Методы решений систем уравнений /qualihelpy

Методы решений систем уравнений

Справочник / Студент / Системы линейных алгебраических уравнений /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

1. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащую LaTeX formula: n

уравнений и LaTeX formula: n

переменных, методом Крамера, необходимо:

1) найти определитель $LaTeX formula: \left | A \right |$ основной матрицы системы;

2) найти определители $LaTeX formula: \left | A_{i} \right |$ ( $LaTeX formula: i=\overline{1,n}$ ), полученные в результате замены i-го столбца определителя $LaTeX formula: \left | A \right |$ столбцом свободных членов системы;

3) найти значения переменных уравнений системы по формулам $LaTeX formula: x_{i}=\frac{\left | A_{i} \right |}{\left | A \right |}$ , которые называют формулами Крамера.

2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, необходимо:

1) составить расширенную матрицу системы;

2) с помощью элементарных преобразований привести ее к трапециевидному виду;

3) на основе полученной матрицы составить и решить систему линейных уравнений;

Чтобы привести матрицу к треугольному виду, можно выполнять следующие элементарные преобразования этой матрицы:

1) умножать и делить ее любою строку на отличное от нуля число;

2) менять местами строки;

3) складывать и вычитать строки;

4) вычеркивать строки, все элементы в которых нули.

3. Решение систем линейных уравнений матричным методом

Систему уравнений, содержащую LaTeX formula: n

уравнений и LaTeX formula: n

переменных, можно записать в виде матричного уравнения: LaTeX formula: AX=B

, откуда $LaTeX formula: X=A^{-1}B$ .

Чтобы решить систему линейных уравнений матричным методом, необходимо:

1) записать основную матрицу LaTeX formula: A

системы;

2) записать матрицу-столбец LaTeX formula: X

, состоящую из переменных уравнений системы;

3) записать матрицу LaTeX formula: B

, состоящую из столбца свободных членов;

4) найти определитель основной матрицы системы;

5) найти матрицу, обратную матрице LaTeX formula: A

;

6) найти матрицу LaTeX formula: X

, умножив матрицу $LaTeX formula: A^{-1}$ на матрицу LaTeX formula: B

Пример 1. Решите систему линейных уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 2x-3y+z=1, & \\ \; \: x+y-2z=3,& \\ \! \! \! \! \!3x-y-z=4& \end{matrix}\right.$ методом Крамера.

Решение. Вычислим определитель основной матрицы системы:

$LaTeX formula: \left | A \right |=\begin{vmatrix} 2& -3& \; \; \; 1& \\ 1& \; \; \; 1& -2& \\ 3& -1& -1& \\ \end{vmatrix}=-2+18-1-3-4-3=5$ .

Так как $LaTeX formula: \left | A \right |\neq 0$ , то решение системы можем найти по формулам Крамера.

Заменим первый столбец определителя $LaTeX formula: \left | A \right |$ столбцом свободных членов и найдем $LaTeX formula: \left | A_{x} \right |$ :

$LaTeX formula: \left | A_{x} \right |=\begin{vmatrix} 1& -3& 1& \\ 3& 1& -2& \\ 4& -1& -1& \end{vmatrix}=-1+24-3-4-9-2=5$ .

Заменим второй столбец определителя $LaTeX formula: \left | A \right |$ столбцом свободных членов и найдем $LaTeX formula: \left | A_{y} \right |$ :

$LaTeX formula: \left | A_{y} \right |=\begin{vmatrix} 2& 1& 1& \\ 1& 3& -2& \\ 3& 4& -1& \end{vmatrix}=-6-6+4-9+1+16=0$ .

Заменим третий столбец определителя $LaTeX formula: \left | A \right |$ столбцом свободных членов и найдем $LaTeX formula: \left | A_{z} \right |$ :

$LaTeX formula: \left | A_{z} \right |=\begin{vmatrix} 2& -3& 1& \\ 1& 1& 3& \\ 3& -1& 4& \end{vmatrix}=8-27-1-3+12+6=-5$ .

Найдем значения переменных:

$LaTeX formula: x=\frac{5}{5}=1$ , $LaTeX formula: y=\frac{0}{5}=0$ , $LaTeX formula: z=\frac{-5}{5}=-1$ .

Проверка: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 2\cdot 1-3\cdot 2-1=-5, & \\ \! \! \! 1+2-2\cdot (-1)=5,& \\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 3\cdot 1-2+1=2.& \end{matrix}\right.$

Ответ:

Пример 2. Решите систему линейных уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 2x-3y+z=1,& \\ x+y-2z=3,& \\ \! \! \! \! \! 3x-y-z=4& \end{matrix}\right.$ матричным методом.

Решение. Запишем матрицы системы:

$LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 2& -3& \; \; 1& \\ 1& \; \; \; 1& -2& \\ 3& -1& -1& \end{bmatrix}$ , $LaTeX formula: X=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix}$ , $LaTeX formula: B=\begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 4\\ \end{bmatrix}$ .

Так как $LaTeX formula: \left | A \right |=5\neq 0$ , то решение системы можем найти матричным методом по формуле $LaTeX formula: X=A^{-1}B$ .

Матрицу, обратную данной, найдем по формуле:

$LaTeX formula: A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}& A_{31}& \\ A_{12}& A_{22}& A_{32}& \\ A_{13}& A_{23}& A_{33}& \end{bmatrix}$ .

