Взаимное расположение прямых и плоскостей /qualihelpy

Взаимное расположение прямых и плоскостей

Справочник / Студент / Аналитическая геометрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Взаимное расположение плоскостей

Рассмотрим две плоскости LaTeX formula: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0

с нормальными векторами LaTeX formula: n_1

1. Плоскости параллельны, если

$LaTeX formula: \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2}$ . (4.36)

Например, плоскости LaTeX formula: 2x+6y-3z=7

параллельны.

2. Плоскости перпендикулярны, если

$LaTeX formula: \overline{n_1}\cdot \overline{n_2}=0$ . (4.37)

3. Угол $LaTeX formula: \alpha$ между плоскостями находят по формуле:

$LaTeX formula: \cos \alpha=\frac{\overline{n_1}\cdot \overline{n_2}}{\left | \overline{n_1} \right |\cdot \left | \overline{n_2} \right |}$ . (4.38)

Взаимное расположение прямых

Рассмотрим две прямые, записанные в каноническом виде

$LaTeX formula: \frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}$ и $LaTeX formula: \frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}$ ,

где

– точки, принадлежащие этим прямым, а $LaTeX formula: \overline{l_1}(m_1;n_1;p_1)$ и $LaTeX formula: \overline{l_2}(m_2;n_2;p_2)$ – направляющие векторы этих прямых.

1. Прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы:

$LaTeX formula: \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$ . (4.39)

Например, прямые $LaTeX formula: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{5}$ и $LaTeX formula: \frac{x}{6}=\frac{y}{8}=\frac{z-4}{10}$ параллельны.

2. Прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы:

. (4.40)

Например, прямые $LaTeX formula: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{-2}$ и $LaTeX formula: \frac{x}{6}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{5}$ перпендикулярны.

3. Угол $LaTeX formula: \alpha$ между прямыми находят по формуле:

$LaTeX formula: \cos \alpha=\frac{\overline{l_1}\cdot \overline{l_2}}{\left | \overline{l_1} \right |\cdot \left | \overline{l_2} \right |}$ . (4.41)

4. Прямые скрещиваются, если они лежат в разных плоскостях, то есть векторы $LaTeX formula: \overline{l_1}$ , $LaTeX formula: \overline{l_2}$ и $LaTeX formula: \overline{r}(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1)$ не компланарны:

$LaTeX formula: \begin{vmatrix} m_1 & n_1 & p_1\\ m_2 & n_2 & p_2\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \end{vmatrix} \neq 0$ . (4.42)

Взаимное расположение прямой и плоскости

Рассмотрим прямую $LaTeX formula: \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ и плоскость LaTeX formula: Ax+By+Cz+D=0

1. Прямая параллельна плоскости, если

. (4.43)

Например, прямая $LaTeX formula: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{5}$ параллельна плоскости LaTeX formula: x-2y+z+10=0

2. Прямая перпендикулярна плоскости, если

$LaTeX formula: \frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}$ . (4.44)

Например, прямая $LaTeX formula: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{5}$ перпендикулярна плоскости LaTeX formula: 9x+12y+15z+10=0

3. Угол $LaTeX formula: \alpha$ между прямой и плоскостью находят по формуле:

$LaTeX formula: \sin \alpha =\frac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot \sqrt{l^2+m^2+n^2}}$ . (4.45)

Расстояние от точки LaTeX formula: M(x_0;y_0;z_0)

до плоскости LaTeX formula: Ax+By+Cz+D=0

с нормальным вектором $LaTeX formula: \overline{n}(A;B;C)$ находят по формуле:

$LaTeX formula: d=\frac{\left | Ax_0+By_0+Cz_0+D \right |}{\left | \overline{n} \right |}$ . (4.46)

Пример 1. Найдите угол между прямыми $LaTeX formula: \frac{x}{2}=\frac{y-5}{5}=z+3$ и $LaTeX formula: 2-x=\frac{y-5}{2}=\frac{z+3}{5}$ .

Решение. 1. Запишем направляющие векторы данных прямых 4.33:

$LaTeX formula: \overline{l_1}(2;5;1)$ и $LaTeX formula: \overline{l_2}(-1;2;5)$ .

2. Найдем скалярное произведение направляющих векторов прямых:

$LaTeX formula: \overline{l_1}\cdot \overline{l_2}=-2+10+5=13$ .

3. Найдем длины направляющих векторов прямых:

$LaTeX formula: \left | \overline{l_1} \right |=\sqrt{4+25+1}=\sqrt{30}$ , $LaTeX formula: \left | \overline{l_2} \right |=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}$ .

4 . Согласно формуле 4.41 получим: $LaTeX formula: \cos \alpha =\frac{13}{30}$ , $LaTeX formula: \alpha=arccos \frac{13}{30}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \alpha=arccos \frac{13}{30}$ .

Пример 2. Найдите произведение значений LaTeX formula: k

, при которых прямая $LaTeX formula: \frac{x-2}{p}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z}{k}$ перпендикулярна плоскости LaTeX formula: 3x+2y-z=0

Решение. Согласно условию задачи запишем:

Подставляя эти значения в формулу 4.44, получим: $LaTeX formula: \frac{3}{p}=\frac{2}{-2}=\frac{-1}{k}$ .

Тогда $LaTeX formula: \frac{3}{p}=-1$ и $LaTeX formula: \frac{-1}{k}=-1$ , откуда LaTeX formula: p=-3

, а

Ответ:

Пример 3. Найдите расстояние между плоскостями LaTeX formula: 3x-2y+4z+1=0

Решение. 1. Запишем нормальные векторы данных плоскостей: $LaTeX formula: \overline{n_1}(3;-2;4)$ , $LaTeX formula: \overline{n_2}=(1,5;-1;2)$ .

Плоскости параллельны, так как выполняется условие 4.36: $LaTeX formula: \frac{3}{1,5}=\frac{-2}{-1}=\frac{4}{2}\neq \frac{1}{-3}$ .

2. Найдем любую точку, принадлежащую плоскости LaTeX formula: 3x-2y+4z+1=0

Например, полагая LaTeX formula: y=-1

, а

, получим

3. Найдем расстояние от точки LaTeX formula: M(-1;-1;0)

до плоскости LaTeX formula: 1,5x-y+2z-3=0

Согласно формуле 4.46 запишем:

$LaTeX formula: d=\frac{\left | 1,5\cdot -1-1\cdot(-1)+2\cdot 0-3) \right |}{\sqrt{2,25+1+4}}=\frac{\left | -3,5 \right |}{0,5\sqrt{29}}=\frac{7}{\sqrt{29}}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{7}{\sqrt{29}}$ .

1. Скалярное произведение векторов $LaTeX formula: \bar{a}=(a_1; a_2; a_3)$ и $LaTeX formula: \bar{b}=(b_1; b_2; b_3)$ находят по формуле: $LaTeX formula: \bar{a} \cdot \bar{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ .

2. Длину вектора $LaTeX formula: \bar{a}=(a_1; a_2; a_3)$ находят по формуле:

$LaTeX formula: \left | \bar{a} \right |=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Взаимное расположение кривых и плоскостей