Понятие функции нескольких переменных /qualihelpy

Понятие функции нескольких переменных

Справочник / Студент / Функция многих переменных /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Функцией двух переменных LaTeX formula: z=f(x;y)

называют такую зависимость переменной LaTeX formula: z

от переменных LaTeX formula: x

, что каждой паре значений LaTeX formula: x

соответствует единственное значение LaTeX formula: z

.
Аналогично определяется функция трех LaTeX formula: u=f(x;y;z)

, четырех

и более переменных.
Функцией n переменных $LaTeX formula: y=f(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n})$ называют такую зависимость переменной

от переменных $LaTeX formula: x_{1}$ , $LaTeX formula: x_{2}$ , $LaTeX formula: x_{3}$ ,..., $LaTeX formula: x_{n}$ ,что каждой системе значений $LaTeX formula: x_{1}$ , $LaTeX formula: x_{2}$ , $LaTeX formula: x_{3}$ ,..., $LaTeX formula: x_{n}$ соответствует единственное значение LaTeX formula: y

.
Областью определения функции LaTeX formula: z=f(x;y)

называют совокупность точек LaTeX formula: (x;y)

, в которых данная функция определена.

Область определения функции двух переменных представляет собою часть координатной плоскости или всю плоскость, а сама функция представляет некоторую поверхность в пространстве.

Число LaTeX formula: b называют пределом функции LaTeX formula: z=f(x;y) в точке $LaTeX formula: A(x_{0};y_{0})$ , если при любом $LaTeX formula: \varepsilon > 0$ найдется $LaTeX formula: \delta > 0$ такое, что для всех точек LaTeX formula: (x;y) , отстоящих от $LaTeX formula: A(x_{0};y_{0})$ меньше, чем на $LaTeX formula: \delta$ , выполняется неравенство $LaTeX formula: \left | f(x;y) -b\right |< \varepsilon$ .

Записывают: $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}& \\ y\rightarrow y_{0}}f(x;y)=b$ .

Пример 1. Найдем области определения функций:
1) областью определения функции LaTeX formula: z=6x-3y

является вся координатная плоскость LaTeX formula: Oxy

;
2) областью определения функции $LaTeX formula: z=\sqrt{6x-3y}$ является полуплоскость, все точки которой удовлетворяют условию: $LaTeX formula: 6x-3y\geq 0$ , откуда $LaTeX formula: y\leq 2x$ .

Пример 2. Вычислите $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0 y\rightarrow 2}\frac{\sin 5xy}{2x}$ .
Решение .
$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0 y\rightarrow 2}\frac{\sin 5xy}{2x}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0 y\rightarrow 2}\frac{5y\sin 5xy}{5xy}=$ $LaTeX formula: \frac{1}{2}\lim_{y\rightarrow 2}(5y)\cdot \lim_{x\rightarrow 0 y\rightarrow 2}\frac{\sin 5xy}{5xy}=\frac{1}{2}\cdot 10=5$ .

Ответ:

Примеры функций двух, трех и четырех переменных:
LaTeX formula: z=f(x;y)=2x-3y+6

,
$LaTeX formula: u=f(x;y;z)=9z-\sin xy$ ,
$LaTeX formula: v=f(x;y;z;u)=\frac{x+3u}{yz^{2}}$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания