Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
(7.45)
(7.46)
(7.47)
(7.48)
(7.49)
(7.50)
(7.51)
. (7.52)



Площадь плоской фигуры
Криволинейной трапецией называют плоскую фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции
отрезками прямых
и
и осью
рис. 
Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле:









Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции
отрезками прямых
и осью
(рис.
), то ее площадь можно вычислить по формуле:





Если функция
принимает отрицательные значения на отрезке
(рис.
), то площадь фигуры, ограниченной графиком функции
отрезками прямых
и
можно также вычислить с помощью определенного интеграла. Но так как в этом случае интеграл будет отрицательным, то

![[a;b] LaTeX formula: [a;b]](/uploads/formulas/490ffdf2e892c9664120bd901b5e45d8f13bfd5d.1.1.png)





Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций
и отрезками прямых
(рис.
),можно вычислить по формуле:




Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций
и
(рис.
) можно вычислить по формуле 7.48, следуя алгоритму:



1) найти абсциссы
и
точек пересечения графиков функций
и
решая уравнение





2) записать пределы интегрирования
и


3) составить подынтегральную функцию 

4) вычислить интеграл 

5) записать 

Объем тела вращения
Объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси
криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции
отрезками прямых
и
можно вычислить по формуле:





Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси
криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции
отрезками прямых
и
можно вычислить по формуле:





Длина дуги плоской кривой
Длину дуги кривой
где
находят по формуле:



Длину дуги кривой, заданной параметрически
где
находят по формуле:



Пример 1. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
и



Ответ: 


Пример 2. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
и 




Ответ: 

Пример 3. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями
и 


Решение. Так как на отрезке
функция
неотрицательная, а на отрезке
она неположительная, то согласно формулам 7.45 и 7.47 получим: 


![\left [0,25\pi ;\pi \right ] LaTeX formula: \left [0,25\pi ;\pi \right ]](/uploads/formulas/8990150129775595b6cdeea75acb376b0547e705.1.1.png)

![\left [\pi ;1,5\pi \right ] LaTeX formula: \left [\pi ;1,5\pi \right ]](/uploads/formulas/b3aef26129328f5ae85f6077d2f7747d73b33394.1.1.png)



Ответ: 

Пример 4. Вычислите объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями
и 




Ответ: 

Пример 5. Вычислите длину дуги кривой
ограниченную линиями
и 



Решение. Составим подынтегральную функцию:
1)
2) 


3) 

Согласно формуле 7.51 получим:

Ответ: 

Если плоская фигура ограничена линиями
и
отрезками прямых
, то ее площадь можно вычислить по формуле 