По формуле $LaTeX formula: A_{ij}=\left ( -1 \right )^{i+j}M_{ij}$ найдем алгебраические дополнения элементов матрицы

$LaTeX formula: A_{11}=\left ( -1 \right )^{2}\begin{vmatrix} \; \; \, 1& -2& \\ -1& -1& \end{vmatrix}=-1-2=-3$ , $LaTeX formula: A_{12}=\left ( -1 \right )^{3}\begin{vmatrix} 1& -2& \\ 3& -1& \end{vmatrix}=-\left ( -1+6 \right )=-5$ , $LaTeX formula: A_{13}=\left ( -1 \right )^{4}\begin{vmatrix} 1& \; \; \, 1& \\ 3& -1& \end{vmatrix}=-1-3=-4$ , $LaTeX formula: A_{21}=\left ( -1 \right )^{3}\begin{vmatrix} -3& \; \; \, 1& \\ -1& -1& \end{vmatrix}=-\left ( 3+1 \right )=-4$ , $LaTeX formula: A_{22}=\left ( -1 \right )^{4}\begin{vmatrix} 2& \; \; \, 1& \\ 3& -1& \end{vmatrix}=-2-3=-5$ , $LaTeX formula: A_{23}=\left ( -1 \right )^{5}\begin{vmatrix} 2& -3& \\ 3& -1& \end{vmatrix}=-\left (-2+9 \right )=-7$ , $LaTeX formula: A_{31}=\left ( -1 \right )^{4}\begin{vmatrix} -3& \; \; \, 1& \\ \; \; \; 1& -2& \end{vmatrix}=6-1=5$ , $LaTeX formula: A_{32}=\left ( -1 \right )^{5}\begin{vmatrix} 2& \; \; \, 1& \\ 1& -2& \end{vmatrix}=-\left (-4-1 \right )=5$ , $LaTeX formula: A_{33}=\left ( -1 \right )^{6}\begin{vmatrix} 2& \; \; \, -3& \\ 1& \; \; \; \; \; 1& \end{vmatrix}=2+3=5$ .

Получим:

$LaTeX formula: X=A^{-1}B=\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} -3 & -4 & 5 & \\ -5 & -5 & 5 & \\ -4 & -7 & 5 & \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1\\ 3\\ 4 \end{bmatrix}=\frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} -3 & -12 & +20 & \\ -5 & -15 & +20 & \\ -4 & -21 & +20 & \end{bmatrix}=$ $LaTeX formula: \frac{1}{5}\cdot \begin{bmatrix} 5\\ 0\\ -5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{bmatrix}$ .

Ответ:

Пример 3. Решите систему линейных уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 2x-3y+z=1,& \\ x+y-2z=3,& \\ \! \! \! \! \! 3x-y-z=4& \\ \end{matrix}\right.$ методом Гаусса.

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

$LaTeX formula: \widetilde{A}=\begin{pmatrix} \begin{matrix} 2&-3 \\ 1&\; \; \: 1 \\ 3&-1 \\ \end{matrix}\left.\begin{matrix} \; \; \; \; \; \; 1& \\ \; \; \; -2& \\ \; \; \; -1& \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 1\\ 3\\ 4\\ \end{matrix} \end{pmatrix}$ .

С помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:

$LaTeX formula: \widetilde{A}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1&\; \; \, 1 \\ 2&-3 \\ 3&-1 \\ \end{matrix}\left.\begin{matrix} \; \; \; -2& \\ \; \; \; \; \; 1& \\ \; \; \; -1& \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 3\\ 1\\ 4\\ \end{matrix} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1&\; \; \, 1 \\ 0&-1 \\ 0&\; \; \,4 \\ \end{matrix}\left.\begin{matrix} \; \; \; -2& \\ \; \; \; -5& \\ \; \; \; -5& \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 3\\ 5\\ 5\\ \end{matrix} \end{pmatrix}$ $LaTeX formula: \sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1&1 \\ 0&1 \\ 0&0 \\ \end{matrix}\left.\begin{matrix} \; \; \; -2& \\ \; \; \; \; \; 5& \\ \; \; \; -25& \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 3\\ -5\\ 25\\ \end{matrix} \end{pmatrix}$ .

Решим систему уравнений: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x+y-2z=3,& \\ \; \; \; \; y+5z=-5,& \\ \; \; \; \; \; \; \; -25z=25& \\ \end{matrix}\right.$

Решая уравнение LaTeX formula: -25z=25

, получим: LaTeX formula: z=-1

Решая уравнение LaTeX formula: y+5z=-5

, получим: LaTeX formula: y=-5-5z

Решая уравнение LaTeX formula: x+y-2z=3

, получим: LaTeX formula: x=3-y+2z

Ответ:

1. Методом Крамера и матричным методом можно решать только те системы, которые содержат LaTeX formula: n

уравнений и LaTeX formula: n

переменных.

2. Если определитель $LaTeX formula: \left | A \right |$ основной матрицы системы равен нулю, то такую систему уравнений нельзя решить методом Крамера и матричным методом.

3. Если матрица, составленная из коэффициентов при переменных системы линейных уравнений, вырождена, то такая система уравнений может не иметь вовсе решений либо иметь бесконечно много решений.

4. Любую совместную систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом Гаусса.

Матричный метод

Метод определителей

Метод Гаусса

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания М_2_Метод_Крамера М_3_Матричный_метод

Методы решений систем уравнений