Методы интегрирования /qualihelpy

Методы интегрирования

Справочник / Студент / Интегральное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

1. Метод подстановки

Подстановка выполняется по формуле:

$LaTeX formula: \int f(x)dx=\int f(g(t)) g{}'(t)dt,$ (7.24)

где

– дифференцируемая функция переменной LaTeX formula: t.

Этот метод в отдельных случаях позволяет свести интеграл к табличному.

2. Метод изменения формы дифференциала

Преобразовать дифференциал можно по формуле:

$LaTeX formula: \int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'(x)}$ . (7.25)

Этот метод в отдельных случаях позволяет свести интеграл к табличному.

3. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям применяют в случае, когда подынтегральная функция является трансцендентной функцией или представляет собою произведение алгебраической и трансцендентной функций.
Н а п р и м е р: $LaTeX formula: \int ln xdx;\int arcsinxdx; \int xlnxdx; \int xcosxdx; \int xe^xdx.$

Формула интегрирования по частям:

$LaTeX formula: \int udv=uv-\int vdu,$ (7.26)

где $LaTeX formula: u=f_{1}(x),$ а $LaTeX formula: v=f_{2}(x)$ – дифференцируемые функции.

В качестве LaTeX formula: u

обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, а в качестве LaTeX formula: dv

– оставшаяся часть подынтегрального выражения, обязательно содержащая LaTeX formula: dx.

В некоторых случаях формула 7.26 применяется несколько раз.
Н а п р и м е р, $LaTeX formula: \int x^2lnxdx$ и $LaTeX formula: \int x^3sinxdx.$

В отдельных случаях искомый интеграл находится из уравнения, полученного в результате интегрирования по частям.
Н а п р и м е р, $LaTeX formula: \int e^x sinxdx$ и $LaTeX formula: \int e^x cosxdx.$

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен, можно выполнить по формулам 7.18,7.19,7.20,7.21,7.22 и 7.23 , если дополнить квадратный трехчлен до квадрата суммы или квадрата разности в общем случае так:
$LaTeX formula: f(x)=ax^2\pm bx+c$ ,
$LaTeX formula: f(x)=a \left (x^2\pm \frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )$ ,
$LaTeX formula: f(x)=a \left (x^2\pm 2 \cdot \frac{b}{2a}x+\frac{c}{a} \right )$ ,
$LaTeX formula: f(x)=a \left (x^2\pm 2 \cdot \frac{b}{2a}x +\left (\frac{b}{2a} \right )^2-\left (\frac{b}{2a} \right )^2 + \frac{c}{a} \right )$ ,
$LaTeX formula: f(x)=a \left (\left (x\pm \frac{b}{2a} \right )^2-\left (\frac{b}{2a} \right ) ^2+\frac{c}{a} \right )$ .

Таблица 2. Неопределенные интегралы

$LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln\frac{\left |u-a \right |}{\left |u+a \right |}+C$ (7.18)

$LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{u}{a}+C$ (7.19)

$LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=arcsin\frac{u}{a}+C$ (7.20)

$LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{u^2+a}}=ln \left |u+ \sqrt{u^2+a} \right | +C$ (7.21)

$LaTeX formula: \int \sqrt{u^2+a}du=\frac{u}{2}\sqrt{u^2+a} +\frac{a}{2}ln \left |u+ \sqrt{u^2+a} \right | +C$ (7.22)

$LaTeX formula: \int \sqrt{a^2-u^2}du=\frac{u}{2}\sqrt{a^2-u^2} +\frac{a^2}{2}arcsin\frac{u}{a}+C$ (7.23)

Интегрирование рациональных дробей

Многочленом степени n от одной переменной LaTeX formula: x

называют выражение вида

$LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ LaTeX formula: (7.27)

при $LaTeX formula: a_{n}\neq 0$ и $LaTeX formula: n\in N.$

Числа $LaTeX formula: a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$ называют коэффициентами многочлена, при этом число $LaTeX formula: a_{n}$ называют старшим коэффициентом многочлена, а число $LaTeX formula: a_{0}$ – свободным членом. Коэффициенты многочлена, за исключением его старшего коэффициента, могут быть равны нулю.

