Рациональные неравенства /qualihelpy

Рациональные неравенства

Справочник / Школьник / Неравенства /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Целым рациональным неравенством называют неравенство вида LaTeX formula: f(x)< 0

(>, ≤, ≥), где LaTeX formula: f(x)

– алгебраический многочлен.

Дробным рациональным неравенством называют неравенство вида $LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}< 0$ (>, ≤, ≥), где LaTeX formula: f(x)

– алгебраические многочлены. Очевидно, что множество решений дробно-рационального неравенства не должно содержать корней многочлена LaTeX formula: g(x)

Рассмотрим дробно-рациональную функцию $LaTeX formula: f(x)=\frac{g_{1}(x)}{g_{2}(x)}$ . Корни многочлена $LaTeX formula: g_{1}(x)$ называют нулями функции, а корни многочлена $LaTeX formula: g_{2}(x)$ называют точками разрыва функции.

Решая дробно-рациональное неравенство $LaTeX formula: \frac{g_{1}(x)}{g_{2}(x)}< 0$ (>, ≤, ≥) методом интервалов можно не находить область определения функции $LaTeX formula: f(x)=\frac{g_{1}(x)}{g_{2}(x)}$ , а нанести на координатную прямую ее нули и точки разрыва и определить знаки значений функции на полученных промежутках.

Пример 1. Решите неравенство $LaTeX formula: (2-x)^{2}(x+3)^{3}(x-7)< 0$ .

Решение. 1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=(2-x)^{2}(x+3)^{3}(x-7)$ .

2. Найдем нули функции, решая уравнение

$LaTeX formula: (2-x)^{2}(x+3)^{3}(x-7)=0$ .

Получим $LaTeX formula: x_{1,2}=2$ , $LaTeX formula: x_{3,4,5}=-3$ , $LaTeX formula: x_{6}=7$ .

3. Корни нечетной кратности –3 и 7 нанесем на координатную прямую один раз, а корень четной кратности 2 – два раза (рис. 7.8).

Определим знаки значений функции на любом промежутке, например, на промежутке LaTeX formula: (-3;2)

, найдя значение функции в точке LaTeX formula: x=0

, принадлежащей этому промежутку: $LaTeX formula: f(0)=(-2)^{2} \cdot 3^{3} \cdot (-7)< 0$ .

Определим знаки значений функции на остальных промежутках, чередуя их при переходе через точки –3 и 7 и сохраняя знак (чередуя дважды) при переходе через точку 2.

4. Объединив промежутки, на которых функция отрицательна, получим решение данного неравенства: $LaTeX formula: (-3;2)\cup (2;7)$ .

Ответ: $LaTeX formula: (-3;2)\cup (2;7)$ .

Пример 2. Решите неравенство $LaTeX formula: \frac{x^{2}(x+1)}{x^{2}-4}\geq 0$ .

Решение. 1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{2}(x+1)}{x^{2}-4}$ .

2. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: x^{2}(x+1)=0$ . Получим $LaTeX formula: x_{1,2}=0$ , $LaTeX formula: x_{3}=-1$ . Найдем точки разрыва функции, решая уравнение $LaTeX formula: x^{2}-4=0$ . Получим $LaTeX formula: x_{4}=-2$ , $LaTeX formula: x_{5}=2$ .

3. Нанесем нули и точки разрыва функции на координатную прямую, при этом точки разрыва отметим на координатной прямой «пустыми» кружочками, а нули функции «зачерненными» кружочками (рис. 7.9). Определим знаки значений функции на полученных промежутках.

4. Так как функция $LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{2}(x+1)}{x^{2}-4}$ может быть как положительной, так и равной нулю (на это указывает смысловой знак неравенства $LaTeX formula: \geq$ ), то решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция неотрицательна и число LaTeX formula: 0

$LaTeX formula: (-2;1]\cup (2;+\infty )\cup \left \{ 0 \right \}$ .

Ответ: $LaTeX formula: (-2;1]\cup (2;+\infty )\cup \left \{ 0 \right \}$ .

Пример 3. Решите неравенство $LaTeX formula: x^{8}+9x^{6}+6x< 6x^{7}+x^{2}+9$ .

Решение. Запишем неравенство в виде $LaTeX formula: x^{8}-6x^{7}+9x^{6}-x^{2}+6x-9< 0$ и разложим его левую часть на множители: $LaTeX formula: x^{6}(x^{2}-6x+9)-(x^{2}-6x+9)< 0$ , $LaTeX formula: (x^{2}-6x+9)(x^{6}-1)< 0$ , $LaTeX formula: (x-3)^{2}(x^{6}-1)< 0$ .

