Понятие комплексного числа /qualihelpy

Понятие комплексного числа

Справочник / Студент / Дифференциальные уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Расширим множество действительных чисел.
Число, квадрат которого равен LaTeX formula: -1

, обозначают буквой LaTeX formula: i

и называют мнимой единицей:
LaTeX formula: i^2=-1

Числа вида $LaTeX formula: a\pm bi$ , где

– любые действительные числа, а число LaTeX formula: i

– мнимая единица, называют комплексными числами.

Число

называют действительной частью комплексного числа, число LaTeX formula: b

– его мнимой частью, а выражение $LaTeX formula: a\pm bi$ алгебраической формой записи комплексного числа.

Множество всех комплексных чисел обозначают LaTeX formula: C

.
Это множество содержит множество всех действительных чисел: $LaTeX formula: R\subset C$ .
Н а п р и м е р:
1) если действительная часть комплексного числа равна LaTeX formula: 2

, а его мнимая часть равна LaTeX formula: 3

, то получим комплексное число LaTeX formula: 2+3i

;
2) если действительная часть комплексного числа равна LaTeX formula: 0

, а его мнимая часть равна LaTeX formula: -6

, то получим мнимое число LaTeX formula: -6i

;
3) если действительная часть комплексного числа равна LaTeX formula: -6

, а его мнимая часть равна LaTeX formula: 0

, то получим действительное число LaTeX formula: -6

Числа

называют сопряженными.

Числа

называют противоположными.

Два комплексных числа LaTeX formula: a+bi

равны, если LaTeX formula: a=c

Приведем примеры уравнений, которые не имеют действительных корней, то есть не имеют решений на множестве действительных чисел, но имеют решения на множестве комплексных чисел.
Н а п р и м е р:
1) Решим уравнение LaTeX formula: x^2=-1

. Поскольку LaTeX formula: -1=i^2

, то запишем: LaTeX formula: x^2=i^2

. Тогда $LaTeX formula: x=\pm \sqrt{i^2}$ или $LaTeX formula: x=\pm i$ .

2) Рассмотрим квадратное уравнение LaTeX formula: x^2+2x+2=0

. Найдем его дискриминант: LaTeX formula: D=4-8=-4

. Тогда $LaTeX formula: \sqrt{D}=\sqrt{-4}$ или $LaTeX formula: \sqrt{D}=\sqrt{4i^2}=2i$ . Найдем комплексные корни уравнения:

$LaTeX formula: x_{1,2}=\frac{-2\pm 2i}{2}$ , откуда $LaTeX formula: x_{1,2}=-1\pm i$ .

Сложение и вычитание комплексных чисел

Суммой комплексных чисел LaTeX formula: z_1=a+bi

называют комплексное число
LaTeX formula: z=z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i

Разностью комплексных чисел LaTeX formula: z_1=a+bi

называют комплексное число
LaTeX formula: z=z_1-z_2=(a-c)-(b-d)i

Умножение комплексных чисел

Произведением комплексных чисел LaTeX formula: z_1=a+bi

называют комплексное число
$LaTeX formula: z=z_{1}z_{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i$ .

Деление комплексных чисел

Комплексные числа LaTeX formula: z_1=a+bi

делят так:

$LaTeX formula: \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=$ $LaTeX formula: \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$ .

Пример 1. Найдите сумму чисел LaTeX formula: z_1=-2+i

.
Решение.
LaTeX formula: z_1+z_2=(-2+0)+(1-4)i=-2-3i

.
Ответ: LaTeX formula: -2-3i

Пример 2. Найдите произведение чисел LaTeX formula: z_1=-2+i

и $LaTeX formula: z_2=-\sqrt{2}i$ .
Решение.
Применим правило умножения многочленов:
$LaTeX formula: z_1z_2=-\sqrt{2}i(-2+i)=2\sqrt{2}i-\sqrt{2}i^2=2\sqrt{2}i+\sqrt{2}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 2\sqrt{2}i+\sqrt{2}$ .

Пример 3. Найдите частное чисел LaTeX formula: z_1=2+3i

.
Решение.
$LaTeX formula: \frac{2+3i}{3-2i}=\frac{(2+3i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}=\frac{6+4i+9i+6i^2}{9-4i^2}=\frac{6+13i-6}{9+4}=\frac{13i}{13}$ LaTeX formula: =i

.
Ответ: LaTeX formula: i

Арифметические действия с комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий с действительными числами, учитывая при этом, что
LaTeX formula: i^1=i

, $LaTeX formula: i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i$ , $LaTeX formula: i^4= i^2\cdot i^2=(-1)\cdot (-1)=1$ и т. д.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания