Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
(5.1)
(5.2.1) и 
(5.2.2) и 
(5.3)
, 
. 
Уравнение вида 
называют линейным. Любое уравнение первой степени с одной переменной в результате равносильных преобразований можно представить в виде и, если 
найти его решение: 
называют линейным. Любое уравнение первой степени с одной переменной в результате равносильных преобразований можно представить в виде и, если найти его решение: Например, 
Исследование решений линейных уравнений
Рассмотрим уравнение вида 
1. Если 
и 
то уравнение имеет только одно решение:
и то уравнение имеет только одно решение: Например, 
2. Если 
и 
то уравнение 
примет вид 
или 
Поскольку получили верное равенство, не зависящее от значений переменной 
то решением уравнения является любое действительное число. Говорят, что уравнение имеет бесконечное множество решений и записывают: 
и то уравнение примет вид или Поскольку получили верное равенство, не зависящее от значений переменной то решением уравнения является любое действительное число. Говорят, что уравнение имеет бесконечное множество решений и записывают: Например, уравнение 
имеет бесконечное множество решений.
имеет бесконечное множество решений. 3. Если и 
то 
или 
Поскольку полученное числовое равенство не верно, то уравнение корней не имеет. Записывают: 
и то или Поскольку полученное числовое равенство не верно, то уравнение корней не имеет. Записывают: Например, уравнение 
не имеет решений.
не имеет решений. Решение систем линейных уравнений
Решать системы линейных уравнений можно:
1) складывая или вычитая уравнения системы;
2) выражая переменную из одного уравнения системы, и подставляя ее в другое уравнение.
Исследование систем линейных уравнений
Рассмотрим прямые 
и 
и систему линейных уравнений 
и и систему линейных уравнений 1. Система имеет одно решение (прямые пересекаются), если
(5.1)2. Система не имеет решений (прямые параллельны), если
(5.2.1) и (5.2.2)3. Система имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают), если
и (5.3)Пример 1. Найдите все значения 
и 
при которых уравнение 
имеет бесконечно много решений.
и при которых уравнение имеет бесконечно много решений.Решение. Приведем уравнение к виду 
Запишем:
Запишем: , . Уравнение имеет бесконечно много решений, если 
и 
то есть если 
и 
и то есть если и Ответ: ; 
.
; .Пример 2. Найдите сумму координат точки пересечения прямых 
и 
и Решение. Координаты точки пересечения заданных прямых найдем, решая систему уравнений 
Выполним ряд преобразований.
1. Умножим первое уравнение системы на 
а второе на 
Получим: 
а второе на Получим: 2. Сложим уравнения системы: 
откуда 
откуда 3. Подставим значение 
в любое уравнение системы, например, в уравнение 
и найдем значение
откуда 
в любое уравнение системы, например, в уравнение и найдем значение откуда 4. Найдем сумму координат точки пересечения заданных прямых: 
Ответ: 
Пример 3. Найдите все значения 
при которых система уравнений 
не имеет решений.
при которых система уравнений не имеет решений.Решение. Запишем каждое уравнение системы в виде 
Преобразуем первое уравнение системы, предварительно умножив его на 
Получим: 
Преобразуем второе уравнение системы, предварительно умножив его на 
Получим: 
Рассмотрим два случая.
2. Рассмотрим исходную систему при условии, что
Подставляя значение в каждое уравнение этой системы, получим: 
Очевидно, что, при условии, что система не имеет решений, так как 
Подставляя значение в каждое уравнение этой системы, получим: Очевидно, что, при условии, что система не имеет решений, так как Ответ:
Линейное уравнение может не иметь решений, иметь только одно решение или иметь бесконечное множество решений. Но не может, например, иметь два или три решения.