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=(x-3)^{2}(x^{6}-1)$ .

2. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: (x-3)^{2}(x^{6}-1)=0$ , равносильное совокупности уравнений $LaTeX formula: (x-3)^{2}=0$ и $LaTeX formula: x^{6}-1=0$ . Получим $LaTeX formula: x_{1,2}=3$ , $LaTeX formula: x_{3,4}=\pm 1$ .

3. Нанесем нули функции на координатную прямую (рис. 7.10) и определим знаки функции на полученных промежутках.

4. Решением неравенства является промежуток, на котором функция $LaTeX formula: f(x)=(x-3)^{2}(x^{6}-1)$ отрицательна: LaTeX formula: (-1;1)

Ответ:

Пример 4. Решите неравенство $LaTeX formula: \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}-4x-5}< 0$ .

Решение. 1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}-4x-5}$ .

2. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: x^{4}+x^{2}+1=0$ . Поскольку LaTeX formula: D< 0

, то уравнение не имеет действительных корней. Найдем точки разрыва функции, решая уравнение $LaTeX formula: x^{2}-4x-5=0$ , откуда $LaTeX formula: x_{1}=-1$ и $LaTeX formula: x_{2}=5$ .

3. Нанесем числа –1 и 5 на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.11).

4. Решением неравенства является промежуток, на котором функция $LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}-4x-5}$ отрицательна: LaTeX formula: (-1;5)

Ответ:

Пример 5. Определите количество целых решений неравенства $LaTeX formula: \left ( \frac{-x}{x-5} \right )^{2}+\frac{-10x}{0,2(5-x)^{2}(x+5)}\leq \frac{1}{0,2x+1}$ .

Решение. Запишем неравенство в виде $LaTeX formula: f(x)\leq 0$ :

$LaTeX formula: \frac{x^{2}}{(x-5)^{2}}-\frac{50x}{(x-5)^{2}(x+5)}-\frac{5}{(x+5)}\leq 0$ ,

$LaTeX formula: \frac{x^{2}(x+5)-50x -5(x-5)^{2}}{(x-5)^{2}(x+5)}\leq 0$ , $LaTeX formula: \frac{x^{3}+5x^{2}-50x-5x^{2}+50x-125}{(x-5)^{2}(x+5)}\leq 0$ , $LaTeX formula: \frac{x^{3}-125}{(x-5)^{2}(x+5)}\leq 0$ .

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{3}-125}{(x-5)^{2}(x+5)}$ .

2. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: x^{3}-125=0$ , откуда LaTeX formula: x=5

. Найдем точки разрыва функции, решая уравнения $LaTeX formula: (x-5)^{2}=0$ , откуда $LaTeX formula: x_{1,2}=5$ и LaTeX formula: x+5=0

, откуда

3. Нанесем полученные числа на координатную прямую (рис. 7.12) и определим знак значений функции $LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{3}-125}{(x-5)^{2}(x+5)}$ на промежутке LaTeX formula: (-5;5)

, подставив в функцию любое число из указанного промежутка, например, число 0: LaTeX formula: f(0)=-1< 0

. Определим знак значений функции на остальных промежутках, чередуя их при переходе через точки 5 и –5 (числа 5 и –5 – корни нечетной кратности).

4. Так как функция не положительна, то решением исходного неравенства является интервал LaTeX formula: (-5;5)

(рис. 7.12).

Запишем целые решения неравенства: LaTeX formula: -4

Ответ: 9.

Пример 6. Найдите среднее арифметическое целых решений неравенства $LaTeX formula: 1< \frac{3x^{2}-7x+8}{x^{2}+1}< 2$ .

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{3x^{2}-7x+8}{x^{2}+1}> 1, & & & \\ & & & \\ \frac{3x^{2}-7x+8}{x^{2}+1}< 2. & & & \end{matrix}\right.$ Решим каждое неравенство системы методом интервалов, предварительно умножив эти неравенства на $LaTeX formula: x^{2}+1> 0$ .

1. Первое неравенство примет вид $LaTeX formula: 3x^{2}-7x+8> x^{2}+1$ или $LaTeX formula: 2x^{2}-7x+7> 0$ . Оно справедливо для любых $LaTeX formula: x\in R$ , так как график квадратичной функции $LaTeX formula: y=2x^{2}-7x+7$ не пересекает ось абсцисс (D < 0) и ветви параболы направлены вверх.

