Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Площадь плоской фигуры
Криволинейной трапецией называют плоскую фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции отрезками прямых и и осью рис. Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:
(7.45)
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции отрезками прямых и осью (рис. ), то ее площадь можно вычислить по формуле:
(7.46)
Если функция принимает отрицательные значения на отрезке (рис. ), то площадь фигуры, ограниченной графиком функции отрезками прямых и можно также вычислить с помощью определенного интеграла. Но так как в этом случае интеграл будет отрицательным, то
(7.47)
Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и отрезками прямых (рис. ),можно вычислить по формуле:
(7.48)
Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и (рис. ) можно вычислить по формуле 7.48, следуя алгоритму:
1) найти абсциссы и точек пересечения графиков функций и решая уравнение
2) записать пределы интегрирования и
3) составить подынтегральную функцию
4) вычислить интеграл
5) записать
Объем тела вращения
Объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции отрезками прямых и можно вычислить по формуле:
(7.49)
Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции отрезками прямых и можно вычислить по формуле:
(7.50)
Длина дуги плоской кривой
Длину дуги кривой где находят по формуле:
(7.51)
Длину дуги кривой, заданной параметрически где находят по формуле:
. (7.52)
Пример 1. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями и
Решение. Так как на отрезке функция неотрицательная (рис. ), то согласно формуле 7.45 получим:
Ответ:
Пример 2. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями и
Ответ:
Пример 3. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями и
Решение. Так как на отрезке функция неотрицательная, а на отрезке она неположительная, то согласно формулам 7.45 и 7.47 получим:
Ответ:
Пример 4. Вычислите объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси фигуры, ограниченной линиями и
Решение. Запишем уравнение гиперболы в виде Согласно формуле 7.50 получим:
Ответ:
Пример 5. Вычислите длину дуги кривой ограниченную линиями и
Решение. Составим подынтегральную функцию:
1) 2)
3)
Согласно формуле 7.51 получим:
Ответ:
Если плоская фигура ограничена линиями и отрезками прямых , то ее площадь можно вычислить по формуле