Н а п р и м е р: LaTeX formula: P(x)=3x^2+10x+5

– многочлен второй степени.

Многочлен вида $LaTeX formula: P_{0}(x)=a_{0}x^{0}=a_{0}$ называют многочленом нулевой степени, а если $LaTeX formula: a_{0}=0,$ то имеем нулевой многочлен.

Н а п р и м е р, LaTeX formula: P(x)=-4x^0=-4

– многочлен нулевой степени, а LaTeX formula: P(x)=0

– нулевой многочлен.

Корнем многочлена   $LaTeX formula: P_{n}(x)$ называют такое число $LaTeX formula: x_{0},$ что $LaTeX formula: P_{n}(x_{0})=0.$
Число с называют корнем кратности   многочлена $LaTeX formula: f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0} ,$
если справедливо равенство   $LaTeX formula: f(x)=(x-c)^{k}g(x),$
где LaTeX formula: g(x)

– многочлен степени LaTeX formula: (n - k),

– натуральные числа $LaTeX formula: \left (n\geq k \right )$ и $LaTeX formula: g(c)\neq 0.$

Если

то говорят, что число LaTeX formula: c

– простой корень многочлена.

Н а п р и м е р, числа LaTeX formula: 0

простые корни многочлена LaTeX formula: f(x)=x(x-2)(x+9)^2(x-15)^3(x^2+4).

Число

двукратный корень, а число LaTeX formula: 15

его трехкратный корень.

Дробной рациональной функцией называют функцию вида

$LaTeX formula: f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},$ (7.28)

где $LaTeX formula: P_{n}(x)$ и $LaTeX formula: Q_{m}(x)$ – многочлены степеней LaTeX formula: n

соответственно.

Если

то дробь 7.28 правильная, а если $LaTeX formula: n\geq m,$ то неправильная.

Если разложить многочлен-знаменатель на множители $LaTeX formula: Q_{m}(x)=(x-c) ^k g _{m}(x),$ то правильную дробь 7.28 можно представить в виде суммы простейших дробей по формуле:

$LaTeX formula: \frac{A_{1}}{x-c}+\frac{A_{2}}{\left (x-c \right )^{2}}+...+\frac{A_{k}}{\left (x-c \right )^k}+ \frac{B_{m-1}x^{m-1}+...+B_{0}}{b_{m}x^{m}+...+b_{0}}$ , (7.29)

где числа $LaTeX formula: A_{1},A_{2},...,A_{k},B_{m-1},B_{m-2},...,B_{0}$ – неопределенные коэффициенты.

Интегрирование тригонометрических функций

1. Если интеграл имеет вид $LaTeX formula: \int sin\alpha x sin\beta xdx,$ или $LaTeX formula: \int cos\alpha x cos\beta xdx,$ или $LaTeX formula: \int sin\alpha x cos\beta xdx,$ то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью одной из формул:

$LaTeX formula: sin \alpha xcos\alpha x=\frac{1}{2}sin 2\alpha x;$ (7.30)

$LaTeX formula: sin\alpha x sin\beta x=\frac{1}{2}\left (cos(\alpha x-\beta y)-cos(\alpha x+\beta y) \right );$ (7.31)

$LaTeX formula: cos\alpha x cos\beta x=\frac{1}{2}\left (cos(\alpha x-\beta y)+cos(\alpha x+\beta y) \right );$ (7.32)

$LaTeX formula: sin\alpha x cos\beta x=\frac{1}{2}\left (sin(\alpha x-\beta y)+sin(\alpha x+\beta y) \right ).$ (7.33)

2. Если интеграл имеет вид $LaTeX formula: \int sin ^{n}xcos^{m}xdx$ и числа LaTeX formula: n

четные, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью формул понижения степени:

$LaTeX formula: cos^{2}x=\frac{1}{2}(1+cos2x);$ (7.34)

$LaTeX formula: sin^{2}x=\frac{1}{2}(1-cos2x);$ (7.35)

Если хотя бы одно из чисел LaTeX formula: n

или

нечетное, то необходимо отделить от нечетной степени один множитель.

