Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Дифференциальным уравнением LaTeX formula: n-го порядка называют уравнение вида: 
LaTeX formula: f\left ( x;y;y';y'';...;y^{(n)} \right )=0 , (8.1)
где LaTeX formula: y=f(x)  – неизвестная функция, а  LaTeX formula: y,y',y'',...,y^{(n) ,  , …,   – ее производные.
Дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида: 
 LaTeX formula: f\left ( x;y;y'\right )=0 . (8.2)
Например,  LaTeX formula: 2x^2-3y+8y'=0 , LaTeX formula: 2x^2+5=8y'  ,  LaTeX formula: 3y+8y'=2 , LaTeX formula: y'=2  ,  LaTeX formula: sinx=2yy' , LaTeX formula: 3y^2y'-1=e^{2x}  – дифференциальные уравнения первого порядка.
Общим решением уравнения 8.2 называется функция 
 LaTeX formula: y=\phi (x;C) , (8.3)
как семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от произвольной постоянной LaTeX formula: C, и удовлетворяющая условию 8.2.
Например: 1) убедимся в том, что функция LaTeX formula: y=x^2+x+C  – общее решение уравнения  LaTeX formula: y'-2x=1 . Найдем производную этой функции:  LaTeX formula: y'=2x+1+0 . Подставим значения LaTeX formula: y и  LaTeX formula: y' в уравнение LaTeX formula: y'-2x=1  и получим: LaTeX formula: (2x+1)-2x=1 ,  LaTeX formula: 1=1 .
Если общее решение уравнения получено в неявном виде
LaTeX formula: \Phi (x;y;C)=0 , (8.4)
то его называют общим интегралом.
Например, LaTeX formula: y^3=-e^{-x}+e^x+C  – общий интеграл уравнения  LaTeX formula: 3e^xy^2y'=1+e^{2x} .
Решить задачу Коши – значит найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку LaTeX formula: M_0(x_0;y_0)  или иначе найти частное решение
 LaTeX formula: y=\phi (x) , (8.5)
удовлетворяющее начальным условиям  LaTeX formula: y(x_0)=y_0 .
Некоторые виды уравнений первого порядка
1. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными имеет вид: 
LaTeX formula: f(y)dy=f(x)dx . (8.6)
Чтобы решить уравнение 8.6, необходимо проинтегрировать его обе части. Например, решим уравнение  LaTeX formula: 3y^2dy=e^xdx:
LaTeX formula: \int 3y^2dy=\int e^xdx , LaTeX formula: y^3=e^x+C .
2. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид: 
 LaTeX formula: f_1(x)g(y)dx=f_2(x)dy . (8.7)
Чтобы решить уравнение 8.7, необходимо разделить переменные и проинтегрировать обе его части. 
3. Дифференциальное однородное уравнение имеет вид: 
 LaTeX formula: P(x,y)dx=Q(x,y)dy , (8.8)
где LaTeX formula: P(x;y)  и  LaTeX formula: Q(x;y) однородные функции одного и того же порядка: LaTeX formula: P(kx,ky)=k^nP(x,y)  и  LaTeX formula: Q(kx,ky)=k^nQ(x,y) .
Например: LaTeX formula: f(x,y)=2x-3y  – однородная функция первого порядка, так как LaTeX formula: f(kx,ky)=2kx-3ky=k(2x-3y) ; функция LaTeX formula: f(x;y)=sin(x+y)  не является однородной.
Чтобы решить уравнение 8.8, необходимо применить подстановку: 
LaTeX formula: y=ux ,  LaTeX formula: dy=udx+xdu , где  LaTeX formula: u=f(x) . (8.9)
4. Дифференциальное линейное уравнение имеет вид: 
 LaTeX formula: y'+p(x)y+q(x)=0 . (8.10)
Чтобы решить уравнение 8.10, необходимо применить подстановку:
 LaTeX formula: y=uv ,  LaTeX formula: y'=u'v+uv' , где  LaTeX formula: u=f_1(x),  LaTeX formula: v=f_2(x) . (8.11)

Пример 1. Решите уравнение  LaTeX formula: 2x^2+5=8y' .
Решение. Поскольку  LaTeX formula: y'=\frac{dy}{dx}, то запишем данное уравнение так:  LaTeX formula: 2x^2+5=8\frac{dy}{dx},  LaTeX formula: \left ( 2x^2+5 \right )dx=8dy . Получили уравнение вида 8.6 с разделенными переменными. Интегрируя обе его части, найдем общее решение 8.3
 LaTeX formula: \int 8dy=\int \left ( 2x^2+5 \right )dx ,  LaTeX formula: 8y=\frac{2x^3}{3}+5x+8C ,  LaTeX formula: y=\frac{x^3}{12}+\frac{5x}{8}+C .
Ответ:  LaTeX formula: y=\frac{x^3}{12}+\frac{5x}{8}+C .
Пример 2. Найдите частное решение уравнение  LaTeX formula: xdy=ydx, если   LaTeX formula: y(-2)=6 .
Решение. Разделим переменные:  LaTeX formula: \frac{xdy}{xy}=\frac{ydx}{xy} ,  LaTeX formula: \frac{dy}{y}=\frac{dx}{x} . 
