Законы распределения случайных величин /qualihelpy

Законы распределения случайных величин

Справочник / Студент / Теория вероятностей /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Биномиальное распределение

Биномом Ньютона называют выражение вида

$LaTeX formula: (a+b)^n=\sum ^n_{m=0}C_n^ma^mb^{n-m}$ . (10.40)

Формула 10.40 имеет непосредственное отношение к закону распределения LaTeX formula: CBX

, который называют биномиальным.

Рассмотрим LaTeX formula: n

испытаний, в каждом из которых может появиться с одной и той же вероятностью LaTeX formula: p

событие

или cобытие $LaTeX formula: \overline{A}$ с вероятностью LaTeX formula: q=1-p

.
Пусть случайная величина LaTeX formula: X

– число появлений события LaTeX formula: A

. В таком случае она может принимать следующие значения:
$LaTeX formula: x_1=0\\$ (событие не появится ни разу), LaTeX formula: x_2=1

(событие появится один раз), LaTeX formula: x_3=2

, …, $LaTeX formula: x_{n+1}=n$ (появится во всех испытаниях).

Вероятность того, что в серии из LaTeX formula: n

независимых испытаний событие появится ровно раз (биномиальную вероятность) можно найти по формуле Бернулли:

$LaTeX formula: P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k}$ , (10.41)

где

$LaTeX formula: C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ . (10.41.1)

Наивероятнейшим числом появления события LaTeX formula: A

называют такое число LaTeX formula: k_0

, которому соответствует наибольшая биномиальная вероятность LaTeX formula: P_n(k_0)

Наивероятнейшее число LaTeX formula: k_0

находят их системы неравенств:

. (10.42)

Закон распределения дискретной LaTeX formula: CBX

, определяемое формулой 10.41, называют биномиальным.

Числа

называют параметрами биномиального распределения LaTeX formula: CBX

Биномиальный закон может быть представлен в таблице:

Сумма всех биномиальных вероятностей равна единице:

LaTeX formula: P_n(0)+P_n(1)+P_n(2)+...+P_n(n-1)+P_n(n)=1

, (10.43)

так как при LaTeX formula: a=p

и с учетом того, что LaTeX formula: p+q=1

, формула 10.40 примет вид $LaTeX formula: (p+q)^n=\sum ^n_{m=0}C_n^ma^mb^{n-m}=1$ .

Числовые характеристики LaTeX formula: CBX

1. Математическое ожидание LaTeX formula: CBX

находят по формуле:

. (10.44)

2. Дисперсию LaTeX formula: CBX

находят по формуле:

. (10.45)

3. Среднеквадратическое отклонение находят по формуле:

$LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt{npq}$ . (10.46)

Распределение Пуассона

Рассмотрим LaTeX formula: n

испытаний, в каждом из которых может появиться с одной и той же вероятностью LaTeX formula: p

событие

.
Пусть случайная величина LaTeX formula: X

– число появлений события LaTeX formula: A

. Вероятность того, что в серии из LaTeX formula: n

независимых испытаний событие LaTeX formula: A

появится ровно LaTeX formula: k

раз (биномиальную вероятность) можно найти по формуле Бернулли 10.41.
В случае, если число LaTeX formula: n

достаточное большое, а LaTeX formula: p

достаточно мало, то имеем распределение Пуассона, а вероятность того, что в серии из LaTeX formula: n

независимых испытаний событие появится ровно раз можно найти по формуле:

$LaTeX formula: P_n(k)\approx \frac{a^ke^{-a}}{k!}$ , (10.47)

где

– параметр распределения.

Закон распределения Пуассона может быть представлен в таблице:

Числовые характеристики LaTeX formula: CBX

1. Математическое ожидание LaTeX formula: CBX

находят по формуле:

. (10.48)

2. Дисперсию LaTeX formula: CBX

находят по формуле:

. (10.49)

3. Среднеквадратическое отклонение находят по формуле:

$LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt{a}$ . (10.50)

Нормальное распределение

Случайная величина LaTeX formula: X

распределена по нормальному закону с параметрами LaTeX formula: a

и $LaTeX formula: \sigma$ , если ее функция распределения имеет вид:

$LaTeX formula: F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{(t-a)^2}{2\sigma ^2}}dt$ . (10.51)

Записывают: $LaTeX formula: X\in N(a,\sigma )$ , причем

$LaTeX formula: a=M(X), \sigma =\sqrt{D(X)}$ . (10.52)

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса, уравнение которой имеет вид:

$LaTeX formula: f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma ^2}}$ . (10.53)

Если

и $LaTeX formula: \sigma =1$ , то

$LaTeX formula: F(x)=\frac{1}{2}+\Phi (x)$ , (10.54)

где $LaTeX formula: \Phi (x)$ – функция Лапласа:

$LaTeX formula: \Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$ , (10.55)

значения которой приведены в таблице приложения II.

