Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами /qualihelpy

Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Справочник / Студент / Дифференциальные уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

1. Однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
LaTeX formula: y''+py'+qy=0

. (8.18)

Чтобы решить уравнение 8.18, необходимо:

1) составить и решить характеристическое уравнение

; (8.19)

2) записать общее решение уравнения по одной из формул:

Корни характеристического уравнения Общее решение уравнения 8.18

$LaTeX formula: k_1\neq k_2\in R$ $LaTeX formula: y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$ (8.20)

$LaTeX formula: k_1=k_2\in R$ $LaTeX formula: y=C_1e^{kx}+C_2xe^{kx}$ (8.21)

$LaTeX formula: k_{1,2}=a\pm ib\in C$ $LaTeX formula: y=e^{ax}(C_1cosbx+C_2sinbx)$ (8.22)

2. Неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

. (8.23)

Различают частное решение и общее решение уравнения 8.23.

Частное решение $LaTeX formula: \tilde{y}$ с неопределенными коэффициентами уравнения 8.23 находят по одной из формул 8.24 , 8.25 , 8.26 , 8.27 , 8.28 , 8.29 , 8.30 , где LaTeX formula: p

– коэффициенты уравнения, LaTeX formula: k_1

– корни характеристического уравнения LaTeX formula: k^2+pk+q=0

;

специальная правая часть уравнения; LaTeX formula: a

– постоянные коэффициенты; LaTeX formula: A

– неопределенные коэффициенты; LaTeX formula: P_n(x)

– многочлен LaTeX formula: n

-ой степени с определенными коэффициентами; LaTeX formula: Q_n(x)

– многочлен LaTeX formula: n

-ой степени с неопределенными коэффициентами:

Правая часть уравнения 8.23 Частное решение уравнения

$LaTeX formula: f(x)=ae^{mx}$ и $LaTeX formula: m\neq k_1\neq k_2$ $LaTeX formula: \tilde{y}=Ae^{mx}$ (8.24)

$LaTeX formula: f(x)=ae^{mx}$ и LaTeX formula: m=k_1

$LaTeX formula: \tilde{y}=Axe^{mx}$ (8.25)

$LaTeX formula: f(x)=ae^{mx}$ и LaTeX formula: m=k_1=k_2

$LaTeX formula: \tilde{y}=Ax^2e^{mx}$ (8.26)

и $LaTeX formula: q\neq 0$ $LaTeX formula: \tilde{y}=Q_n(x)$ (8.27)

, $LaTeX formula: p\neq 0$ $LaTeX formula: \tilde{y}=xQ_n(x)$ (8.28)

$LaTeX formula: \tilde{y}=Asinmx+Bcosmx$ (8.29)

и $LaTeX formula: p^2+(q-m)^2\neq 0$

$LaTeX formula: \tilde{y}=x(Asinmx+Bcosmx)$ (8.30)

Чтобы найти частное решение $LaTeX formula: \tilde{y_k}$ с определенными коэффициентами, необходимо

1) найти выражения $LaTeX formula: \tilde{y_}'$ и $LaTeX formula: \tilde{y_}''$ ;

2) подставить значения $LaTeX formula: \tilde{y_}$ , $LaTeX formula: \tilde{y_}'$ и $LaTeX formula: \tilde{y_}''$ в уравнение 8.23 и найти значения неопределенных коэффициентов;

3) записать решение $LaTeX formula: \tilde{y_k}$ с определенными коэффициентами.

Чтобы найти общее решение уравнение 8.23, необходимо:

1) найти общее решение LaTeX formula: y_0

соответствующего ему однородного уравнения LaTeX formula: y''+py'+qy=0

по одной из формул 8.20 , 8.21 ,8.22;

2) найти частное решение уравнения 8.23 $LaTeX formula: \tilde{y_k}$ с определенными коэффициентами;

3) найти общее решение уравнения 8.23 :

$LaTeX formula: y=y_0+\tilde{y_k}$ . (8.31)

Пример 1. Решите уравнение LaTeX formula: y''+6y'+5y=0

Решение. Имеем уравнение вида 8.18.
Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19:
LaTeX formula: k^2+6k+5=0

, откуда

, а

.
Согласно формуле 8.20 запишем его общее решение:
$LaTeX formula: y=C_1e^{-x}+C_2e^{-5x}$ .
Ответ: $LaTeX formula: y=C_1e^{-x}+C_2e^{-5x}$ .

Пример 2. Решите уравнение LaTeX formula: y''-10y'+25y=0

Решение. Имеем уравнение вида 8.18.
Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19:
LaTeX formula: k^2-10k+25=0

, откуда

.
Согласно формуле 8.21 запишем его общее решение:
$LaTeX formula: y=C_1e^{5x}+C_2xe^{5x}$ или $LaTeX formula: y=e^{5x}(C_1+C_2x)$ .
Ответ: $LaTeX formula: y=e^{5x}(C_1+C_2x)$ .

Пример 3. Решите уравнение LaTeX formula: y''+4y=0

Решение. Имеем уравнение вида 8.18.
Составим и решим его характеристическое уравнение 8.19:
LaTeX formula: k^2=-4

, откуда $LaTeX formula: k_{1,2}=\pm 2i$ , где LaTeX formula: a=0

.
Согласно формуле 8.22 запишем его общее решение:
LaTeX formula: y=e^0(C_1cos2x+C_2sin2x)

или

.
Ответ: LaTeX formula: y=C_1cos2x+C_2sin2x

Пример 4. Решите уравнение LaTeX formula: y''-6y'+5y=x^2-3x

Решение. 1. Имеем уравнение вида 8.23.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения LaTeX formula: y''-6y'+5y=0

.
Так как LaTeX formula: k^2-6k+5=0

, то

и согласно формуле 8.20
$LaTeX formula: y_0=C_1e^x+C_2e^{5x}$ .
Ответ: $LaTeX formula: y_0=C_1e^x+C_2e^{5x}$ .

2. Найдем частное решение данного неоднородного уравнения.
Так как LaTeX formula: f(x)=P_2(x)=x^2-3x

и $LaTeX formula: q\neq 0$ , то согласно формуле 8.27,
$LaTeX formula: \tilde{y}=Ax^2+Bx+C$ , а $LaTeX formula: \tilde{y}'=2Ax+B$ , $LaTeX formula: \tilde{y}''=2A$ .
Подставляя эти выражения в уравнение LaTeX formula: y''-6y'+5y=x^2-3x

, получим:
LaTeX formula: 2A-12Ax-6B+5Ax^2+5Bx+5C=x^2-3x

.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, запишем:
LaTeX formula: 5A=1

, откуда $LaTeX formula: A=\frac{1}{5}$ , $LaTeX formula: B=-\frac{3}{25}$ и $LaTeX formula: C=-\frac{28}{125}$ .
Получим: $LaTeX formula: \tilde{y_k}=\frac{1}{5}x^2-\frac{3}{25}x-\frac{28}{125}$ .

3. Согласно формуле 8.31 найдем общее решение данного неоднородного уравнения.

Ответ: $LaTeX formula: y=C_1e^x+C_2e^{5x}+\frac{1}{5}x^2-\frac{3}{25}x-\frac{28}{125}$ .

Мы рассмотрели несколько видов неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами только со специальной правой частью.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами