Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Нахождение объема производства
Если производительность труда в момент времени LaTeX formula: t задается функцией LaTeX formula: y=f(t), то объем продукции, выпущенной производителем за промежуток времени LaTeX formula: \left [ 0;T \right ]  находят по формуле: 
LaTeX formula: V=\int_{0}^{T}f(t)dt. (7.53)
Если функция Кобба-Дугласа имеет видLaTeX formula: g(t)=(\alpha t+\beta )e^{\gamma t}, то объем продукции, выпущенной производителем за LaTeX formula: t лет, находят по формуле:
LaTeX formula: V=\int_{0}^{t}(\alpha t+\beta )e^{\gamma t}dt. (7.54) 
Определение среднего времени изготовления единицы продукции
Если функция LaTeX formula: t(x)  выражает время, затраченное на изготовление продукции, то среднее время, затраченное на изготовление единицы продукции, в период освоения изделий от LaTeX formula: x_{1}  до LaTeX formula: x_{2}  находят по формуле:
LaTeX formula: t_{cp.}=\frac{1}{x_{2}-x_{1}}\int_{x_{1}}^{x_{2}} t(x)dx. (7.55)
Средним значением функции LaTeX formula: f(x)  на отрезке  LaTeX formula: [a;b] называют число  LaTeX formula: f(c), которое находят по формуле:
LaTeX formula: f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx. (7.56)
По формуле 7.56 можно вычислить среднее значение издержек производства, среднюю производительность труда, среднюю мощность и т. п.
Определение издержек производства
Если LaTeX formula: q – объем выпуска продукции, а LaTeX formula: MC=C{}'(q)  – функция предельных издержек (издержки на производство дополнительной единицы продукции), то функцию издержек  LaTeX formula: C(q) находят по формуле: 
LaTeX formula: C(q)=\int MCdq=F(q)+C_{0}. (7.57)
где LaTeX formula: C_{0}=C(1)  – издержки при производстве первой единицы продукции.
Нахождение дисконтированного дохода
Если функция LaTeX formula: f(t)  показывает поступление дохода за время LaTeX formula: t,а LaTeX formula: i– удельная норма непрерывно начисляемого процента, то дисконтированный доход LaTeX formula: K за время LaTeX formula: T равен: 
LaTeX formula: K=\int_{0}^{T}f(t)e^{-it}dt. (7.58)
Определение дисконтированной стоимости при непрекращающемся денежном потоке 
Если  LaTeX formula: R(t) – рента земельного участка, а LaTeX formula: p – непрерывная процентная ставка, то дисконтированная стоимость земельного участка может быть найдена по формуле: 
LaTeX formula: S=\int_{0}^{\infty }R(t)e^{-it}dt. (7.59)
где  LaTeX formula: i=\frac{p}{100} – удельная норма непрерывно начисляемого процента.
Пример 1. Найдите объем продукции, произведенной предприятием заLaTeX formula: 2 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид  LaTeX formula: g(t)=(2t+1)e ^{\frac{t}{2}}.
Решение. Согласно формуле 7.54 запишем LaTeX formula: V=\int_{0}^{2}(2t+1)e^{\frac{t}{2}}dt и применим формулу интегрирования по частям LaTeX formula: \int udv=uv-\int vdu.
Положим  LaTeX formula: 2t+1=u, а  LaTeX formula: e^{\frac{t}{2}}dt=dv. ТогдаLaTeX formula: 2dt=du,\int e^{\frac{t}{2}}dt=\int vdv, откуда LaTeX formula: 2e^{\frac{t}{2}}=v.Получим:
 LaTeX formula: \int_{0}^{2}(2t+1)e^{\frac{t}{2}}dt=2(2t+1)e^{\frac{t}{2}} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}-4\int_{0}^{2}e^{\frac{t}{2}} dt=LaTeX formula: 2(2t+1)e^{\frac{t}{2}} -8e^{\frac{t}{2}} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2} =(4t-6) e^{\frac{t}{2}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2} =2e+6.
Ответ:  LaTeX formula: 2e+6.
Пример 2. Найдите среднее значение издержек производства, если функция издержек имеет вид LaTeX formula: f(x)=8x^3+6x-5, а объем производства изменился от LaTeX formula: 5 до LaTeX formula: 10 единиц.
Решение. Согласно формуле 7.56 запишем: 
 LaTeX formula: f(c)=\frac{1}{10-5}\int_{5}^{10}(8x^3+6x-5)dx=\frac{1}{5}(2x^4+3x^2-5x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{5}^{10}=LaTeX formula: 3790 (ден. ед.).
Ответ: LaTeX formula: 3 790 ден. ед.
Пример 3. Найдите дисконтированную стоимость земельного участка, если рента задается формулой  LaTeX formula: R(t)=10e^{-0,5t} (тыс. ден. ед.), а процентная ставка  LaTeX formula: p=50 %. 
Решение. Согласно формуле 7.59 запишем: 
LaTeX formula: \int_{0}^{\infty }10e^{-0,5t}e^{-0,5t}dt=-10\int_{0}^{\infty }e^{-t}d(-t)=-10e^{-t}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{\infty }=LaTeX formula: -10\lim_{t\rightarrow \infty }e^{-t}+10=10.
Ответ: LaTeX formula: 10 тыс. ден. ед. 
1. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид  LaTeX formula: y=a_{0}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}} где LaTeX formula: y– величина общественного продукта, LaTeX formula: x_{1}  – затраты труда,  LaTeX formula: x_{2} – объем производственных фондов. Если затраты труда линейно зависят от времени, а затраты капитала неизменны, функцию Кобба-Дугласа можно представить в виде LaTeX formula: g(t)=(\alpha t+\beta )e^{\gamma t} .
2. Функция затрат времени на изготовление продукции часто представляется в виде  LaTeX formula: t(x)=Ax^{-B}, где LaTeX formula: A – затраты времени на первое изделие, LaTeX formula: B – показатель производственного процесса.
3. В случае простых процентов конечная сумма, полученная заLaTeX formula: t лет, составляет LaTeX formula: K_{t}=K_{0}(1+it), где LaTeX formula: K_{0}   – дисконтируемая (начальная или современная) сумма,  LaTeX formula: i=\frac{p}{100} – удельная процентная ставка. 
В случае сложных процентов  LaTeX formula: K_{t}=K_{0}(1+it)^t.
formula