Действия над матрицами /qualihelpy

Действия над матрицами

Справочник / Студент / Матрицы и определители /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Транспонирование матрицы

Транспонировать матрицу – значит, заменить все ее строки соответствующим столбцами.

Например, транспонируя матрицу $LaTeX formula: B=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 1\\ 0& -5 \end{bmatrix}$ , получим $LaTeX formula: B^T=\begin{bmatrix} 2 & 4 & 0\\ 3 & 1 & -5 \end{bmatrix}$ .

Сложение (вычитание) матриц

Чтобы сложить (вычесть) две матрицы, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие элементы.

Например,

$LaTeX formula: \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} \pm b_{11} & & a_{12} \pm b_{12} \\ a_{21} \pm b_{21} & & a_{22} \pm b_{22} \end{bmatrix}$ . (1.9)

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

Умножение матрицы на матрицу

Умножать можно только согласованные матрицы.
Матрица LaTeX formula: A

согласована с матрицей LaTeX formula: B

, если количество столбцов матрицы LaTeX formula: A

равно количеству строк матрицы LaTeX formula: B

В результате умножения матрицы $LaTeX formula: A_{m\times n}=(a_{ik})_{m\times n}$ на матрицу $LaTeX formula: B_{n\times l}=(b_{ik})_{n\times l}$ , получают матрицу $LaTeX formula: C_{m\times l}=(c_{ik})_{m\times l}$ , элементы которой находят по формуле:

$LaTeX formula: c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$ . (1.10)

Например,

$LaTeX formula: \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11}+a_{12}b_{21} & & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{bmatrix}$ . (1.10.1)

Элементарные преобразования матриц

К элементарным преобразованиям матриц относят:

1) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

2) перестановку двух строк (столбцов);

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на любое (отличное от нуля) число.

Пример 1. Выполним действия над матрицами:

1) $LaTeX formula: \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0\\ 3 & 1 & -5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 & -4 & 1\\ 5 & 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 8 & -1\\ -2 & 1 & -11 \end{bmatrix}$ ;

2) $LaTeX formula: -3 \cdot \begin{bmatrix} 2 &3 \\ 4 & -1\\ 0& -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -9 \\ -12 & 3\\ 0 & 15 \end{bmatrix}$ .

Пример 2. По формуле 1.10.1 найдем произведения LaTeX formula: AB

матриц $LaTeX formula: A=\begin{pmatrix} 4 & 0\\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ и $LaTeX formula: B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ .

Решение. Поскольку имеем квадратные матрицы одного и того же порядка (они взаимно согласованы), то можем найти и произведение LaTeX formula: AB

, и произведение LaTeX formula: BA

1. Найдем произведение матриц LaTeX formula: A

$LaTeX formula: AB=\begin{pmatrix} 4 & 0\\ -2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \cdot 1+0\cdot (-3) & 4\cdot (-1)+0\cdot 2\\ -2\cdot 1 + 0\cdot (-3) & -2\cdot (-1)+0\cdot 2 \end{pmatrix} =$ $LaTeX formula: =\begin{pmatrix} 4 & -4\\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ .

2. Найдем произведение матриц LaTeX formula: B

$LaTeX formula: BA= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 0\\ -2 & 0 \end{pmatrix}=$ $LaTeX formula: \begin{pmatrix} 1 \cdot 4-1\cdot (-2) & 1\cdot 0-1\cdot 0\\ -3\cdot 4 + 2\cdot (-2) & -3\cdot 0+2\cdot 0 \end{pmatrix}=$ $LaTeX formula: \begin{pmatrix} 6 & 0\\ -16 & 0 \end{pmatrix}$ .

Ответ: $LaTeX formula: AB=\begin{pmatrix} 4 & -4\\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ ; $LaTeX formula: BA=\begin{pmatrix} 6 & 0\\ -16 & 0 \end{pmatrix}$ .

Пример 3. Выполним всевозможные элементарные преобразования матрицы $LaTeX formula: \begin{bmatrix} 4 & 0 & -2\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ .

Решение. 1. Умножим первую строку матрицы на число LaTeX formula: -1

$LaTeX formula: \begin{bmatrix} 4 & 0 & -2\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} -4 & 0 & 2\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ .

2. Переставим вторую строку и третью строку матрицы:

$LaTeX formula: \begin{bmatrix} 4 & 0 & -2\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} -1 & 2 & 5\\ 4 & 0 & -2\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ .

3. К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, предварительно умножив их на число LaTeX formula: 4

$LaTeX formula: \begin{bmatrix} 4 & 0 & -2\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 0 & 8 & 18\\ -1 & 2 & 5\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ .

1. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.

2. Умножать можно только согласованные матрицы.

3. Если имеем два действительных числа LaTeX formula: a

, то справедливо, что $LaTeX formula: a \cdot b = b\cdot a$ (от перестановки множителей произведение чисел не изменится). Если имеем две взаимно согласованные матрицы

, то не обязательно, что LaTeX formula: AB

равно

4. В результате элементарных преобразований матрицы получают матрицы, не равные данной матрице. Элементарные преобразования матриц целесообразно выполнять в процессе решения систем алгебраических линейных уравнений методом Гаусса.

Умножение матриц на число

Сложение матриц

Умножение матриц

Элементарные преобразования матриц

Транспонирование матриц

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания M_2_Действия над матрицами

Действия над матрицами