непрерывна в точке 
, если предел функции в точке равен значению функции в этой точке: 
. (5.20)
Н а п р и м е р, функция 
непрерывна в точке 
и 
, следовательно, 
.
Функция, непрерывная в каждой точке отрезка, непрерывна на этом отрезке.
Точки разрыва функции
1. Точка 
называется точкой устранимого разрыва функции 
, если функция в точке не определена, но левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке равны:
.
2. Точка называется точкой разрыва первого рода
функции , если в этой точке существуют левосторонний и правосторонний пределы функции, но они не равны:
.
3. Точка называется точкой разрыва второго рода
функции , если хотя бы один из пределов 
или 
равен бесконечности или не существует.
Пример 1. На рисунке 5.8 изображен график функции, у которой 
– точка разрыва первого рода, так как
, а 
.
Пример 2. На рисунке 5.9 точка 
– точка разрыва второго рода функции 
, так как
, 
.
Пример 3. На рисунке 5.10 точка 
– точка устранимого разрыва функции 
, так как 
и 
.
Свойства непрерывных функций:
1) если функции непрерывны в точке, то
непрерывны в этой точке их сумма, разность и произведение;
2) если функция непрерывна в каждой точке
отрезка ![LaTeX formula: [a; b]](/uploads/formulas/68e09d452cfa32a1645cf5bba992018b31694164.1.1.png "[a; b]")
, то она непрерывна на этом отрезке (в точке – непрерывна справа, в точке 
– непрерывна слева);
3) непрерывная на отрезке функция достигает на
этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения;
4) если функция непрерывна на отрезке и на
концах отрезка имеет значения разных знаков, то на этом отрезке найдется хотя
бы одна точка, в которой функция обращается в нуль;
5) если функции и 
непрерывны на заданном отрезке, то и сложная
функция 
непрерывна на этом отрезке.