Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Степенным рядом называют ряд вида
LaTeX formula: \sum_{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+..., (9.7)

где LaTeX formula: c_{n}\neq 0 – действительные числа, которые называют коэффициентами ряда. Степенной ряд представляет собою частный случай функционального ряда.

ПриLaTeX formula: a=0 степенной ряд принимает вид

LaTeX formula: \sum_{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+... (9.8)

Теорема Абеля : если степенной ряд 9.8 сходится в точке LaTeX formula: x_{0}  , то он сходится абсолютно в любой точке LaTeX formula: x, такой, что LaTeX formula: \left | x \right |< \left | x_{0} \right |  . 

Следствие: если степенной ряд 9.8  расходится в точке LaTeX formula: x_{0} , то он расходится в любой точке LaTeX formula: x, такой, что LaTeX formula: \left | x \right |> \left | x_{0} \right | .

Для степенного ряда 9.8   радиусом сходимости   называют такое число LaTeX formula: R, что при LaTeX formula: \left | x \right |< R ряд сходится, а приLaTeX formula: \left | x \right |> R расходится. Интервал LaTeX formula: (-R;R) называют  интервалом сходимости ряда. 
Для степенного ряда 9.7 число LaTeX formula: R называют  радиусом сходимости , если при LaTeX formula: \left | x -a\right |< R ряд сходится, а приLaTeX formula: \left | x -a\right |> R расходится. Интервал LaTeX formula: (a-R;a+R) называют интервалом сходимости  этого ряда.

Радиус сходимости находят по одной из формул:
LaTeX formula: R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |; (9.9)

LaTeX formula: R=\left (\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{c_{n}}\right )^{-1}. (9.10)

Интервал сходимости находят, используя признак Даламбера или Коши:
LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\left | \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right |< 1; (9.11)  

LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\left |\sqrt[n]{u_{n}}\right |< 1. (9.12)

Ряд Тейлора и ряд Маклорена

Если функция LaTeX formula: f(x) разлагается в степенной ряд 

LaTeX formula: f(x)=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+...+c_{n}(x-a)^{n}+... (LaTeX formula: n\in N )

в некоторой окрестности точки LaTeX formula: a, то ее можно представить в виде:

 LaTeX formula: f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}LaTeX formula: (x-a)^{n}+... (9.13)

Ряд, записанный в правой части формулы 9.13, называют  рядом Тейлора для функци LaTeX formula: y=f(x) и в окрестности точки LaTeX formula: x=a  .

Если функция LaTeX formula: y=f(x)  бесконечно дифференцируема в окрестности точки LaTeX formula: a, то есть в интервале LaTeX formula: (a-h;a+h)  , и ее производные равномерно ограничены в этом интервале, то ее всегда можно разложить в ряд Тейлора.

При LaTeX formula: a=0 получим  ряд Маклорена для функции LaTeX formula: f(x) :

LaTeX formula: f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+...+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}+.... (9.14)

Разложения некоторых функций в ряд Маклорена 9.14:

LaTeX formula: e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+... ;
LaTeX formula: \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...+\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+...;
LaTeX formula: \cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{5}}{5!}+...+\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+...;
LaTeX formula: \ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}-\frac{x^{4}}{4!}+...+\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+....






Пример 1. Найдите радиус и интервал сходимости ряда LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(x+1)^{n}5^{n}}{\sqrt{n+2}}.
Решение. Найдем радиус сходимости ряда. Запишем LaTeX formula: c_{n}=\frac{5^{n}}{\sqrt{n+2}} , LaTeX formula: c_{n+1}=\frac{5^{n+1}}{\sqrt{n+3}}  и применим формулу 9.9
LaTeX formula: R=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{5^{n}\sqrt{n+3}}{5^{n+1}\sqrt{n+2}} \right |=\frac{1}{5}\lim_{n \to \infty }\sqrt{\frac{n+3}{n+2}}=LaTeX formula: \frac{1}{5}\cdot 1=0,2.
Поскольку имеем ряд 9.7 и знаем, что LaTeX formula: a=-1 , а LaTeX formula: R=0,2 , то интервал сходимости этого ряда можем найти так: LaTeX formula: (a-R;a+R) , LaTeX formula: (-1-0,2;-1+0,2)LaTeX formula: (-1,2;-0,8)

Ответ :LaTeX formula: R=0,2;  LaTeX formula: (-1,2;-0,8).  