Проинтегрируем полученное равенство:  LaTeX formula: \int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x} ,  LaTeX formula: lny=lnx+lnC ,  LaTeX formula: lny=lnCx , LaTeX formula: y=Cx  – общее решение 8.3.
Подставляя значения LaTeX formula: x=-2  и LaTeX formula: y=6  в общее решение уравнения, найдем произвольную постоянную:  LaTeX formula: 6=-2C,  LaTeX formula: C=-3 .
Запишем частное решение  8.5 данного уравнения:  LaTeX formula: y=-3x .
Ответ:  LaTeX formula: y=-3x .
Пример 3. Решите уравнение  LaTeX formula: 4xy'=x+y .
Решение. Запишем уравнение в виде  LaTeX formula: 4xdy=(x+y)dx . 
Функции  LaTeX formula: P(x;y)=4x и LaTeX formula: Q(x;y)=x+y  являются однородными функциями первого порядка, так как 
LaTeX formula: P(kx;ky)=4kx=kP(x;y) , и  LaTeX formula: Q(kx;ky)=kx+ky=kQ(x;y) .
Следовательно, имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка 8.8. Полагая  LaTeX formula: y=ux ,  LaTeX formula: dy=udx+xdu , получим: LaTeX formula: 4x(udx+xdu)=(x+ux)dx ,  LaTeX formula: 4x(udx+xdu)=x(1+u)dx ,  LaTeX formula: 4udx+4xdu=(1+u)dx ,  LaTeX formula: 4xdu=(1+u)dx-4udx , LaTeX formula: 4xdu=(1-3u)dx . 
Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:
 LaTeX formula: \frac{4du}{1-3u}=\frac{dx}{x} ,  LaTeX formula: \int \frac{4d(1-3u)}{-3(1-3u)}=\int \frac{dx}{x} ,  LaTeX formula: \int \frac{d(1-3u)}{1-3u}=-\frac{3}{4}\int \frac{dx}{x} ,  LaTeX formula: ln(1-3u)=-\frac{3}{4}lnx+lnC ,  LaTeX formula: ln(1-3u)=-lnx^{0,75}+lnC ,  LaTeX formula: ln(1-3u)=ln\frac{C}{x^{0,75}} ,  LaTeX formula: 1-3u=\frac{C}{x^{0,75}} , LaTeX formula: u=\frac{1}{3} -\frac{C}{3x^{0,75}} .
Учитывая, что LaTeX formula: y=ux, получим:  LaTeX formula: y=\frac{x}{3} -\frac{Cx}{3x^{0,75}} ,  LaTeX formula: y=\frac{x-Cx^{0,25}}{3} .
Ответ:  LaTeX formula: y=\frac{x-Cx^{0,25}}{3} . 
Пример 4. Решите уравнение LaTeX formula: xy'-y=x-1 .
Решение. Имеем линейное уравнение 8.10 Полагая  LaTeX formula: y=uv ,  LaTeX formula: y'=u'v+uv', получим: 
LaTeX formula: x(u'v+uv')-uv=x-1 , LaTeX formula: xu'v+xuv'-uv=x-1 .
Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель LaTeX formula: u, и вынесем его из скобки:  LaTeX formula: xu'v+(xuv'-uv)=x-1 ,  LaTeX formula: xu'v+u(xv'-v)=x-1 .
Если положим  LaTeX formula: xv'-v=0 , то получим  LaTeX formula: xu'v+u\cdot 0=x-1 .
Запишем систему уравнений:  LaTeX formula: \begin{cases} xv'-v=0 \\ xu'v=x-1 \end{cases}
Решим первое уравнение системы:  LaTeX formula: x\frac{dv}{dx}=v ,  LaTeX formula: xdv=vdx ,  LaTeX formula: \int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{x} ,  LaTeX formula: lnv=lnx   (произвольная постоянная тут всегда равна нулю),  LaTeX formula: v=x .
Подставим полученное значение  LaTeX formula: v=x во второе уравнение системы и решим его:  LaTeX formula: xu'x=x-1 ,  LaTeX formula: u'=\frac{x-1}{x^2} ,  LaTeX formula: \frac{du}{dx}=\frac{x-1}{x^2} ,  LaTeX formula: du=\frac{x-1}{x^2}dx ,  LaTeX formula: \int du=\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{x^2}dx ,  LaTeX formula: u=lnx+\frac{1}{x}+C .
Так как  LaTeX formula: y=uv, то получим:  LaTeX formula: y=xlnx+1+Cx .
Ответ:  LaTeX formula: y=xlnx+1+Cx .
1. Уравнение LaTeX formula: f(x;y;y')=0 может и не содержать переменных LaTeX formula: x и (или) LaTeX formula: y , но обязательно должно содержать  LaTeX formula: y' .
2. Поскольку  LaTeX formula: y'=\frac{dy}{dx} , то дифференциальные уравнения можно записывать и иначе. 
Например: уравнение LaTeX formula: 3y+8y'=2 запишем так:  LaTeX formula: \frac{8dy}{dx}=2-3y,  LaTeX formula: 8dy=(2-3y)dx . 

formula