x)^{\alpha-n }$ ,
$LaTeX formula: f^{n}(0)=\alpha(\alpha -1)(\alpha -2) \cdot ...\cdot (\alpha -n+1)$ .
Согласно формуле 9.14 запишем: $LaTeX formula: (1+x)^{\alpha }=1+\frac{\alpha }{1!}x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+...+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)...(\alpha -n+1)}{n!}x^{n}+...$ LaTeX formula: ...