Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Рассмотрим ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} с положительными членами.

1. Признак Даламбера : если существует предел LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=l и LaTeX formula: l< 1 , то ряд сходится, а если LaTeX formula: l> 1 , то ряд расходится. Если LaTeX formula: l=1 , то необходимо воспользоваться другим признаком. 

2. Радикальный признак Коши: если существует предел LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=lиLaTeX formula: l< 1 , то ряд сходится, а если LaTeX formula: l> 1 , то ряд расходится. Если LaTeX formula: l=1 , то необходимо воспользоваться другим признаком.

3. Интегральный признак Коши : если члены ряда положительны и не возрастают и несобственный интегралLaTeX formula: \int_{1}^{\infty }a_{n}dn сходится, то и ряд сходится, а если интеграл расходится (равен бесконечности или не существует), то и ряд расходится.

4. Признаки сравнения рядов LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}  (1) и  LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} (2). 
1. ЕслиLaTeX formula: \forall n\in N   LaTeX formula: a_{n}\leq b_{n} и ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится, а если ряд (1) расходится, то и ряд (2) расходится. 
2. Если существует пределLaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=c\neq 0  , то ряды ( 1 ) и ( 2 ) сходятся или расходятся одновременно.

Пример 1. Исследуйте на сходимость ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{2^{n}}{(2n)!} .
Решение. Применим признак Даламбера.

Так как LaTeX formula: a_{n}=\frac{2^{n}}{(2n)!} , а LaTeX formula: a_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(2n+2)!} , то

LaTeX formula: \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}}{(2n+2)!}\cdot \frac{(2n)!}{2^{n}}=LaTeX formula: \frac{2^{n}\cdot 2\cdot (2n)!}{(2n)!(2n+1)(2n+2)2^{n}}=\frac{2}{4n^{2}+5n+2}.

Тогда LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=2\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n^{2}+5n+2}=2\cdot 0=0< 1 .

Ответ: Ряд сходится.

Пример 2. Исследуйте на сходимость ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{2n-3}{5n+2} \right )^{n} .
Решение. Применим радикальный признак Коши.
Так как  LaTeX formula: \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{\left ( \frac{2n-3}{5n+2} \right )^{n}}=\lim_{n \to \infty }\frac{2n-3}{5n+2}=\frac{2-0}{5+0}=0,4< 0, то ряд сходится.
Ответ: Ряд сходится.

Пример 3. Исследуем на сходимость ряд Дирихле LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}.
Решение. Так как члены ряда положительны и не возрастают, то применим интегральный признак Коши.
Составим интеграл LaTeX formula: \int_{1}^{\infty }\frac{dn}{n^{p}}и рассмотрим три случая:
1) при LaTeX formula: p=1 получимLaTeX formula: \int_{1}^{\infty }\frac{dn}{n}=\ln n|_{1}^{\infty }=\lim_{n \to \infty }\ln n-\ln 1=\infty -1=\infty , следовательно, ряд расходится;
2) при LaTeX formula: p> 1  получим   LaTeX formula: \int_{1}^{\infty }n^{-p}dn=\frac{n^{-p+1}}{-p+1}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{\infty }=\frac{1}{1-p}n^{-p+1}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{\infty }=LaTeX formula: =\frac{1}{1-p}\left ( \left ( \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}\right ) ^{p-1}-1\right )=\frac{1}{1-p}(0-1)=\frac{1}{p-1}, следовательно, ряд сходится;
3) при LaTeX formula: p< 1получим  LaTeX formula: \int_{1}^{\infty }n^{-p}dn=\frac{1}{1-p}\left ( \left ( \lim_{n \to \infty } n\right )^{1-p} -1\right )=\frac{1}{1-p}(\infty -1)=\infty, следовательно, ряд расходится.


1. Гармонический ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n} расходится.
Ряд Дирихле LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}} сходится при LaTeX formula: p> 1 и расходится при LaTeX formula: p\leq 1 .
2. Факториалом  натурального числа LaTeX formula: n называют произведение натуральных чисел от LaTeX formula: 1 до LaTeX formula: n  включительно: LaTeX formula: n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n
Например: LaTeX formula: 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120LaTeX formula: 5!=4!\cdot 5=120LaTeX formula: \frac{100!}{98!}=\frac{98!\cdot 99\cdot 100}{98!}=9900 .
formula