Уравнения второго порядка /qualihelpy

Уравнения второго порядка

Справочник / Студент / Дифференциальные уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Дифференциальным уравнением второго порядка называют уравнение вида:

. (8.12)

Общим решением уравнения 8.12 называется функция

$LaTeX formula: y=\phi (x;C_1;C_2)$ , (8.13)

удовлетворяющяя условию 8.12.

Если общее решение уравнения получено в неявном виде

$LaTeX formula: \Phi (x;y;C_1;C_2)=0$ , (8.14)

то его называют общим интегралом.

Решить задачу Коши – значит найти частное решение

$LaTeX formula: y=\phi (x)$ , (8.13.1)

дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям LaTeX formula: y(x_1)=y_1

Некоторые виды дифференциальных уравнений второго порядка, допускающие понижение порядка:

; (8.15)

; (8.16)

. (8.17)

Уравнение 8.15 можно решить, дважды его интегрируя.

Уравнения 8.16 и 8.17 можно решить с помощью подстановки LaTeX formula: y'=t

Пример 1. Докажите, что функция LaTeX formula: y=x^3+C_1x+C_2

является общим решением 8.13 уравнения LaTeX formula: y''-6x=0

и найдите его частное решение 10.13.1, удовлетворяющее условиям LaTeX formula: y(0)=1

Решение. 1. Найдем производные функции LaTeX formula: y=x^3+C_1x+C_2

.
Подставляя LaTeX formula: y''=6x

в уравнение LaTeX formula: y''-6x=0

, получим:
LaTeX formula: 6x-6x=0

.
2. Подставляя в уравнение LaTeX formula: y=x^3+C_1x+C_2

значения

, получим:
LaTeX formula: 1=0+0+C_2

.
Подставляя в уравнение LaTeX formula: y'=3x^2+C_1

значения

, получим:
LaTeX formula: -1=3+C_1

.
3. Подставляя значения LaTeX formula: C_1=-4

в общее решение уравнения, получим его частное решение:
LaTeX formula: y=x^3-4x+1

.
Ответ: LaTeX formula: y=x^3-4x+1

Пример 2. Решите уравнение LaTeX formula: y''=-3x

Решение. Имеем уравнение вида 8.15.
Так как $LaTeX formula: y''=\frac{dy'}{dx}$ , то уравнение примет вид $LaTeX formula: \frac{dy'}{dx}=-3x$ или LaTeX formula: dy'=-3xdx

.
Проинтегрируем его:
$LaTeX formula: \int dy'=-3\int xdx$ , $LaTeX formula: y'=\frac{3x^2}{2}+C_1$ .
Так как $LaTeX formula: y'=\frac{dy}{dx}$ , то запишем полученное уравнение в виде $LaTeX formula: dy=\left ( 1,5x^2+C_1 \right )dx$ и проинтегрируем его:
$LaTeX formula: \int dy=\int \left ( 1,5x^2+C_1 \right )dx$ , LaTeX formula: y=0,5x^2+C_1x+C_2

.
Ответ: LaTeX formula: y=0,5x^2+C_1x+C_2

Пример 3. Решите уравнение LaTeX formula: (1+x)y''=y'

Решение. Имеем уравнение вида 8.17.
Пусть LaTeX formula: y'=t

, тогда $LaTeX formula: y''=\frac{dt}{dx}$ .
Уравнение примет вид: $LaTeX formula: \frac{(1+x)dt}{dx}=t$ или LaTeX formula: (1+x)dt=tdx

.
Разделим переменные и проинтегрируем его:
$LaTeX formula: \frac{dt}{t}=\frac{dx}{1+x}$ , $LaTeX formula: \int \frac{dt}{t}=\int \frac{d(1+x)}{1+x}$ , LaTeX formula: lnt=ln(1+x)+lnC_1

Учитывая подстановку LaTeX formula: y'=t

, получим:
LaTeX formula: dy=C_1(1+x)dx

, $LaTeX formula: \int dy=C_1\int (1+x)dx$ , $LaTeX formula: y=C_1\left ( x+\frac{x^2}{2} \right )+C_2$ .
Ответ: LaTeX formula: y=C_1(x+0,5x^2)+C_2

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Дифференциальные уравнения второго порядка