3. Если интеграл имеет вид $LaTeX formula: \int R (sinx;cos)dx,$ где LaTeX formula: R

– рациональная функция от LaTeX formula: sinx

то необходимо использовать подстановку $LaTeX formula: tg\frac{x}{2}=t$ и с учетом формул

$LaTeX formula: sinx= \frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}$ (7.36) и $LaTeX formula: cosx=\frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}$ (7.37)

записать: $LaTeX formula: sinx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$

Пример 1. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int \frac{xdx}{\sqrt{1+2x}}.$
Решение. Применим метод подстановки 7.24 .
Положим $LaTeX formula: \sqrt{1+2x}=t.$
Запишем LaTeX formula: 1+2x=t^2

и продифференцируем это равенство:
$LaTeX formula: (1+2x){}'dx=(t^2){}'dt$ , LaTeX formula: (0+2)dx=2tdt

.
Переходя к новой переменной, получим интеграл:
$LaTeX formula: I=\int \frac{\left (\frac{t^2-1}{2} \right )tdt}{t}$ , $LaTeX formula: I=\frac{1}{2}\int (t^2-1)dt$ , $LaTeX formula: I=\frac{1}{2}\cdot \left (\frac{t^3}{3}-t \right )+C$ .
Возвращаясь к переменной LaTeX formula: x,

найдем данный интеграл:

$LaTeX formula: \int \frac{xdx}{\sqrt{1+2x}}=\frac{(\sqrt{1+2x})^3}{6}-\frac{\sqrt{1+2x}}{2}+C.$

Ответ: $LaTeX formula: \frac{(\sqrt{1+2x})^3}{6}-\frac{\sqrt{1+2x}}{2}+C$ .

Пример 2. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int \frac{6xdx}{\sqrt{3x^2+2}}.$
Решение. По формуле 7.25 преобразуем дифференциал:
$LaTeX formula: I=\int \frac{6xd(3x^2+2)}{\sqrt{3x^2+2}\left ( 3x^2+2 \right ){}'}$ , $LaTeX formula: I=\int \frac{6xd(3x^2+2)}{6x\sqrt{3x^2+2}\left }$ , $LaTeX formula: I=\int \frac{d(3x^2+2)}{\sqrt{3x^2+2}}$ .

Воспользуемся табличным интегралом $LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}+C$ и получим:
$LaTeX formula: I=2\sqrt{3x^2+2}+C$ .

Ответ: $LaTeX formula: 2\sqrt{3x^2+2}+C$ .

Пример 3. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int x\ln{x}dx$ .
Решение. Применим формулу интегрирования по частям 7.26.
Положим $LaTeX formula: \ln{x}=u$ , а LaTeX formula: xdx=dv.

Дифференцируя первое равенство, получим:
$LaTeX formula: \left (\ln{x} \right ){}'dx=u{}'du$ , откуда $LaTeX formula: \frac{1}{x}dx=du$ .
Интегрируя второе равенство (здесь произвольная постоянная всегда равна нулю), получим:
$LaTeX formula: \int xdx=\int dv$ , откуда $LaTeX formula: \frac{x^2}{2}=v$ .
Найдем интеграл:
$LaTeX formula: I=\frac{1}{2}x^2\ln{x}-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx$ ,

$LaTeX formula: I=\frac{1}{2}x^2\ln{x}-\frac{1}{2}\int xdx$ ,

$LaTeX formula: I= \frac{1}{2}x^2\ln{x} -\frac{1}{4}x^2+C$ .

Ответ: $LaTeX formula: 0,5x^2\ln{x} -0,25x^2+C$ .

