Комбинаторика и вероятность /qualihelpy

Комбинаторика и вероятность

Справочник / Студент / Теория вероятностей /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют и для подсчета числа равновозможных событий.

Перестановки

Перестановками называют множества, состоящие из одних и тех же элементов и отличающихся друг от друга только их порядком.
Число всевозможных перестановок из LaTeX formula: n

различных элементов обозначают LaTeX formula: P_n

и находят по формуле:

. (10.4)

Если некоторые элементы множества повторяются, то число перестановок с повторениями находят по формуле:

$LaTeX formula: P_n(n_1,n_2,...,n_k)=\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}$ , (10.4.1)

где

– число элементов одного вида, LaTeX formula: n_2

– число элементов другого вида и т. д., LaTeX formula: n_1+n_2+...+n_k=n

Сочетания

Сочетаниями называют множества, содержащие LaTeX formula: m

элементов из LaTeX formula: n

заданных, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний из LaTeX formula: n

различных элементов по LaTeX formula: m

обозначают LaTeX formula: C_n^m

и находят по формуле:

$LaTeX formula: C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ . (10.5)

Размещения

Размещениями называют множества, содержащие LaTeX formula: m

элементов из LaTeX formula: n

заданных, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Число размещений из LaTeX formula: n

различных элементов по LaTeX formula: m

обозначают LaTeX formula: A_n^m

и находят по формуле:

$LaTeX formula: A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$ . (10.6)

Правила комбинаторики

1. Правило суммы.
Если элемент LaTeX formula: a

может быть выбран из множества элементов LaTeX formula: n

способами, а элемент LaTeX formula: b

может быть выбран LaTeX formula: m

способами, то выбрать либо LaTeX formula: a

, либо

можно

способами.

2. Правило произведения.
Если элемент LaTeX formula: a

может быть выбран из множества элементов LaTeX formula: n

способами и после каждого такого выбора другой элемент LaTeX formula: b

может быть выбран LaTeX formula: m

способами, то выбрать LaTeX formula: a

в указанном порядке можно $LaTeX formula: n \cdot m$ способами.

Урновая схема

Из некоторого множества объема LaTeX formula: N

разнородных элементов, среди которых LaTeX formula: M

элементов с определенными свойствами (особенных), выбирают LaTeX formula: n

элементов. Требуется определить вероятность того, что в выборке окажется LaTeX formula: m

особенных элементов.

Н а п р и м е р, из урны, содержащей LaTeX formula: N

шаров, среди которых LaTeX formula: M

белых, а остальные черные, выбирают LaTeX formula: n

шаров:

Вероятность того, что в выборке окажется LaTeX formula: m

белых шаров (событие LaTeX formula: A

) можно найти по формуле:

$LaTeX formula: P(A)=\frac{C_M^m \cdot C_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$ . (10.7)

Пример 1. Определим, сколькими способами можно рассадить за столом трех человек.

Решение. Поскольку все элементы множества различны, то согласно формуле 10.4 получим:
$LaTeX formula: P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ .

Ответ:

Пример 2. Определим, сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове КНИГИ.

Решение. Поскольку имеем повторяющиеся элементы (две буквы И), то согласно формуле 10.4.1 получим:
$LaTeX formula: P_5=(2,1,1,1)=\frac{5!}{2!}=\frac{2!\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{2!}=60$ .

Ответ:

Пример 3. Определим, сколькими способами можно выбрать три буквы из букв А, Б, О, Г, Е.

Решение. Поскольку при выборе трех букв не важен порядок их следования, то найдем число сочетаний по три элемента из пяти.
Согласно формуле 10.5 получим:
$LaTeX formula: C_5^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5}{1\cdot 2\cdot 3!}=10$ .

Ответ:

Пример 4. Определим, сколько слов из четырех букв можно составить, имея буквы А, Б, О, Г, Е.

Решение. Поскольку при составлении слов важен порядок следования букв, то найдем число размещений по четыре элемента из пяти.
Согласно формуле 10.6 получим:
$LaTeX formula: A_5^4=\frac{5!}{(5-4)!}=\frac{5!}{1!}=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$ .

Ответ:

1. Факториалы натурального числа :
$LaTeX formula: n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$ ;
$LaTeX formula: n!=(n-1)!\cdot n$ .
2. По определению полагают LaTeX formula: 0!=1

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_2_комбинаторика

Комбинаторика и вероятность