2. Второе неравенство примет вид $LaTeX formula: x^{2}-7x+6< 0$ . Его решение: $LaTeX formula: x\in (1;6)$ (рис. 7.13).

Поскольку решение второго неравенства является подмножеством решений первого, то интервал LaTeX formula: (1; 6)

является решением исходной системы неравенств. Запишем целые решения системы неравенств: 2, 3, 4, 5. Найдем среднее арифметическое этих чисел: LaTeX formula: (2+3+4+5):4=3,5

Ответ:

Пример 7. Найдите сумму целых решений системы неравенств $LaTeX formula: \frac{4}{x-2}< \frac{2}{x+1}\leq \frac{2}{x}$ , удовлетворяющих условию $LaTeX formula: 0,04x^{2}\leq 1$ .

Решение. Запишем неравенство $LaTeX formula: 0,04x^{2}\leq 1$ в виде $LaTeX formula: x^{2}-25\leq 0$ , $LaTeX formula: (x-5)(x+5)\leq 0$ и решим его методом интервалов.

Согласно рисунку 7.14 запишем его решение: $LaTeX formula: x\in \left [ -5;5 \right ]$ .

Решим систему неравенств $LaTeX formula: \frac{2}{x-2}< \frac{1}{x+1}\leq \frac{1}{2x}$ на отрезке $LaTeX formula: \left [ -5;5 \right ]$ :

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x-2}< \frac{1}{x+1}, & & & \\ & & & \\ \frac{1}{x+1}\leq \frac{1}{2x}; & & & \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x-2}-\frac{1}{x+1}< 0, & & & \\ & & & \\ \frac{1}{x+1}-\frac{1}{2x}\leq0; & & & \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{x+4}{(x-2)(x+1)}< 0, & & & \\ & & & \\ \frac{x-1}{2x(x+1)}\leq 0. & & & \end{matrix}\right.$

Решение первого неравенства системы показано на рисунке 7.15: $LaTeX formula: x\in \left [ -5;-4)\cup (1;2)$ .

Решение второго неравенства системы показано на рисунке 7.16: $LaTeX formula: x\in \left [ -5;-1)\cup (0;1]$ .

Решение системы неравенств показано на рисунке 7.17: $LaTeX formula: x\in \left [ -5;4)\cup (0;1]$ .

Исходная система неравенств имеет два целых решения, удовлетворяющих условию $LaTeX formula: x^{2}\leq 25$ . Найдем сумму этих решений: LaTeX formula: -5+1= -4

Ответ:

Пример 8. Найдите область определения функции $LaTeX formula: y=\sqrt{\frac{16x-16-4x^{2}}{x-1}}+1$ .

Решение. Имеем иррациональную функцию четной степени корня. Следовательно, выражение, стоящее под знаком радикала, не должно быть отрицательным: $LaTeX formula: \frac{16x-16-4x^{2}}{x-1}}\geq 0$ или $LaTeX formula: \frac{x^{2}-4x+4}{1-x}\geq 0$ , $LaTeX formula: \frac{(x-2)^{2}}{1-x}\geq 0$ .

Решим полученное неравенство методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=\frac{(x-2)^{2}}{1-x}$ .

2. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: (x-2)^{2}=0$ , откуда $LaTeX formula: x_{1,2}=2$ . Найдем точки разрыва функции, решая уравнение LaTeX formula: 1-x=0

, откуда

3. Нанесем нули и точки разрыва функции на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.18).

4. Решением неравенства является промежуток $LaTeX formula: (-\infty ;0)$ , на котором функция $LaTeX formula: f(x)=\frac{(x-2)^{2}}{1-x}$ положительна, и точка 2, в которой функция обращается в нуль.

Ответ: $LaTeX formula: (-\infty ;0)\cup \left \{ 2 \right \}$ .

Сравните решения неравенств:

1) неравенство $LaTeX formula: (x+a)^{2}\geq 0$ выполняется при $LaTeX formula: x\in R$ ;

2) неравенство $LaTeX formula: (x+a)^{2}> 0$ выполняется при $LaTeX formula: x\neq -a$ ;

3) неравенство $LaTeX formula: (x+a)^{2}< 0$ решений не имеет;

4) неравенство $LaTeX formula: (x+a)^{2}\leq 0$ имеет единственное решение LaTeX formula: x=-a

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_3_рациональные_неравенства

Рациональные неравенсвта