Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Опытом (испытанием, экспериментом) называют осуществление комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление.
Событие – возможный результат опыта. Если событие не разбивается на более простые составляющие, то его называют элементарным. Для обозначения событий используют любую заглавную букву или набор букв, например: , , , и т.п.
Например, в результате игры в шахматы могут произойти следующие события: «выигрыш», «проигрыш», «ничья».
События равновозможные, если нет оснований полагать, что у одного события есть больше шансов появиться, чем у другого.
Например, при подбрасывании монеты события (появление на верхней стороне монеты орла) и (появление решка) будут равновозможными, если монета не деформирована.
Различают:
а) достоверные события, которые обязательно произойдут в данном опыте;
б) случайные события, которые могут произойти, а могут и не произойти в данном опыте;
в) невозможные события, которые никогда не произойдут в данном опыте.
Достоверные события, как правило, обозначают буквой , а невозможные буквой .
Например, из урны, в которой находятся красные и синие шары, наудачу извлекается один шар. Событие «появление синего шара» – случайное, «появление не белого шара» – достоверное, «появление не красного шара» – случайное, «появление черного шара» – невозможное.
Два события называют совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления и другого.
Например, если подбросить две монеты, то события «появилась решка» и событие «появился орел» будут совместными. Если же подбросить одну монету, то события и будут несовместными.
Два события называют противоположными в данном опыте, если появление одного из них равносильно не появлению другого. Обозначают: и . Например, «выигрыш» и «проигрыш» лотерейного билета.
Множество событий называют полной группой событий, если они попарно несовместны и появление одного и только одного из них является достоверным событием.
Например, если бросить игральный кубик, то может быть шесть исходов (событий) и они образуют полную группу событий: (на верхней грани выпала цифра 1), (цифра 2), , , , .
Вероятностью события называют числовую характеристику, определяющую степень возможности интересующего результата в условиях проводимого опыта.
Вероятность события обозначают .
Определения вероятности появления события.
1. Классическое:
, (10.1)
где – количество всевозможных исходов опыта, которые образуют полную группу событий, – количество исходов, благоприятствующих появлению события .
Например, если подбросить монету, то вероятности событий «появилась решка» и «появился орел», будут равны: , .
2. Статистическое (относительная частота события):
, (10.2)
где – количество проведенных опытов, – количество опытов, в которых появилось событие .
Свойства вероятностей
1. Вероятность достоверного события равна , так как .
2. Вероятность невозможного события рана , так как .
3. Вероятность случайного события , так как .
Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет неравенствам:
. (10.3)
Пример 1. Из урны, в которой находится красных, синих и оранжевых шара, наудачу извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлечен: а) красный шар; б) не оранжевый шар; в) не зеленый шар; г) белый шар?
Решение. Вероятность события находят по формуле 10.1 . В нашем случае количество всевозможных исходов .
Вероятность того, что будет извлечен красный шар (благоприятных исходов ), равна: .
Вероятность того, что будет извлечен не оранжевый шар (красный или синий), равна: .
Вероятность того, что будет извлечен не зеленый шар (все шары не зеленые), равна: .
Вероятность того, что будет извлечен белый шар (таких шаров нет), равна .
Пример 2. Монету подбросили раз. Оказалось, что цифра появилась раза. Найдите относительную частоту этого события.
Решение. Относительную частоту события находят по формуле 10.2 . Поскольку количество проведенных опытов , а количество опытов, в которых появилась цифра (событие ) , то относительная частота этого события равна .
1. Закономерности появления массовых случайных событий изучает наука теория вероятностей.
2. При достаточно большом количестве опытов относительная частота события приближается к теоретической вероятности этого события.
3. Если события , , …, образуют полную группу событий, то .
4. Сумма вероятностей противоположных событий равна . Так, если , а , то .