Свойства функции Лапласа 10.55

1. $LaTeX formula: \Phi (-x)=-\Phi (x)$ . (10.56)

2. $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }\Phi (x)=\frac{1}{2}$ . (10.57)

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины LaTeX formula: X

в заданный интервал находят по формуле:

$LaTeX formula: P(\alpha <X<\beta )=\Phi \left ( \frac{\beta -\alpha }{\sigma } \right )-\Phi \left ( \frac{\alpha -a}{\sigma } \right )$ , (10.58)

где $LaTeX formula: \Phi (x)$ – функция Лапласа 10.55.

Вероятность отклонения случайной величины LaTeX formula: X

от математического ожидания на величину не превышающую $LaTeX formula: \delta$ находят по формуле:

$LaTeX formula: P(\left | X-a \right |<\delta )=2\Phi \left ( \frac{\delta }{\sigma } \right )$ , (10.59)

где $LaTeX formula: \Phi \left ( \frac{\delta }{\sigma } \right )=\Phi (x)$ – функция Лапласа 10.55.

Правило трех сигм: если LaTeX formula: CBX

распределена нормально, то модуль ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения:

$LaTeX formula: \left | X-a \right |<3\sigma$ . (10.60)

Это означает, что событие, состоящее в осуществлении неравенства 10.60, имеет вероятность, близкую к единице, т. е. является почти достоверным.

Предельные теоремы

Теорема Чебышева

Если случайные величины LaTeX formula: X_i

, где $LaTeX formula: i=\overline{1,n}$ , независимы, имеют математические ожидания LaTeX formula: M(X_i)

и дисперсии LaTeX formula: D(X_i)

, ограниченные одним и тем же числом LaTeX formula: C

, то для любого числа $LaTeX formula: \varepsilon >0$ выполняется неравенство

$LaTeX formula: P\left ( \left | \frac{1}{n}\sum ^n_{i=1}X_i-\frac{1}{n} \sum ^n_{i=1}M(X_i)\right |\leq \varepsilon \right )>1-\frac{C}{n\varepsilon ^2}$ , (10.61)

откуда следует, что

$LaTeX formula: \lim_{n\rightarrow \infty }P\left ( \left | \frac{1}{n}\sum ^n_{i=1}X_i-\frac{1}{n} \sum ^n_{i=1}M(X_i)\right |\leq \varepsilon \right )=1$ . (10.61.1)

Если все случайные величины LaTeX formula: X_i

, где $LaTeX formula: i=\overline{1,n}$ , имеют одно и то же математические ожидания LaTeX formula: M(X_i)=a

, то неравенство 10.61 примет вид

$LaTeX formula: P\left ( \left | \frac{1}{n}\sum ^n_{i=1}X_i-a \right | \leq \varepsilon \right )>1-\frac{C}{n\varepsilon ^2}$ , (10.61.2)

откуда следует, что

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }P\left ( \left | \frac{1}{n}\sum ^n_{i=1}X_i-a \right | \leq \varepsilon \right )=1$ . (10.61.3)

Теорема Бернулли

Если вероятность LaTeX formula: p

появления события LaTeX formula: A

в каждом из LaTeX formula: n

независимых испытаний постоянна, то вероятность того, что отклонение частоты $LaTeX formula: \frac{m}{n}$ от вероятности LaTeX formula: p

по модулю не превзойдет числа $LaTeX formula: \varepsilon >0$ , больше, чем на $LaTeX formula: 1-\frac{pq}{n\varepsilon ^2}$ :

$LaTeX formula: P\left ( \left | \frac{m}{n}-p \right |\leq \varepsilon \right )>1-\frac{pq}{n\varepsilon ^2}$ , (10.62)

откуда следует, что

$LaTeX formula: \lim_{n\rightarrow \infty }P\left ( \left | \frac{m}{n}-p \right |\leq \varepsilon \right )=1$ . (10.62.1)

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность LaTeX formula: p

появления события LaTeX formula: A

в каждом из LaTeX formula: n

независимых испытаний постоянна, то вероятность LaTeX formula: P_n(k)

того, что во всех этих испытаниях событие появится ровно раз, приближенно выражается формулой:

$LaTeX formula: P_n(k)\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\phi (x)$ , (10.63)

при

$LaTeX formula: x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$ , (10.63.1)

где

$LaTeX formula: \phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}$ . (10.63.2)

Значения малой функции Лапласа 10.63.2 находят по таблице П1, приведенной во вкладке Обратите внимание.