Пример 2. Найдите область сходимости рядаLaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n-1}}{n^{3}} .

Решение . Запишем LaTeX formula: u_{n}=\frac{x^{2n-1}}{n^{3}} , LaTeX formula: u_{n+1}=\frac{(x+2)^{2n+1}}{(n+1)^{3}} и применим признак Даламбера 9.11
LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\left | \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right |=LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\left | \frac{x^{2n+1}n^{3}}{(n+1)^{3}x^{2n-1}} \right |=LaTeX formula: x^{2}\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n}{n+1} \right )^{3}=x^{2}.
Согласно формуле 9.11  LaTeX formula: x^{2}< 1, откуда LaTeX formula: \left |x \right |< 1LaTeX formula: x\in (-1;1) – интервал сходимости ряда.
На концах промежутка LaTeX formula: \left [ -1;1 \right ] ряд может сходиться или расходиться.
При LaTeX formula: x=-1 получим знакочередующийся ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{2n-1}}{n^{3}} . Применим признак Лейбница: 1) LaTeX formula: a_{n}=\frac{1}{n^{3}}  ,  LaTeX formula: a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{3}} и LaTeX formula: a_{n}> a_{n+1} ; 2) LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{3}}=0 . Следовательно, ряд сходится. 
При LaTeX formula: x=1 получим ряд Дрихле LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{3}} , который сходится.
ОтветLaTeX formula: \left [ -1;1 \right ] .

Пример 3. Разложите в ряд Маклорена 9.14 функцию LaTeX formula: f(x)=(1+x)^{\alpha } .

Решение.  Найдем значение функции в точке LaTeX formula: x=0 :  LaTeX formula: f(x)=(1+0)^{\alpha }=1.

Найдем производные данной функции и значения производных в точке LaTeX formula: x=0
LaTeX formula: f'(x)=\alpha (1+x)^{\alpha-1 },LaTeX formula: f'(0)=\alpha (1+0)^{\alpha-1 }=\alpha ;
LaTeX formula: f''(x)=\alpha(\alpha -1) (1+x)^{\alpha-2 },LaTeX formula: f''(0)=\alpha (\alpha -1)(1+0)^{\alpha-2 }=\alpha (\alpha -1) ;
LaTeX formula: f'''(x)=\alpha(\alpha -1)(\alpha -2) (1+x)^{\alpha-3 },LaTeX formula: f'''(0)=\alpha (\alpha -1)(\alpha -2) ;

LaTeX formula: f^{n}(x)=\alpha(\alpha -1)(\alpha -2) \cdot ...\cdot (\alpha -n+1)(1+x)^{\alpha-n },
LaTeX formula: f^{n}(0)=\alpha(\alpha -1)(\alpha -2) \cdot ...\cdot (\alpha -n+1).
Согласно формуле 9.14 запишем: LaTeX formula: (1+x)^{\alpha }=1+\frac{\alpha }{1!}x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+...+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)...(\alpha -n+1)}{n!}x^{n}+...LaTeX formula: ... 

1. На концах промежутка LaTeX formula: \left [ -R;R \right ] степенной ряд может или сходиться или расходиться.
2. Если LaTeX formula: R=0  , то ряд 9.8 сходится в единственной точке LaTeX formula: x=0  , а ряд 9.7  сходится в точке LaTeX formula: x=a
3. Если LaTeX formula: R=\infty  , то ряды 9.7 и 9.8  сходятся в любой точке, т. е. в интервале LaTeX formula: (-\infty ;+\infty )  .

formula