Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Площадь плоской фигуры 
Криволинейной трапецией называют плоскую фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции LaTeX formula: y=f(x) (f(x)\geq 0), отрезками прямых LaTeX formula: x=a и LaTeX formula: y=b и осью LaTeX formula: Ox LaTeX formula: (рис. LaTeX formula: 7.1LaTeX formula: ).Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:
LaTeX formula: S=\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b} =F(b)-F(a). (7.45)
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции LaTeX formula: x=f(y) (f(y)\geq 0), отрезками прямых LaTeX formula: y=c,y=d и осью LaTeX formula: Oy (рис. LaTeX formula: 7.2), то ее площадь можно вычислить по формуле:
LaTeX formula: S=\int_{c}^{d}f(y)dy. (7.46)
Если функция LaTeX formula: y=f(x)  принимает отрицательные значения на отрезке  LaTeX formula: [a;b] (рис. LaTeX formula: 7.3), то площадь фигуры, ограниченной графиком функции LaTeX formula: y=f(x), отрезками прямых LaTeX formula: x=a,y=b  и LaTeX formula: y=0, можно также вычислить с помощью определенного интеграла. Но так как в этом случае интеграл будет отрицательным, то
LaTeX formula: S=\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |=\left |F(b)-F(a) \right |. (7.47)
Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций LaTeX formula: y=f_{1}(x),y=f_{2}(x)  и отрезками прямых  LaTeX formula: x=a,x=b  (рис. LaTeX formula: 7.4),можно вычислить по формуле:
LaTeX formula: S=\left |\int_{a}^{b}(f_{1}(x)-f_{2}(x))dx \right |. (7.48)
Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций  LaTeX formula: y=f_{1}(x) и  LaTeX formula: y=f_{2}(x) (рис. LaTeX formula: 7.5) можно вычислить по формуле 7.48, следуя алгоритму: 
1) найти абсциссы LaTeX formula: x_{1}  и  LaTeX formula: x_{2} точек пересечения графиков функций  LaTeX formula: y=f_{1}(x) и LaTeX formula: y=f_{2}(x) , решая уравнение LaTeX formula: f_{1}(x) =f_{2}(x) . 
2) записать пределы интегрирования  LaTeX formula: a=x_{1} и  LaTeX formula: b=x_{2} ; 
3) составить подынтегральную функцию LaTeX formula: f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x);
4) вычислить интеграл LaTeX formula: \int_{a}^{b}f(x)dx=A ;
5) записать LaTeX formula: S=\left |A \right |.
Объем тела вращения
Объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси LaTeX formula: Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции LaTeX formula: y=f(x), отрезками прямых  LaTeX formula: y=0,x=a  и LaTeX formula: x=b можно вычислить по формуле: 
LaTeX formula: V=\left |\pi \int_{a}^{b}f^2(x)dx \right |. (7.49)
Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси LaTeX formula: Oyкриволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции LaTeX formula: x=f(y), отрезками прямых LaTeX formula: y=c и LaTeX formula: y=d можно вычислить по формуле:
LaTeX formula: V=\left |\pi \int_{c}^d}f^2(y)dy \right |. (7.50)
Длина дуги плоской кривой
Длину дуги кривой LaTeX formula: y=f(x), где LaTeX formula: a\leq x\leq b, находят по формуле:
LaTeX formula: l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f{}'(x))^2}dx. (7.51)
Длину дуги кривой, заданной параметрически LaTeX formula: x=f_{1}(t),y=f_{2}(t), где LaTeX formula: t_{1}\leq t\leq t_{2},находят по формуле:
LaTeX formula: l=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{(f_{1}{}'(t))^2+(f_{2}{}'(t))^2}dt(7.52)
Пример 1. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями LaTeX formula: y=sinx, y=0,x=0 иLaTeX formula: x=0,5 \pi .