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность LaTeX formula: p

появления события LaTeX formula: A

в каждом из LaTeX formula: n

независимых испытаний постоянна, то вероятность LaTeX formula: P_n(k_1,k_2)

того, что во всех этих испытаниях событие появится не менее раз и не более раз, приближенно выражается формулой:

$LaTeX formula: P_n(k_1,k_2)\approx \Phi (x_2)-\Phi (x_1)$ , (10.64)

при

$LaTeX formula: x_1=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}}$ , (10.64.1)

$LaTeX formula: x_2=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}$ , (10.64.2)

где $LaTeX formula: \Phi (x)$ – функция Лапласа 10.55.

Пример 1. Вероятность выпадения осадков в каждый из первых пяти дней сентября равна LaTeX formula: 0,4

. Найдите вероятность того, что осадки будут выпадать:
1) LaTeX formula: 5

дней; 2) менее двух дней.

Решение. Так как LaTeX formula: n=5

, то согласно формулам 10.41 и 10.41.1 получим:

1) $LaTeX formula: P_5(5)=C_5^5\cdot 0,4^5\cdot 0,6^{5-5}=\frac{5!}{5!\cdot 0!}\cdot 0,4^5\cdot 0,6^0=1\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^5=\frac{32}{3125}$ ;

2) $LaTeX formula: P_{5}(0)=C_{5}^0p^0q^{5-0}=\frac{5!}{0!\cdot 5!}\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^0\cdot\left ( \frac{3}{5} \right )^5 =\frac{243}{3125}$ ,
$LaTeX formula: P_{5}(1)=C_{5}^1p^1q^{5-1}=\frac{5!}{1!\cdot 4!}\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^1\cdot\left ( \frac{3}{5} \right )^4 =\frac{810}{3125}$ ,

$LaTeX formula: P_5(0)+P_5(1)=\frac{243}{3125}+\frac{810}{3125}=\frac{1053}{3125}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{32}{3125}$ , $LaTeX formula: \frac{1053}{3125}$ .

Пример 2. Вероятность изготовления бракованной детали равна LaTeX formula: 2

%. Найдите среднее количество бракованных деталей в партии из LaTeX formula: 200

деталей.

Решение. Запишем параметры распределения: LaTeX formula: n=200

.
Согласно формуле 10.44 получим:
$LaTeX formula: M(X)=200\cdot 0,02=4$ .
Ответ: LaTeX formula: 4

Пример 3. Вероятность изготовления бракованной детали равна LaTeX formula: 2

%. Найдите наивероятнейшее число стандартных деталей в партии из LaTeX formula: 200

деталей.

Решение. Согласно условию задачи LaTeX formula: n=200

.
По формуле 10.42 получим:
$LaTeX formula: 200\cdot 0,98-0,02<k_0<200\cdot 0,98+0,98$ ,
LaTeX formula: 196-0,02<k_0<196+0,98

.
Ответ: LaTeX formula: 196

Пример 4. Изготовлено LaTeX formula: 400

стеклянных шаров. Вероятность разбить шар при его упаковке равна LaTeX formula: 0,002

. Найдите вероятность того, что будет разбито LaTeX formula: 5

шаров.

Решение. Согласно условию задачи LaTeX formula: n=400

.
По формуле 10.48 $LaTeX formula: a=400\cdot 0,002=0,8$ .
По формуле 10.47 $LaTeX formula: P_{400}(5)\approx \frac{0,8^5e^{-0,8}}{5!}=0,0012$ .
Значения функции 10.63.2 приведены во вкладке «Обратите внимание!».
Ответ: LaTeX formula: 0,0012

Пример 5. Количество нерешенных тестовых заданий имеет нормальное распределение с параметры LaTeX formula: a=4

и $LaTeX formula: \sigma =1,2$ . Найдите вероятность того, что тестируемый не решит от двух до пяти задач.

