Уравнения первого порядка /qualihelpy

Уравнения первого порядка

Справочник / Студент / Дифференциальные уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Дифференциальным уравнением LaTeX formula: n

-го порядка называют уравнение вида:
$LaTeX formula: f\left ( x;y;y';y'';...;y^{(n)} \right )=0$ , (8.1)
где LaTeX formula: y=f(x)

– неизвестная функция, а $LaTeX formula: y,y',y'',...,y^{(n)$ , , …, – ее производные.

Дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида:
$LaTeX formula: f\left ( x;y;y'\right )=0$ . (8.2)

Н а п р и м е р, LaTeX formula: 2x^2-3y+8y'=0

, $LaTeX formula: 3y^2y'-1=e^{2x}$ – дифференциальные уравнения первого порядка.

Общим решением уравнения 8.2 называется функция
$LaTeX formula: y=\phi (x;C)$ , (8.3)
как семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от произвольной постоянной LaTeX formula: C

, и удовлетворяющая условию 8.2.

Н а п р и м е р: убедимся в том, что функция LaTeX formula: y=x^2+x+C

– общее решение уравнения LaTeX formula: y'-2x=1

.
Найдем производную этой функции: LaTeX formula: y'=2x+1+0

.
Подставим значения LaTeX formula: y

в уравнение LaTeX formula: y'-2x=1

и получим:
LaTeX formula: (2x+1)-2x=1

Если общее решение уравнения получено в неявном виде
$LaTeX formula: \Phi (x;y;C)=0$ , (8.4)
то его называют общим интегралом.

Н а п р и м е р, $LaTeX formula: y^3=-e^{-x}+e^x+C$ – общий интеграл уравнения $LaTeX formula: 3e^xy^2y'=1+e^{2x}$ .

Решить задачу Коши – значит найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку LaTeX formula: M_0(x_0;y_0)

или иначе найти частное решение
$LaTeX formula: y=\phi (x)$ , (8.5)
удовлетворяющее начальным условиям LaTeX formula: y(x_0)=y_0

Некоторые виды уравнений первого порядка

1. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными имеет вид:

. (8.6)

Чтобы решить уравнение 8.6, необходимо проинтегрировать его обе части.
Н а п р и м е р, решим уравнение LaTeX formula: 3y^2dy=e^xdx

:
$LaTeX formula: \int 3y^2dy=\int e^xdx$ , LaTeX formula: y^3=e^x+C

2. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:

. (8.7)

Чтобы решить уравнение 8.7, необходимо разделить переменные и проинтегрировать обе его части.

3. Дифференциальное однородное уравнение имеет вид:

, (8.8)
где LaTeX formula: P(x;y)

однородные функции одного и того же порядка: LaTeX formula: P(kx,ky)=k^nP(x,y)

Н а п р и м е р: LaTeX formula: f(x,y)=2x-3y

– однородная функция первого порядка, так как LaTeX formula: f(kx,ky)=2kx-3ky=k(2x-3y)

; функция

не является однородной.

Чтобы решить уравнение 8.8, необходимо применить подстановку:
LaTeX formula: y=ux

, где

. (8.9)

4. Дифференциальное линейное уравнение имеет вид:

. (8.10)

Чтобы решить уравнение 8.10, необходимо применить подстановку:
LaTeX formula: y=uv

, где

. (8.11)

Пример 1. Решите уравнение LaTeX formula: 2x^2+5=8y'

.
Решение. Поскольку $LaTeX formula: y'=\frac{dy}{dx}$ , то запишем данное уравнение так:
$LaTeX formula: 2x^2+5=8\frac{dy}{dx}$ , $LaTeX formula: \left ( 2x^2+5 \right )dx=8dy$ .
Получили уравнение вида 8.6 с разделенными переменными.
Интегрируя обе его части, найдем общее решение 8.3:

$LaTeX formula: \int 8dy=\int \left ( 2x^2+5 \right )dx$ , $LaTeX formula: 8y=\frac{2x^3}{3}+5x+8C$ , $LaTeX formula: y=\frac{x^3}{12}+\frac{5x}{8}+C$ .

