Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Знакочередующимся рядом называют ряд вида
LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+..., (9.6)
где LaTeX formula: a_{n}> 0 .

Например, ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-...  является знакочередующимся.  

Признак Лейбница : если LaTeX formula: \forall n\in N LaTeX formula: a_{n}\geq a_{n+1} и LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }a_{n}=0, то ряд 9.6 сходится. 
Если ряд  LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}, составленный из модулей членов ряда 9.6 , сходится, то ряд 9.6 сходится абсолютно .
Если ряд  LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} расходится, а ряд 9.6 сходится, то ряд 9.6  сходится условно .



Пример 1 . Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}.
Решение . Запишем ряд, составленный из модулей членов данного ряда: LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}+1}. Так как члены ряда положительны и не возрастают, то применим интегральный признак Коши:
LaTeX formula: \int_{1}^{\infty }\frac{dn}{n^{2}+1}=arctgn\left | _{1}^{\infty }=\lim_{n \to \infty }arctgn-arctg1=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}.
Так как ряд, составленный из модулей членов данного ряда, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.

Ответ : Ряд сходится абсолютно.

Пример 2. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n}.
Решение.  Запишем ряд, составленный из модулей членов данного ряда: LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n} . Получили гармонический ряд, который расходится.
Исследуем на сходимость знакочередующийся ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n}, где LaTeX formula: a_{n}=\frac{1}{n}, а LaTeX formula: a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. Согласно признаку Лейбница этот ряд сходится, так как  LaTeX formula: \frac{1}{n}> \frac{1}{n+1} и LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}=0.
Следовательно, данный ряд сходится условно.
Ответ:  Ряд сходится условно.


Если ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} , составленный из модулей членов ряда LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n} , расходится, то сам ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n} может сходиться, а может и расходиться. 
formula