Решение. Согласно формуле 10.58 получим:
$LaTeX formula: P(2<X<5)=\Phi \left ( \frac{5-4}{1,2} \right )-\Phi \left ( \frac{2-4}{1,2} \right )$ ,
$LaTeX formula: P(2<X<5)=\Phi (0,83)-\Phi (-1,66)$ ,
LaTeX formula: P(2<X<5)=0,2967+0,4515=0,7482

LaTeX formula: P(2<X<5)=0,2967+0,4515=0,7482

.
Значения функции 10.55 найдены по таблице П2 во вкладке «Обратите внимание».
Ответ: LaTeX formula: 0,7482

Пример 6. Нормальное распределение LaTeX formula: CBX

имеет параметры LaTeX formula: a=15

, $LaTeX formula: \sigma =0,2$ . Найдите вероятность отклонения LaTeX formula: CBX

от ее среднего значения на величину, не превышающую LaTeX formula: 0,5

Решение. Согласно формуле 10.59 получим:
$LaTeX formula: P(\left | X-15 \right |<0,5)=2\Phi \left ( \frac{0,5}{0,2} \right )=2\Phi (2,5)=2\cdot 0,4938=0,9876$ .
Ответ: LaTeX formula: 0,9876

Пример 7. Дисперсии каждой из LaTeX formula: 400

независимых LaTeX formula: CBX

равны

. Найдите вероятность того, что отклонение среднего арифметического значения LaTeX formula: CBX

от среднего арифметического их математических ожиданий по модулю не превзойдет LaTeX formula: 0,1

Решение. Согласно формуле 10.61 запишем:

$LaTeX formula: P(\left | \frac{1}{400} \sum ^{400}_{i=1}X_i-\frac{1}{400}\sum ^{400}_{i=1}M(X_i)\right |\leq 0,1)>1-\frac{2}{400\cdot 0,1^2}=0,5$ .

Ответ:

Пример 8. Событие LaTeX formula: A

может появиться с вероятностью LaTeX formula: p=0,6

в каждом из LaTeX formula: n=300

независимых испытаний. Найдите вероятность того, что отклонение частоты события от вероятности его появления по модулю не превзойдет $LaTeX formula: \varepsilon =0,2$ .

Решение. Согласно формуле 10.62 запишем:

$LaTeX formula: P(\left | \frac{m}{300} -0,6\right |\leq 0,2)\geq 1-\frac{0,6\cdot (1-0,6)}{300\cdot 0,2^2}=1-0,02=0,98$ .

Ответ:

Пример 9. Вероятность изготовления бракованного изделия равна LaTeX formula: 0,1

. Найдите вероятность того, что в партии из LaTeX formula: 400

изделий окажется LaTeX formula: 30

бракованных.

Решение. Согласно условию задачи:
LaTeX formula: n=400

.
Тогда $LaTeX formula: npq=400\cdot 0,1\cdot 0,9=36>10$ .
Аргумент функции $LaTeX formula: \phi (x)$ найдем по формуле 10.63.1:
$LaTeX formula: x=\frac{30-400\cdot 0,1}{\sqrt{36}}=-\frac{10}{6}=-1,66$ .

Значение функции 10.63.2 найдем по таблице П1 во вкладке «Обратите внимание»:
$LaTeX formula: \phi (1,66)=0,1006$ .

По формуле 10.63 получим:
$LaTeX formula: P_{400}(30)\approx \frac{1}{\sqrt{36}}\cdot 0,1006=0,0167$ .
Ответ: LaTeX formula: 0,0167

Пример 10. Вероятность изготовления бракованного изделия равна LaTeX formula: 0,1

. Найдите вероятность того, что в партии из LaTeX formula: 400

изделий окажется не менее LaTeX formula: 20

и не более LaTeX formula: 50

бракованных.

Решение. Согласно условию задачи:
LaTeX formula: n=400

.
Тогда $LaTeX formula: npq=400\cdot 0,q\cdot 0,9=36>10$ .

По формулам 10.64.1 и 10.64.2 найдем аргументы функции Лапласа:
$LaTeX formula: x_1=\frac{20-400\cdot 0,1}{\sqrt{36}}=-\frac{20}{6}=-3,33$ ,
$LaTeX formula: x_2=\frac{50-400\cdot 0,1}{\sqrt{36}}=\frac{10}{6}=1,66$ .

По таблице П2 во вкладке «Обратите внимание» найдем значения функции Лапласа 10.55:

$LaTeX formula: \Phi (-3,33)=-0,49952$ , $LaTeX formula: \Phi (1,66)=0,4515$ .

По формуле 10.64 получим:

$LaTeX formula: P_{400}(20;50)\approx \Phi (1,66)-\Phi (-3,33)=0,4515}+0,49952=$ LaTeX formula: 0,95102

Ответ:

1. Распределение Пуассона представляет собою предельный случай биномиального распределения. Значения функции $LaTeX formula: \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda }$ приведены в таблице П1.

2. Формулы Лапласа 10.63 и 10.64 применяют в случае, если LaTeX formula: npq>10

Таблица П1 значений функции $LaTeX formula: \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda }$

Таблица П2 значений функций

$LaTeX formula: \phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}$ и $LaTeX formula: \Phi (x)=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Законы распределения случайных величин