Формула полной вероятности /qualihelpy

Формула полной вероятности

Справочник / Студент / Теория вероятностей /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Рассмотрим событие LaTeX formula: A

, которое может осуществляться с одним из попарно несовместных событий LaTeX formula: H_1

, …,

.
Если известны вероятности LaTeX formula: P(H_1)

, …,

и условные вероятности LaTeX formula: P(A/H_1)

, …,

, то вероятность события LaTeX formula: A

можно найти по формуле:

$LaTeX formula: P(A)=\sum _{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i)$ . (10.15)

Равенство 10.15 называют формулой полной вероятности.

Формулы Байеса

Известно, что в результате некоторого опыта появилось событие LaTeX formula: A

.
Условные вероятности LaTeX formula: P(H_k/A)

находят по формуле:

$LaTeX formula: P(H_k/A)=\frac{P(H_k)P(A/H_k)}{P(A)}$ , (10.16)

где $LaTeX formula: k=\overline{1,n}$ , LaTeX formula: P(A)

- полная вероятность. события LaTeX formula: A

Формулы 10.16 называют формулами Байеса.

Пример. Рабочие производят однотипные детали. Первый рабочий за смену производит LaTeX formula: 1000

деталей, второй LaTeX formula: 1200

, а третий LaTeX formula: 800

. Брак у первого рабочего составляет LaTeX formula: 3

%, у второго – LaTeX formula: 1

%, а у третьего – LaTeX formula: 2

%. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что ее произвел третий рабочий?

Решение. Пусть LaTeX formula: A

– событие, состоящее в том, что наудачу взятое изделие оказалось бракованным, LaTeX formula: H_1

– события, состоящие в том, что изделие произведено первым, вторым и третьим рабочим соответственно.
Тогда:
$LaTeX formula: P(H_1)=\frac{1000}{1000+1200+800}=\frac{1000}{3000}=\frac{1}{3}$ ,

$LaTeX formula: P(H_2)=\frac{1200}{3000}=\frac{2}{5}$ , $LaTeX formula: P(H_3)=\frac{800}{3000}=\frac{4}{15}$ .

Согласно условию задачи:

По формуле полной вероятности 10.15 получим:

LaTeX formula: P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)+P(H_3)P(A/H_3)

,
$LaTeX formula: P(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{100}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{100}+\frac{4}{15}\cdot \frac{2}{100}=\frac{29}{1500}$ .

По формуле Байеса 10.16:

$LaTeX formula: P(H_3/A)=\frac{P(H_3)P(A/H_3)}{P(A)}$ ,
$LaTeX formula: P(H_3/A)=\frac{4}{15}\cdot \frac{2}{100}:\frac{29}{1500}=\frac{8}{29}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{8}{29}$ .

В формулах Байеса 10.16
события LaTeX formula: H_k

называют гипотезами,
LaTeX formula: P(H_n)

– априорными вероятностями гипотез,
LaTeX formula: P(H_k/A)

– апостериорными вероятностями гипотез.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_4_полная_вероятность

Формула полной вероятности