Ответ: $LaTeX formula: y=\frac{x^3}{12}+\frac{5x}{8}+C$ .

Пример 2. Найдите частное решение уравнение LaTeX formula: xdy=ydx

, если

.
Решение. Разделим переменные:

$LaTeX formula: \frac{xdy}{xy}=\frac{ydx}{xy}$ , $LaTeX formula: \frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$ .
Проинтегрируем полученное равенство:
$LaTeX formula: \int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}$ , LaTeX formula: lny=lnx+lnC

– общее решение 8.3.
Подставляя значения LaTeX formula: x=-2

в общее решение уравнения, найдем произвольную постоянную:
LaTeX formula: 6=-2C

.
Запишем частное решение 8.5 данного уравнения:
LaTeX formula: y=-3x

.
Ответ: LaTeX formula: y=-3x

Пример 3. Решите уравнение LaTeX formula: 4xy'=x+y

Решение. Запишем уравнение в виде LaTeX formula: 4xdy=(x+y)dx

.
Функции LaTeX formula: P(x;y)=4x

являются однородными функциями первого порядка, так как
LaTeX formula: P(kx;ky)=4kx=kP(x;y)

, и

.
Следовательно, имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка 8.8.
Полагая LaTeX formula: y=ux

, получим:
LaTeX formula: 4x(udx+xdu)=(x+ux)dx

.
Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:

$LaTeX formula: \frac{4du}{1-3u}=\frac{dx}{x}$ , $LaTeX formula: \int \frac{4d(1-3u)}{-3(1-3u)}=\int \frac{dx}{x}$ , $LaTeX formula: \int \frac{d(1-3u)}{1-3u}=-\frac{3}{4}\int \frac{dx}{x}$ , $LaTeX formula: ln(1-3u)=-\frac{3}{4}lnx+lnC$ , $LaTeX formula: ln(1-3u)=-lnx^{0,75}+lnC$ , $LaTeX formula: ln(1-3u)=ln\frac{C}{x^{0,75}}$ , $LaTeX formula: 1-3u=\frac{C}{x^{0,75}}$ , $LaTeX formula: u=\frac{1}{3} -\frac{C}{3x^{0,75}}$ .
Учитывая, что LaTeX formula: y=ux

, получим:
$LaTeX formula: y=\frac{x}{3} -\frac{Cx}{3x^{0,75}}$ , $LaTeX formula: y=\frac{x-Cx^{0,25}}{3}$ .
Ответ: $LaTeX formula: y=\frac{x-Cx^{0,25}}{3}$ .

Пример 4. Решите уравнение LaTeX formula: xy'-y=x-1

.
Решение. Имеем линейное уравнение 8.10 .
Полагая LaTeX formula: y=uv

, получим:
LaTeX formula: x(u'v+uv')-uv=x-1

.
Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель LaTeX formula: u

, и вынесем его из скобки:
LaTeX formula: xu'v+(xuv'-uv)=x-1

.
Если положим LaTeX formula: xv'-v=0

, то получим
$LaTeX formula: xu'v+u\cdot 0=x-1$ .
Запишем систему уравнений: $LaTeX formula: \begin{cases} xv'-v=0 \\ xu'v=x-1 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$LaTeX formula: x\frac{dv}{dx}=v$ , LaTeX formula: xdv=vdx

, $LaTeX formula: \int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x}$ , LaTeX formula: lnv=lnx

(произвольная постоянная тут всегда равна нулю), LaTeX formula: v=x

Подставим полученное значение LaTeX formula: v=x

во второе уравнение системы и решим его:
LaTeX formula: xu'x=x-1

, $LaTeX formula: u'=\frac{x-1}{x^2}$ , $LaTeX formula: \frac{du}{dx}=\frac{x-1}{x^2}$ , $LaTeX formula: du=\frac{x-1}{x^2}dx$ , $LaTeX formula: \int du=\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{x^2}dx$ , $LaTeX formula: u=lnx+\frac{1}{x}+C$ .