Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Числовым рядом называют выражение вида 

LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+..., (9.1)

где LaTeX formula: a_{1} ,LaTeX formula: a_{2} ,LaTeX formula: a_{3} , …, LaTeX formula: a_{n}, … – последовательность чисел, которые называют членами ряда .

Ряд 9.1 задан, если известно правило, по которому находится его общий член: LaTeX formula: a_{n}=f(n) , где LaTeX formula: n\in N

Примеры некоторых числовых рядов 

1. Арифметический ряд

Рассмотрим арифметическую прогрессию,  общий член которой задается формулой LaTeX formula: a_{n}=a_{1}+d(n-1) . Например, пусть LaTeX formula: a_{1}=1, а LaTeX formula: d=2. Тогда LaTeX formula: a_{n}=1+2(n-1)=2n-1. Запишем арифметический ряд: 

LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }(2n-1)=1+3+5+7+9+...

2. Геометрический ряд

Рассмотрим геометрическую прогрессию, общий член которой задается формулой  LaTeX formula: b_{n}=b_{1}q^{n-1}Например, пусть LaTeX formula: b_{1}=1 , а LaTeX formula: q=2Тогда LaTeX formula: b_{n}=2^{n-1} . Запишем геометрический ряд:

LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }2^{n-1}=1+2+4+8+16+...

А если  LaTeX formula: b_{1}=1 и LaTeX formula: q=\frac{1}{2} , то получим ряд:

LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...

3. Гармоническим рядом называют ряд вида

   LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}+... (9.2)

4.  Рядом Дирихле  называют ряд вида 

LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}=1+\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3^{p}}+\frac{1}{4^{p}}+...+\frac{1}{n^{p}}+..., (9.3)

где LaTeX formula: p\in R . При LaTeX formula: p=1  получаем гармонический ряд.

Частичной n-й суммой ряда  называют сумму конечного числа его LaTeX formula: n первых членов:

LaTeX formula: S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}. (9.4)

Например, частичную сумму арифметического ряда находят по формуле LaTeX formula: S_{n}=\frac{2a_{1}n+dn(n-1)}{2} , а частичную сумму геометрического ряда находят по формуле LaTeX formula: S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^{n})}{1-q}  .

Суммой S ряда называют предел его частичной суммыLaTeX formula: S_{n}  при LaTeX formula: n стремящемся к бесконечности:

LaTeX formula: S=\lim_{n \mapsto\infty }S_{n} (9.5)

Ряд 9.1 сходится , если существует предел последовательности его частичных сумм.

Ряд 9.1  расходится , если предел последовательности его частичных сумм не существует или равен бесконечности.

Необходимое условие сходимости  числового ряда 9.1

если ряд сходится, то LaTeX formula: \lim_{n \mapsto\infty }a_{n}=0.
Следствие из необходимого признака сходимости: 
если LaTeX formula: \lim_{n \mapsto\infty }a_{n}\neq 0  , то ряд 9.1 расходится.
Например: ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{2n+1}{n+1} расходится, так как LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\frac{2n+1}{n+1}=2\neq 0.
Пример. Исследуем на сходимость арифметический и геометрический ряды.
1. Арифметический ряд расходится. Действительно:
 LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }S_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{2a_{1}n+dn(n-1)}{2}=\infty .
2. Геометрический ряд при
 LaTeX formula: \left | q \right |< 1 сходится. Действительно:
LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }S_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{b_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{b_{1}}{1-q}\lim_{n \to \infty }(1-q^{n})LaTeX formula: =\frac{b_{1}}{1-q}(1-0)=\frac{b_{1}}{1-q}.
3. Геометрический ряд при
 LaTeX formula: \left | q \right |> 1 расходится. Действительно:LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }S_{n}=\lim_{n \to \infty }\frac{b_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{b}{1-q}\lim_{n \to \infty }(q^{n}-1)=\frac{b_{1}}{1-q}(\infty -1)LaTeX formula: =\infty.

Если LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }a_{n}=0 , то ряд LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} может сходиться, а может расходиться. Например:
1) геометрический ряд сходится LaTeX formula: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n-1}}  , а LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\frac{1}{2^{n-1}}=0
2) гармонический ряд 9.2 расходится, а LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}=0 .

formula