Пример 4. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int \frac{dx}{x^2-10x+29}.$
Решение. Преобразуем квадратный трехчлен:
LaTeX formula: f(x)=x^2-10x+29

,
$LaTeX formula: f(x)=\left (x^2-2\cdot 5x+25 \right )+4$ ,
$LaTeX formula: f(x)=(x-5)^{2}+4$ .
Согласно формуле 7.19 получим:
$LaTeX formula: I=\int \frac{d(x-5)}{(x-5)^{2}+2^{2}}$ , $LaTeX formula: I=\frac{1}{2}\textrm{arctg}\frac{x-5}{2}+C$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{1}{2}\textrm{arctg}\frac{x-5}{2}+C$ .

Пример 5. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int \frac{3x^{2}-5x+3}{x^2(x^2+1)}dx.$

Решение. По формуле 7.29 представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
$LaTeX formula: f(x)=\frac{3x^2-5x+3}{x^2(x^2+1)}$ ,

$LaTeX formula: f(x)=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$ ,

$LaTeX formula: f(x)=\frac{Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx^3+Dx^2}{x^2(x^2+1)}$ ,

откуда

LaTeX formula: (A+C)x^3+(B+D)x^2+Ax+B=0x^3+3x^2-5x+3.

Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим систему уравнений:
LaTeX formula: A+C=0

.
Тогда:

.
Найдем сумму интегралов:

$LaTeX formula: I=\int \frac{-5dx}{x}+\int \frac{3dx}{x^2}+\int \frac{5xdx}{x^2+1}$ ,

$LaTeX formula: I=-5\int \frac{dx}{x}+3\int \frac{dx}{x^2}+\int \frac{5xd\left ( x^2+1 \right )}{2x\left (x^2+1 \right )}$ ,

$LaTeX formula: I= -5\textrm{ln}\left |x \right |-\frac{3}{x}+\frac{5}{2}\textrm{ln}(x^2+1)+C$ .

Ответ: $LaTeX formula: -5\textrm{ln}\left |x \right |-\frac{3}{x}+\frac{5}{2}\textrm{ln}(x^2+1)+C$ .

Пример 6. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int 8\cos^3x\cdot \sin{x}dx$ .
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию по формулам 7.30 и 7.33 :
$LaTeX formula: f(x)=4\cos^2x\cdot 2\cos{x}\sin{x}$ ,
$LaTeX formula: f(x)=4\cos^2x\cdot \sin{2x}$ ,
$LaTeX formula: f(x)=2\cos{x}\cdot \sin{4x}$ ,
$LaTeX formula: f(x)=\sin{3x}+\sin{5x}$ .
Интегрируя это выражение, получим:
$LaTeX formula: I=\int \textrm{sin}3xdx+\int \textrm{sin}5xdx$ ,
$LaTeX formula: I=-\frac{1}{3}\textrm{cos}3x-\frac{1}{5}\textrm{cos}5x+C$ .

Ответ: $LaTeX formula: -\frac{1}{3}\textrm{cos}3x-\frac{1}{5}\textrm{cos}5x+C$ .

1. В общем случае, если LaTeX formula: u=kx+b,

то
$LaTeX formula: \int f(kx+b)dx=\frac{1}{k}F(kx+b)+C.$

2. Если дробь $LaTeX formula: f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$ неправильная, то необходимо предварительно выделить ее целую часть, например, разделив многочлены уголком.

3. Деление многочленов выполняют аналогично делению целых чисел:
делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого.
Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель.
Деление продолжают до тех пор пока не получат остаток нуль или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.

4. Если первообразная LaTeX formula: F(x)

функции

не является элементарной функцией, то соответствующий интеграл $LaTeX formula: \int f(x)dx$ называют «неберущимся».
П р и м е р ы «неберущихся» интегралов:
$LaTeX formula: \int e^{-x}dx$ ; $LaTeX formula: \int sin^2dx$ ; $LaTeX formula: \int cos^2dx$ ; $LaTeX formula: \int \frac{sinx}{x}dx$ ; $LaTeX formula: \int \frac{cosx}{x}dx$ ;
$LaTeX formula: \int \frac{dx}{\sqrt{1-k^2}sin^2x}$ при LaTeX formula: 0<k<1,

$LaTeX formula: \int \sqrt{1-k^2sin^2x}dx.$

Интегрирование по частям

Изменение дифференциала

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Методы интегрирования