Решение. Так как на отрезке LaTeX formula: \left [0;0,5\pi \right ]  функция LaTeX formula: y=sinx  неотрицательная (рис. LaTeX formula: 7.6), то согласно формуле 7.45 получим:
LaTeX formula: S=\int_{0}^{0,5\pi }sinxdx=-cosx\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,5\pi }=-cos0,5\pi +cos0=0+1=1.
Ответ: LaTeX formula: 1.
 
Пример 2. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями LaTeX formula: y=sinx,x=\pi и LaTeX formula: x=2\pi .
Решение. Так как на отрезке LaTeX formula: \left [\pi ;2\pi \right ]  функция LaTeX formula: y=sinx  неположительная (рис. LaTeX formula: 7.6), то согласно формуле 7.47 получим
LaTeX formula: S=\left |\int_{\pi }^{2\pi }sinxdx \right |=\left |-cosx\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{\pi }^{2\pi } \right |=\left |-cos2\pi +cos\pi \right |=LaTeX formula: \left |-1-1 \right |=2.
Ответ: LaTeX formula: 2.
Пример 3. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями LaTeX formula: y=sinx,x=0,25\pi  и  LaTeX formula: x=1,5\pi.
Решение. Так как на отрезке  LaTeX formula: \left [0,25\pi ;\pi \right ] функция  LaTeX formula: y=sinx неотрицательная, а на отрезке  LaTeX formula: \left [\pi ;1,5\pi \right ] она неположительная, то согласно формулам 7.45 и 7.47 получим: LaTeX formula: S=\int_{0,25\pi }^{\pi }sinxdx+\left |\int_{\pi }^{1,5\pi }sinxdx \right |=-cos\left | _{0,25\pi }^{\pi }+\left |-cosx\left | _{\pi }^{1,5\pi } \right | =LaTeX formula: -cos\pi +cos0,25\pi +\left |-cos1,5\pi +cos\pi \right |=1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\left |0-1 \right |=LaTeX formula: 2+0,5\sqrt{2}.
Ответ: LaTeX formula: 2+0,5\sqrt{2}.
Пример 4. Вычислите объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси LaTeX formula: Oy фигуры, ограниченной линиями  LaTeX formula: xy=3,x=0,y=1  и  LaTeX formula: y=3.
Решение. Запишем уравнение гиперболы в виде LaTeX formula: x=\frac{3}{y}. Согласно формуле 7.50 получим: 
 LaTeX formula: V=\pi \int_{1}^{3}\frac{9}{y^2}dy=-\frac{9\pi }{y}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{3} =-3\pi +9\pi =6\pi .
Ответ:  LaTeX formula: 6\pi .
Пример 5. Вычислите длину дуги кривой  LaTeX formula: x=2y^{\frac{3}{2}} ограниченную линиями  LaTeX formula: y=0 и LaTeX formula: y=1.
Решение. Составим подынтегральную функцию: 
1) LaTeX formula: x{}'=2\left (y^{1,5} \right ){}'=3y^{0,5}; 2)  LaTeX formula: \left (x{}' \right )^2=9y;
3)  LaTeX formula: \sqrt{1+\left (x{}' \right )^2}=\sqrt{1+9y}=(1+9y)^{\frac{1}{2}}.
Согласно формуле 7.51  получим:
LaTeX formula: l=\frac{1}{9}\int_{1}^{4}(1+9y)^{\frac{1}{2}} d(1+9y) =\frac{2}{27}(1+9y)^{\frac{3}{2}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{27}(10\sqrt{10}-1).
Ответ: LaTeX formula: \frac{2}{27}(10\sqrt{10}-1).
Если плоская фигура ограничена линиями  LaTeX formula: x=f_{1}(y) и LaTeX formula: x=f_{2}(y) отрезками прямых LaTeX formula: y=c,y=d, то ее площадь можно вычислить по формуле LaTeX formula: S=\left |\int_{c}^{d}(f_{1}(y)-f_{2}(y))dy \right | .
formula