Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Дифференциальным уравнением -го порядка называют уравнение вида:
, (8.1)
где – неизвестная функция, а , , …, – ее производные.
Дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида:
. (8.2)
Например, , , , , , – дифференциальные уравнения первого порядка.
Общим решением уравнения 8.2 называется функция
, (8.3)
как семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от произвольной постоянной , и удовлетворяющая условию 8.2.
Например: 1) убедимся в том, что функция – общее решение уравнения . Найдем производную этой функции: . Подставим значения и в уравнение и получим: , .
Если общее решение уравнения получено в неявном виде
, (8.4)
то его называют общим интегралом.
Например, – общий интеграл уравнения .
Решить задачу Коши – значит найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку или иначе найти частное решение
, (8.5)
удовлетворяющее начальным условиям .
Некоторые виды уравнений первого порядка
1. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными имеет вид:
. (8.6)
, .
2. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:
. (8.7)
Чтобы решить уравнение 8.7, необходимо разделить переменные и проинтегрировать обе его части.
3. Дифференциальное однородное уравнение имеет вид:
, (8.8)
где и однородные функции одного и того же порядка: и .
Например: – однородная функция первого порядка, так как ; функция не является однородной.
Чтобы решить уравнение 8.8, необходимо применить подстановку:
, , где . (8.9)
4. Дифференциальное линейное уравнение имеет вид:
. (8.10)
Чтобы решить уравнение 8.10, необходимо применить подстановку:
, , где , . (8.11)
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. Поскольку , то запишем данное уравнение так: , . Получили уравнение вида 8.6 с разделенными переменными. Интегрируя обе его части, найдем общее решение 8.3:
, , .
Ответ: .
Пример 2. Найдите частное решение уравнение , если .
Решение. Разделим переменные: , .
Проинтегрируем полученное равенство: , , , – общее решение 8.3.
Подставляя значения и в общее решение уравнения, найдем произвольную постоянную: , .
Ответ: .
Пример 3. Решите уравнение .
Решение. Запишем уравнение в виде .
Функции и являются однородными функциями первого порядка, так как
, и .
Следовательно, имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка 8.8. Полагая , , получим: , , , , .
Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:
, , , , , , , .
Учитывая, что , получим: , .
Ответ: .
Пример 4. Решите уравнение .
, .
Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель , и вынесем его из скобки: , .
Если положим , то получим .
Запишем систему уравнений:
Решим первое уравнение системы: , , , (произвольная постоянная тут всегда равна нулю), .
Подставим полученное значение во второе уравнение системы и решим его: , , , , , .
Так как , то получим: .
Ответ: .
1. Уравнение может и не содержать переменных и (или) , но обязательно должно содержать .
2. Поскольку , то дифференциальные уравнения можно записывать и иначе.
Например: уравнение запишем так: , .